☉西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 單景麗

題不在多 啟發(fā)思維則靈

☉西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 單景麗

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題.但是近年來隨著應(yīng)試壓力的加大，新課程標準提倡的讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的教學(xué)更多成為一種理想狀態(tài)，究其原因還是數(shù)學(xué)抽象、形式化的特點與學(xué)生認知、思維成長不能同步造成的.從初中數(shù)學(xué)到高中數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)知識的形式化程度一下提升了不少，諸如對于函數(shù)概念的界定抽象了不少，很多學(xué)生一直無法抓住函數(shù)概念更深層次的理解.

筆者認為，這也不能完全怪學(xué)生，造成這樣的現(xiàn)狀還是多方面的.因此，這也造成了教師用最直接粗暴的方式——題海訓(xùn)練對學(xué)生進行訓(xùn)練和鞏固，只要訓(xùn)練各種各樣的問題，勢必對數(shù)學(xué)知識的運用起到一定的輻射效果，而且在短期內(nèi)有很大的效果.這也是當(dāng)下基礎(chǔ)教育在理想和現(xiàn)實層面無法回避的矛盾.筆者也不敢否定這種訓(xùn)練的模式，至少其存在還是有一定的合理性.但從長期來看，這種方式勢必對學(xué)生思維的培養(yǎng)有一定的阻礙作用，數(shù)學(xué)教學(xué)不能只做題而不思考、不能只訓(xùn)練而不總結(jié)，因此筆者認為在一定程度上需要做一些總結(jié)性的思考，特別是在有典型問題的解決上，要以“山不在高有仙則靈”的精神去引導(dǎo)教學(xué)，提高自身專業(yè)化水平的發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的思維.

筆者認為，好的試題往往不止一個角度切入，這樣的試題在追求知識運用的廣度上有著非常全面的拓展，有助于學(xué)生通過一個數(shù)學(xué)問題的解答，獲得更多知識整合運用的能力.這樣的試題對于學(xué)生思維的啟發(fā)往往是全面的、深刻的、多樣的，值得教學(xué)深究和探索，這遠比做一些雜亂無章的數(shù)學(xué)問題來的有效和更具思考.

例題 在平面直角坐標系中，A、B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為____________.

分析：本題改編自2015年江西高考真題.該題是求圓的面積最小值，可轉(zhuǎn)化為求半徑的最小值.解決本題的關(guān)鍵就是找到圓的半徑所滿足的條件.通過分析題意可得到結(jié)論：圓心C到A、B、O三點的距離與到直線2x+y-4=0的距離都相等且都是半徑.因此可以從不同視角去思考問題.

思維1：引導(dǎo)學(xué)生思考：為何到定點的距離等同于到定直線的距離？從這一條件入手是哪個基本知識點的運用？顯然是拋物線的定義！因此問題這樣思考：由已知得點C的軌跡為以O(shè)為焦點，直線2x+y-4=0為準線的拋物線，所以將問題轉(zhuǎn)化為求拋物線上的點到焦點的距離的最小值.如圖1，設(shè)原點O到直線2x+y-4= 0的距離為d，則點C到直線2x+y-4=0的距離是圓的半徑r

圖1

思維2：考慮到拋物線并不在標準形態(tài)下，此時很多學(xué)生未必會使用思維1中的定義去思考，因此教師也可以利用第二種思維引導(dǎo)學(xué)生，即能否通過代數(shù)化的手段首先解決點C的軌跡問題？這應(yīng)該是很多學(xué)生的第一想法，與學(xué)生共同探討嘗試.由已知得點C（x，y）的軌跡方程是化簡整理得，曲線E：x2+4y2-4xy+ 16x+8y-16=0，將所求的問題轉(zhuǎn)化為求曲線E上的一點到直線2x+y-4=0的距離最小值，此時只需將直線2x+y-4=0向曲線E平移，當(dāng)與曲線E相切時，切點P（x0，y0）到直線2x+y-4=0的距離就是半徑r的最小值.如圖2，設(shè)切線方程為2x+ y+t=0，由消去y0得由于相切，所以Δ=（20t）2-4×25×（4t2-8t-16） =0，解得t=-2，此時，從而得到等式r=min

圖2

思維3：圓是解析幾何中最簡單的二次曲線，相比橢圓、雙曲線、拋物線而言，圓中的很多問題都有獨特的解決方式.教師教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考，圓中的很多問題并非是完全使用解析幾何代數(shù)化運算的方式解決的，可以利用哪種更為有效的途徑？學(xué)生的思維迅速向幾何方式靠攏，顯然從幾何方式的角度去思考與圓相關(guān)的問題，往往來得更為有效.這里教師向?qū)W生滲透了解析幾何中不同曲線的解決思路：圓中的問題更傾向于幾何方式，橢圓等曲線的解決方式更傾向于代數(shù)化的途徑，思維的轉(zhuǎn)化從這里得到了鞏固和提升.設(shè)圓C與直線2x+y-4=0相切于點P，則由已知得圓C過點A、B、O、P，且有CP垂直于直線2x+y-4=0，如圖3，顯然當(dāng)O、C、P三點共線時圓C半徑取最小值，此時點O到直線2x+y-4=0的距離是圓C的直徑.

圖3

思維4：圓是一種特殊的二元二次曲線，其不僅有充足的幾何意義，也有非同一般的參數(shù)角度——三角函數(shù).我們知道，圓方程的參數(shù)就是三角換元，利用圓的參數(shù)方程非常方便地解決與之相關(guān)的最值問題，這與三角函數(shù)求最值的簡潔性密不可分.因此教師以三角函數(shù)設(shè)計代數(shù)化思維：設(shè)圓C的半徑為r，點C的坐標為（rcosθ，（舍去）.

思維5：哥倫比亞大學(xué)教授張壽武先生說：“我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之路都是由運算鋪成，我喜歡最質(zhì)樸的想法，發(fā)自內(nèi)心的道路，這時往往運算才是問題解決的關(guān)鍵.”筆者認為，很多學(xué)生能想到圓方程的一般形式，結(jié)合一般形式去思考、解決，運算勢必成為最大的瓶頸.引導(dǎo)學(xué)生解決好圓的一般方程涉及的運算是關(guān)鍵：由已知可設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey=0，則聯(lián)立方程組消去y整理得5x2-（2E-D+16）x+4E+16= 0，由已知得Δ=（2E-D+16）2-4×5（4E+16）=0（E≥-4），即所 以 圓 的 半 徑r=由于t≥0，當(dāng)時，r取最小值

說明：解析幾何中求最值的問題，已成為高考的熱點和難點，其解題方法一般有兩種解題思路：其一是幾何法，即找出最值的幾何意義，利用平面幾何性質(zhì)求解.最值的幾何意義，常見的有：（1）最值的幾何意義是求圓錐曲線上的點到焦點的距離的最值，其幾何性質(zhì)是頂點到焦點距離時取最值（比如解法1）；（2）最值的幾何意義是求曲線上一點與直線距離的最小值，其幾何性質(zhì)是曲線上離直線最近的點到直線的距離取最小值（比如解法2）；（3）最值的幾何意義是求有同一端點的兩條線段之和（或差）的最值，其幾何性質(zhì)是三點共線時取最值（比如解法3）；其二是代數(shù)法，即找出所求的問題的函數(shù)關(guān)系表達式，把所求最值的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題（比如解法4或解法5）.總之，對于解析幾何中求最值的問題，一定要具體情況具體分析，不宜拘泥于代數(shù)法或幾何法，宜靈活運用.從這一典型的問題中，我們不難啟發(fā)學(xué)生所需要用的解決問題的基本思維和思想方法：

（1）思維的第一層次：做出問題解決方向的判斷，一般從思想層面去思考，即代數(shù)方式解決還是幾何含義下手，這是典型的思維起始之路.

（2）思維的第二層次：從思想層面入手思考的第二階段即具體實施問題解決過程，代數(shù)的角度往往是運算倡導(dǎo)主導(dǎo)地位，其中所有問題都可以看成是某一變量x的函數(shù)，有時也能從特殊的自變量去嘗試問題的解決（比如以角度為自變量的三角函數(shù)進行解決）；幾何角度往往是圖形化策略的思考，這里可以是一維狀態(tài)下的幾何意義，也可以是二維坐標系中的圖像，都是幾何方式最好的呈現(xiàn)，最典型的案例是求函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|的最小值，既可以絕對值的幾何含義下手，也可以從圖像去思考解決.

（3）思維的第三層次：能從一種方式解決問題，還要學(xué)會從更多的角度去思考問題，這樣思維才會有延伸性，若僅僅是解決問題、扔掉問題、不斷重復(fù)，那么這樣的學(xué)習(xí)過程依舊停留在淺顯的表層，不具備深刻性，因此題不在多，具備啟發(fā)思維則靈.因此，對典型問題的解決倡導(dǎo)進行多元化角度的思考，這遠遠比不斷進行題海訓(xùn)練、不思考、不歸納來得高效和有深度.

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