☉江蘇省南通市通州區(qū)教學研究室 王惠清

淺談思維定勢下的錯題成因與應對

☉江蘇省南通市通州區(qū)教學研究室 王惠清

定勢思維是非常常見的思維積累后的一種運用表象（德國心理學研究者克勞斯語）.良好的思維定勢對于我們解決問題有極大的幫助作用，在中學數學教學中最常見的思維定勢運用體現在問題解決的模式識別中，這是思維定勢比較積極的一面.從雙基教學的扎實程度來看，思維定勢積極的一面的確能幫助很多學生解決典型固定模型問題，但是隨著教學整合的加深，筆者發(fā)現學生在問題解決過程中的難度也愈來愈大，不少學生（特別是偏文型的學生）總是不停地搜索腦海中的固有模型，或者總是問這樣的數學問題有沒有固定思維或模式可套用，這是典型的思維定勢的表象之一.

從教育心理學的角度來說，思維定勢最大的不足有兩個方面：其一，僵化知識的串聯，抹殺了知識間的穿插使用，這等于告訴學生代數問題代數解決，而沒有另外角度的思考，這種僵化對于學生知識的連貫度有重大的阻礙作用；其二，創(chuàng)新能力的不足，過于在思維定勢中糾結，往往讓學生對問題解決的創(chuàng)新精神發(fā)揮不足，這對于學生長期的成長來說有一定的阻礙作用.因此，教師教學中必須對學生依賴思維定勢進而形成的錯誤要及時關注和應對，用發(fā)展的眼光來看待模式識別，積極發(fā)揮其優(yōu)勢作用而減少其消極的影響.來看一下高中數學中常見的一些由思維定勢而引起的錯解和漏解.

一、思維縝密性不足

思維縝密性不足是定勢思維解決問題中的常態(tài)錯誤.學生對于思維的常見僵化在于問題求解的慣性，一旦思維慣性使然，學生就將問題思考變得無意識化，從而問題的解決轉變?yōu)橐环N定勢思維下的機械化操作，思維的縝密度大大下降，導致錯誤產生.

問題1：已知集合A=｛x|x2+x-6=0｝，B=｛ax+1=0｝，滿足B?A，求實數a能取的一切可能值所組成的集合.

錯誤分析：這是由事物表象迷惑引起的思維定勢，學生將“ax+1=0”簡單地看成是一個一元一次方程，而忽視了a=0的情況.事實上，當a=0時，B=?，顯然滿足B?A，因此正確的結果是

變式：當a為何值時，不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集為全體實數？

錯誤分析：學生將原不等式簡單地看成一個一元二次不等式，被它的表象所迷惑，產生了解題上的思維定勢.事實上，當二次項系數a2-1=0時，即a=±1時，它并不是一元二次不等式，經過分類討論知，當a=1時，也滿足題意，故本題正確的解集為

二、思維全面性缺失

定勢思維常見的第二種錯誤是思考問題的片面性，這種片面性形成的主因是教學對知識全面性使用的忽視，造成了思維定勢.比如，等比數列求和公式中公比是否為1的討論，公式使用過程中對于公比為1的情形一般較少遇到，導致了學生思維定勢在公式使用過程中只考慮公比不為1的情形，造成了思考全面性缺失的錯誤.

問題2：求和Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1.

錯誤解法：因為Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1①，則xSn=x+ 2x2+3x3+…（n-1）xn-1+nxn②.

①-②得（1-x）Sn=1+x+x2+…xn-1-nxn，所以Sn=

錯誤分析：錯誤的原因是缺少對x=1或x≠1時的討論.由于我們在計算等比數列的求和問題時，常見的等比數列的公比不是1，因此，有不少學生在解題時產生了思維上的定勢，只注重公式的“核心”部分，而忽視對特殊情況的考慮（例如本題中公比x=1），從而產生了顧此失彼的現象.

問題3：已知直線l：y=kx+1，拋物線C：y2=4x，問：當k為何值時直線l與拋物線C只有一個公共點？

錯誤分析：由于有不少學生對直線與圓的位置關系判斷中，直線與圓只有一個公共點時判別式Δ=0這種方法記憶深刻，從而產生了解題思維上的一種定勢，而忽視了當直線l與拋物線C的對稱軸平行時，即只有一個公共點這種特殊的現象.

變式：求曲線y=3x-x3過點A（2，-2）的切線方程.

錯誤解法：因為導函數y′=3-3x2，又點A在曲線上，所以k=y′|x=2=-9，解得該曲線的切線方程為9x+y-16=0.

錯誤分析：不少學生在學習曲線的切線方程時，只知道過光滑曲線上一點，一定有一條直線和已知曲線相切，并且該點即為切點，但忽視了這一點可能是曲線的另一條切線與該曲線的交點.從根本上講仍然是學生認為過曲線上一點至多有一條直線與已知曲線相切，就好像是直線與圓一樣，這種狹隘的思想根深蒂固.

正確解法：設切點坐標為（x0，y0），因為導函數y′=3-3x2，所以又由直線方程的兩點式得k=從而有解得x=-1或0x0=2，故切線的斜率k=0或k=-9，因此切線方程為y+2=0或9x+y-16=0.

三、思維轉化度不足

思維轉化度是體現學生數學學習知識是否靈活的重要評判標準，而長期訓練會導致這樣那樣的思考定勢，讓學生在某些問題的處理上往往失去靈性.有時思維不能及時轉化，還導致了學生在方法選擇上的單一，甚至是因為方法選擇的困難導致最終無法得到正確的答案，這些都是思維轉化度不足的表現，因此教師教學要引導學生多角度地思考來解決問題，弱化思維定勢，及時形成應對解決.

問題4：等差數列｛an｝的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前m+n項的和Sm+n.

思維定勢解答：設｛an｝的公差為d，則由Sn=m，Sm=n

思維轉化下的突破：設Sn=An2+Bn（n∈N*），則

③-④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m.因為m≠n，所以A（m+n）+B=-1.

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

說明：這是筆者給學生進行的一次數列測試中的問題，令筆者失望的是，絕大多數學生都是用第一種思維定勢下的解決方式在處理，學生對于本題的解答是典型的定勢思維：只要解決首項和公差，必定可以求解Sm+n，這是思維方式比較簡潔的解法，但是實際操作如何呢？大多數學生花費了較多的時間運算，卻最終沒能得到正確的答案.考慮到條件的對稱性，本題的解決思路從數列的函數本質入手，這樣會更為簡潔和輕快.

總之，與任何事物存在兩面性一致，思維定勢既有其優(yōu)點，也存在其不足.讓學生在不斷扎實典型問題思維的基礎上，進行有效的、有創(chuàng)造性的發(fā)展，是我們提高學生思維發(fā)展和應對定勢思維存在缺陷最好的手段.從教學一線得到的經驗來看：

首先，加強數學基礎知識教學，重視知識的形成過程.在教學中，我們不僅要使學生牢記相應的知識，而且要使學生在掌握知識的同時，得到思維能力方面的提高.有不少學生認為學習定義、定理、公式等，只要記著就行了，對定理的證明，公式的推導很少能給以足夠的重視.甚至有不少教師也往往只重視讓學生把定義、定理、公式正確地、全面地接受下來，而不去探討它們的由來和實質，缺少對相應定理或公式的證明和推導，忽略其證明和推導的原因.這樣學生只會機械地記公式，套定理，而忽視了運用的前提和條件，一來學生很難記憶這些公式和定理，二來也很容易造成解題和思維上的某種定勢.

其次，應當指出，任何事物都有它的兩面性，數學中的思維定勢并非純粹只有消極影響，它也有好的一面，例如，正確的思維方式可以幫我們建立完整的解題模式，可以帶來解題上的方便，節(jié)約不少的時間.因此，教師真正要做的是如何加深學生對概念、公式、定理和方法的理解，如何使學生學會正確的思考，培養(yǎng)學生合理解決數學問題的能力，從而有效地避免由思維定勢所產生的消極影響.

1.傅瑞琦.試題分析讓教研更精彩［J］.中國數學教育，2012（3）.

2.曹鳳山.你能看出結果嗎？——以一道例題的探究為例［J］.中學數學教學參考（上），2011（9）.

3.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升［J］.中學數學月考，2013（5）.