☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 馬宇杰

求解無理函數(shù)值域的教學(xué)思考

☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 馬宇杰

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，而函數(shù)值域（最值）的求解更是一個(gè)難點(diǎn)，能熟練掌握函數(shù)值域求法就顯得十分的重要.筆者在高三的一輪復(fù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在求無理函數(shù)值域時(shí)只會(huì)做老師講過的題目，題目略加變形學(xué)生就無從下手，針對(duì)這種情況，筆者進(jìn)行了認(rèn)真的反思：原來老師對(duì)這類例題的功能、本質(zhì)沒有完全把握.我們從幾個(gè)例題來體會(huì)這類問題的實(shí)質(zhì)及解決方法及今后在例題教學(xué)中如何發(fā)揮例題的功能，師生如何在挖掘例題的本質(zhì)中提高學(xué)生的歸類問題、分析問題、解決問題的思維能力.

方法一、整體換元

此類題將無理式整體換元，注意式子的結(jié)構(gòu)和新變量的范圍，否則將會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生在解決本題時(shí)只記住了老師的解法（換元法），但不知為什么采用這種方法，更不知何時(shí)使用這種方法，所以解題思維、解題能力沒有得到任何提高.本題應(yīng)該這樣教給學(xué)生入手：觀察結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)本函數(shù)的最高次是一次的，最低次是次，回想我們學(xué)過的函數(shù)中恰有一元二次函數(shù)中的次數(shù)呈現(xiàn)出二倍的關(guān)系，所以怎樣轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是首要解決的事情，所以通過換元達(dá)到了把次直接升冪的效果.此時(shí)學(xué)生學(xué)會(huì)了換元升

方法二、三角換元

觀察無理式子內(nèi)若含有一個(gè)常數(shù)減去一個(gè)變量的平方，則可以聯(lián)想同角三角函數(shù)關(guān)系換元.

解：令x=cosα，α∈［0，π］，所以本題就轉(zhuǎn)化為我們熟知的接著用輔助角公式就解決了.

點(diǎn)評(píng)：本題的實(shí)質(zhì)都是一次的，故不要通過整體換元達(dá)到升冪的效果，觀察根號(hào)中的結(jié)構(gòu)（一個(gè)常數(shù)減去一個(gè)變量的平方）可以聯(lián)想sin2α+cos2α=1.

方法三、配方法

若無理式下含有二次函數(shù)以及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型可以用配方解決.

解：不妨設(shè)f（x）=-x2+4x（f（x）≥0），配方得

f（x）=-（x-2）2+4（x∈［0，4］），

利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得f（x）∈［0，4］，

從而得出：y∈［-2，2］.

點(diǎn)評(píng)：在求解值域（最值）時(shí)，遇到分式、根式、對(duì)數(shù)式等類型時(shí)要注意函數(shù)本身定義域的限制，如本題的定義域要求為：f（x）≥0.

方法四、直接平方

方法五、有理化

若無理式直接平方不能使變量都集中在根號(hào)中，也無法通過以上的手段達(dá)到升冪的效果，此時(shí)就從函數(shù)的性質(zhì)角度思考，對(duì)式子進(jìn)行有理化.

方法六、利用幾何意義

有的式子具有明顯的幾何意義，那可以考慮利用式子的幾何意義解決，如可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離.

解：本題可通過整體平方轉(zhuǎn)化為一元二次方程在區(qū)間［0，2］上的有兩解的情況，但是這個(gè)角度包含的運(yùn)算太麻煩，從兩點(diǎn)間的距離幾何意義角度可以看成y=與y=kx+k的交點(diǎn)問題，而y2=1，且y≥0，表示以（1，0）為圓心以1為半徑的上半圓，y=kx+k表示過定點(diǎn)（-1，0），故本題就轉(zhuǎn)化為了過定點(diǎn)（-1，0）的直線與這個(gè)圓的上半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問題.

方法七、利用數(shù)形結(jié)合

對(duì)無理式可以先換元，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想解決，下面結(jié)合幾種形式展開介紹.

圖1

如圖1，顯然，直線與拋物線相切時(shí)ymax=7，直線過（13，0）時(shí)

研究直線與拋物線相切及過某特殊點(diǎn)的直線就成了處理此類函數(shù)值域的一般性方法.

圖2

所以ymax=10，過點(diǎn)的直線的縱截距顯然為y的最小值.

圖3中l(wèi)1及l(fā)2兩條直線所對(duì)應(yīng)的y值為最大值和最小值.

2所以

圖3

現(xiàn)在求直線與橢圓相切時(shí)l1所對(duì)應(yīng)的y2的值.由已知斜率的橢圓切線方程可知在v=-u-4+y中，所以

為促進(jìn)規(guī)?；?biāo)準(zhǔn)化種植，提升農(nóng)民的種植效率，日本政府提出生產(chǎn)資料購置補(bǔ)貼政策，鼓勵(lì)農(nóng)民按照相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行種植生產(chǎn)。對(duì)規(guī)?；B(yǎng)殖、溫室蔬菜種植，政府予以相關(guān)設(shè)施購買費(fèi)用的補(bǔ)貼，其中由中央和地方財(cái)政補(bǔ)貼75%，剩余25%的費(fèi)用可通過特定的金融機(jī)構(gòu)進(jìn)行貸款。2007年開始實(shí)施“跨品種經(jīng)營穩(wěn)定政策”，改革稻米生產(chǎn)調(diào)整及價(jià)格補(bǔ)貼，針對(duì)特定骨干農(nóng)戶，不分品種地對(duì)其整體經(jīng)營收入進(jìn)行補(bǔ)貼支持，加大對(duì)農(nóng)地、水資源、環(huán)境保護(hù)等的政策支持。

則u、v同時(shí)滿足

這時(shí)求函數(shù)值與問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的位置關(guān)系問題，只需研究直線與曲線相切及過曲線某特殊點(diǎn)的直線即可.

方法八、構(gòu)造向量

圖4

點(diǎn)評(píng)：這類無理函數(shù)求值域的解題過程，實(shí)質(zhì)上歸結(jié)于簡單的線性規(guī)劃問題.約束條件：向量終點(diǎn)的集合，常向量是目標(biāo)函數(shù)的法向量.與解析幾何法的本質(zhì)相通的.但相對(duì)而言，計(jì)算量比解析幾何法求切線要小得多，學(xué)生出錯(cuò)的概率更小.

總之，解題教學(xué)不應(yīng)重視一招一式，而應(yīng)注重方法的自然性、普適性以及解題后的反思、提煉.講一例題，學(xué)生記一個(gè)，學(xué)生在解決這類問題時(shí)仍然是不知從何下手，因此，解題教學(xué)中，教師的主要職能在于怎樣幫助學(xué)生做好解題后的反思，充分挖掘例題本身的功能，做到“授之以漁”.對(duì)于無理函數(shù)的值域的求解，需要學(xué)生特別是在解題后進(jìn)行分析、比較、反思、提煉，使這類例題的解題思維成為一種能力.