周文琦

摘 要： 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思路歷來都是極其重要的。這種重視常常有兩個層面：一是理論層面；二是實踐層面。理論層面的重視常常體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思路在知識構(gòu)建、數(shù)學(xué)探索和學(xué)習(xí)反饋以及總結(jié)中的應(yīng)用，本文將數(shù)學(xué)思路蘊含于數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建、數(shù)學(xué)探究及學(xué)習(xí)反思的過程中，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的路徑選擇。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思路 路徑選擇

本文在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐當(dāng)中進(jìn)行著這樣的努力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)理論與實踐的結(jié)合并不完全是關(guān)于數(shù)學(xué)思路的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論與課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)合，更多的時候，數(shù)學(xué)思路實際上是隱藏在知識構(gòu)建、數(shù)學(xué)探究與問題解決等過程中的，因此，數(shù)學(xué)更類似于默會知識。具體闡述如下：

一、在知識構(gòu)建中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思路

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)就是數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建，應(yīng)試環(huán)境之下，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)常常是講授式的，我們高中生基本上處于被動接受的狀態(tài)，即使在課程改革走過了十?dāng)?shù)年之后，高中數(shù)學(xué)課堂其實更多的還是這種常態(tài)。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式基本上對高中生的數(shù)學(xué)思路的培養(yǎng)沒有太大的作用，因為被動狀態(tài)下的知識學(xué)習(xí)基本上沒有主動建構(gòu)的可能，因此數(shù)學(xué)思路也就沒有了生長的土壤。反之，如果給了高中生以主動建構(gòu)知識的空間，那高中生的數(shù)學(xué)思路就有可能高效形成。

如在“點到直線的距離”這一知識的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，具體的可以讓我們高中生經(jīng)歷這樣的一些知識構(gòu)建過程：第一步，引導(dǎo)高中生認(rèn)識何為點到直線的距離。這一設(shè)計與高中生原有的距離知識相關(guān)，同時又是在點與線這一新的情境中提出的問題，因此可以促成高中生新舊知識發(fā)生相互作用，從而建立起點與直線距離的準(zhǔn)確理解。第二步，尋找求點到直線距離的方法。通常情況下，高中生的思路都是先作出過該點并垂直于直線的垂線，然后兩直線方程相交求出交點坐標(biāo)，最后通過兩點的坐標(biāo)求出點到直線的距離。應(yīng)當(dāng)說在這個過程中，如果將問題解決的過程交由高中生，那么高中生的思路過程是很豐富的，因為從建立點到直線距離的認(rèn)識，到尋找到求點到直線距離的方法，都需要高中生在大腦中構(gòu)建點到直線距離的表象，然后有效地調(diào)用已有的知識，將求點到直線的距離轉(zhuǎn)換為利用兩點坐標(biāo)來求兩點間的距離。這種思路轉(zhuǎn)換，是典型的數(shù)學(xué)思路的組成部分。然后實際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程到此時并沒有結(jié)束，因為在剛才所用的方法的反思中，高中生會發(fā)現(xiàn)這一方法計算的繁雜性，從而猜想（必要的時候教師可以給予一點點撥）有沒有一種更好的方法的存在，而這種思路本身就是數(shù)學(xué)思路的一種體現(xiàn)——尋找新的解決問題的策略。于是進(jìn)一步的，教師可以引導(dǎo)高中生從更高的角度審視點與直線距離的關(guān)系，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)在于確定點與垂足對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)的差。而認(rèn)識到這一點之后，又會發(fā)現(xiàn)點到直線的距離可以有新的表達(dá)方式。在這個過程中，思路轉(zhuǎn)換與新的思路的出現(xiàn)，就是數(shù)學(xué)思路的充分體現(xiàn)。

二、在數(shù)學(xué)探究中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思路

數(shù)學(xué)探究是當(dāng)前重點強調(diào)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)探究的過程如果在課堂上真實地發(fā)生了，那上一點所強調(diào)的高中生的自主性就可以得到保證。同時其還可以繼續(xù)前進(jìn)一步，讓數(shù)學(xué)探究更好地為培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)思路做出貢獻(xiàn)——應(yīng)當(dāng)說這一過程其實是自然而然的，因為只要有真正的數(shù)學(xué)探究發(fā)生了，那高中生就必然處于數(shù)學(xué)思路的過程中，這正如一個在數(shù)學(xué)思路大海里撲騰的孩子，自然也就更容易學(xué)會游泳。

如在“三角誘導(dǎo)公式”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就可以給高中生創(chuàng)造一個數(shù)學(xué)探究的機會。筆者的設(shè)計是這樣的：第一步，明確提出三角誘導(dǎo)公式的探究問題。第二步，選擇最簡單的突破口——從銳角的三角函數(shù)開始，思考如何求其三角函數(shù)值。高中生的反應(yīng)自然是如果是特殊角，那么直接可以回憶出結(jié)果；如果是一般角，那么可以通過查詢?nèi)呛瘮?shù)表來獲得其值。于是提出新的問題：如何從銳角三角函數(shù)的求法出發(fā)，去求任意角的三角函數(shù)呢？第三步，開展數(shù)學(xué)探究。在探究之初，高中生會意識到角的周期性對求三角函數(shù)值帶來的影響，于是就可以將對問題的探究縮小到0～2π的范圍之內(nèi)，同時可以將所有角的始邊確定在坐標(biāo)橫軸的正半軸上，于是問題的解決實際上就已經(jīng)建立了一個數(shù)學(xué)模型（這是典型的數(shù)學(xué)思路的產(chǎn)物）。其后，如果一個角的終邊存在于非第一象限之內(nèi)，那是不是可以想方設(shè)法地將其轉(zhuǎn)換為第一象限的角呢？ 這個問題實際上是本探究過程中的關(guān)鍵，而解決這個問題的關(guān)鍵是什么？這都是數(shù)學(xué)思路方法的使用。

三、在學(xué)習(xí)反饋和總結(jié)中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思路

數(shù)學(xué)思路的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常常被認(rèn)為是隱性的，這符合數(shù)學(xué)思路支撐數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)問題解決的規(guī)律。但需要注意的是，當(dāng)面對的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象是高中高中生的時候，有時候數(shù)學(xué)思路也可以相對變得顯性一些，也就是說，讓高中生明確從數(shù)學(xué)思路的角度去感知數(shù)學(xué)的魅力。這對于高中高中生來說其實也是很有價值的，因為高中階段的高中生所需要的其實并不完全是知識性的東西，筆者常常與高中生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)方面的聊天，很多高中生都表現(xiàn)出一種思想，那就是希望在數(shù)學(xué)課堂上不僅能夠?qū)W到知識，還希望能夠理解數(shù)學(xué)為什么能成為最有魅力的學(xué)科。 這其實就是對包括數(shù)學(xué)思路在內(nèi)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意味的期待。既然如此，數(shù)學(xué)教師就要在滿足高中生應(yīng)試需要的同時，找機會更好地給高中生以數(shù)學(xué)思路的啟迪。

四、結(jié)束語

總之，數(shù)學(xué)思維和思路應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，對其重視不能只是停留在理論的層面，不能只出現(xiàn)在教案或論文當(dāng)中，要成為課堂上真實學(xué)習(xí)案例。只有從理論到實踐中都存在著強烈的數(shù)學(xué)思維和思路，那高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能真正符合學(xué)生的認(rèn)知需要，才能提升高中生們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，通過對數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，在遇到問題時，會擅長概括提煉問題，從多方面開辟思維點，從已知因素中發(fā)現(xiàn)新的線索，能夠根據(jù)條件的變化改變思考方向，探究問題與現(xiàn)實之間的聯(lián)系，在思維上擺脫“框題型、對套路”的僵化模式，激發(fā)創(chuàng)造性火花。并且在問題得到解決后會檢驗問題是否真正得到解決，發(fā)現(xiàn)推理過程中存在的矛盾、運算錯誤等問題。

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