朱干江●

江蘇省鹽城市第一中學(xué)(224005)

函數(shù)應(yīng)用題分類解析

朱干江●

江蘇省鹽城市第一中學(xué)(224005)

應(yīng)用題是歷年高考命題的主要題型之一，而函數(shù)應(yīng)用題又是歷年高考的熱點(diǎn)之一.解答函數(shù)應(yīng)用題，一般都是從建立函數(shù)解析式入手，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并在其定義域內(nèi)給出完整、準(zhǔn)確的解答. 本文擬介紹幾種常見的函數(shù)應(yīng)用題題型，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

一、一次函數(shù)模型

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，要注意找好題中的等量關(guān)系：新價(jià)讓利總額=新價(jià)×20%×售出件數(shù)，然后根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式即可.由實(shí)際問題建立的函數(shù)關(guān)系式，它的定義域除受其解析式的約束外，還要受到問題中變量的實(shí)際意義等具體條件的約束，本題的定義域?yàn)閤∈N*).

二、二次函數(shù)模型

例2 有一批材料可以建成200 m的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地,中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示),則圍成的矩形最大面積為____(圍墻厚度不計(jì)) .

點(diǎn)評(píng) 構(gòu)造二次函數(shù)模型，函數(shù)解析式求解是關(guān)健，然后利用配方法、數(shù)形結(jié)合法等方法求解二次函數(shù)的最值，但要注意自變量的實(shí)際取值范圍.

三、指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型

例3 為救助失學(xué)兒童,魯能泰山足球俱樂部準(zhǔn)備在山東省體育中心體育場舉行一場足球義賽,預(yù)計(jì)賣出門票2.4萬張,票價(jià)有3元、5元和8元三種,且票價(jià)3元和5元的張數(shù)的積為0.6萬.設(shè)x是門票的總收入,經(jīng)預(yù)算,扣除其他各項(xiàng)開支后,該俱樂部的純收入函數(shù)為y=lg2x,當(dāng)為失學(xué)兒童募捐純收入最多時(shí)，a=____,b=____,c=____.

（1）信息采集模塊。該模塊主要完成對(duì)有效信息的采集，在主題爬蟲中關(guān)鍵是設(shè)定一些網(wǎng)站的相關(guān)信息、有效信息的抓取方式和條件，并規(guī)劃主題爬蟲的搜索路徑。

由于y=lg2x為增函數(shù),故當(dāng)a=0.6,b=1,c=0.8時(shí),y=lg2x恰有最大值. 故三種門票分別為0.6、1、0.8萬張時(shí)為失學(xué)兒童募捐純收入最多.

點(diǎn)評(píng) 該函數(shù)模型y=lg2x已給定,因而只需要將條件信息提取出來,按實(shí)際情況代入,應(yīng)用于函數(shù)即可解決問題.解指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)應(yīng)用題必須掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算以及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還要熟練應(yīng)用近似計(jì)算的知識(shí)進(jìn)行估算.

四、分段函數(shù)模型

例4 某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線．①則第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t)=____.②據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效．則服藥一次后治療有效的時(shí)間是____小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 題中圖象本來是通過實(shí)驗(yàn)分析得到相關(guān)數(shù)據(jù)抽象出來的數(shù)學(xué)模型，這里讓我們通過識(shí)圖找到相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后建立每毫升血液中的含藥量關(guān)于時(shí)間的分段函數(shù). 分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．

六、高次函數(shù)模型

(1)求y=f(x)的解析式及定義域；

(2)求出產(chǎn)品的增加值y的最大值及相應(yīng)的x值.

解析 (1)由已知，設(shè)y=f(x)=k(a-x)x2.

點(diǎn)評(píng)f′(x0)=0，只是函數(shù)f(x)在x0處有極值的必要條件，求實(shí)際問題的最值應(yīng)先建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，并根據(jù)實(shí)際意義確定其定義域，然后根據(jù)問題的性質(zhì)可以斷定所建立的目標(biāo)函數(shù)f(x)確有最大或最小值，并且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得，這時(shí)f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部又只有一個(gè)使f′(x)=0的點(diǎn)x0，那么就不必判斷x0是否為極值點(diǎn)，取什么極值，可斷定f(x0)就是所求的最大或最小值.

七、識(shí)圖型應(yīng)用題

例7 下圖中的陰影部分由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩矩形所構(gòu)成．設(shè)函數(shù)S=S(a)(a≥0)是圖中陰影部分介于平行線y=0及y=a之間的那一部分的面積，則函數(shù)S(a)的圖象大致為( ).

解析 根據(jù)圖象可知在[0，1]上面積增長的速度變慢，在圖形上反映出切線的斜率在變??；在[1，2]上面積增長速度恒定，在[2，3]上面積增長速度恒定，而在[1，2]上面積增長速度大于在[2，3]上面積增長速度，故選C.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的圖象，同時(shí)考查了識(shí)圖能力以及分析問題和解決問題的能力.先觀察原圖形面積增長的速度，然后根據(jù)增長的速度在圖形上反映出切線的斜率進(jìn)行判定即可．

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