河南省鄭州一中西校區(qū)高三（4）班 劉燁錕

虛數(shù)到底有多能？再奇妙也不是萬能

河南省鄭州一中西校區(qū)高三（4）班 劉燁錕

本文通過從虛數(shù)和復(fù)數(shù)的概念入手，嘗試尋找一個數(shù)“與 0相乘等于1”，但是通過對概念進(jìn)行分析和數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算不難發(fā)現(xiàn)，有時候?yàn)榱藢?shí)現(xiàn)一些不可能的運(yùn)算而進(jìn)行的假設(shè)，確實(shí)是違背數(shù)學(xué)常理的。

虛數(shù)；復(fù)數(shù)；0；1

數(shù)學(xué)是一門神奇的科學(xué)，小時候我們經(jīng)常會想：為什么0乘以任何數(shù)都等于0呢？隨著年齡的增長，高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和內(nèi)容越來越多，在講到虛數(shù)和復(fù)數(shù)時，更加感受到數(shù)學(xué)的奧妙之處！在虛數(shù)的世界中似乎無所不能，虛數(shù)真的有這么強(qiáng)大嗎？本文通過從虛數(shù)和復(fù)數(shù)的概念入手，嘗試尋找一個數(shù)“與 0相乘等于1”，但是通過對概念進(jìn)行分析和數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算不難發(fā)現(xiàn)，有時候?yàn)榱藢?shí)現(xiàn)一些不可能的運(yùn)算而進(jìn)行的假設(shè)，確實(shí)是違背數(shù)學(xué)常理的。

一、虛數(shù)

“虛數(shù)”這個名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因?yàn)楫?dāng)時的觀念認(rèn)為這是真實(shí)不存在的數(shù)字。后來發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對應(yīng)平面上的縱軸，與對應(yīng)平面上橫軸的實(shí)數(shù)同樣真實(shí)。

人們發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問題。像x2+1=0這樣最簡單的二次方程，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解。到了16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在其著作《大術(shù)》（《數(shù)學(xué)大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數(shù)記號。但他認(rèn)為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾，在其《幾何學(xué)》中第一次給出“虛數(shù)”的名稱，并和“實(shí)數(shù)”相對應(yīng)。

直到19世紀(jì)初，高斯系統(tǒng)地使用了i這個符號，并主張用數(shù)偶（a、b）來表示a+bi，稱為復(fù)數(shù)，虛數(shù)才逐步得以通行。由于虛數(shù)闖進(jìn)數(shù)的領(lǐng)域時，人們對它的實(shí)際用處一無所知，在實(shí)際生活中似乎沒有用復(fù)數(shù)來表達(dá)的量，因此在很長一段時間里，人們對它產(chǎn)生過種種懷疑和誤解。

繼歐拉之后，挪威測量學(xué)家維塞爾提出把復(fù)數(shù)（a+bi）用平面上的點(diǎn)來表示。后來高斯又提出了復(fù)平面的概念，終于使復(fù)數(shù)有了立足之地，也為復(fù)數(shù)的應(yīng)用開辟了道路?，F(xiàn)在，復(fù)數(shù)一般用來表示向量（有方向的量），這在水利學(xué)、地圖學(xué)、航空學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，虛數(shù)越來越顯示出其豐富的內(nèi)容。

二、復(fù)數(shù)

要進(jìn)行虛數(shù)的運(yùn)算，首先要知道復(fù)數(shù)的定義。既然i表示旋轉(zhuǎn)量，我們就可以用i，表示任何實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。

將實(shí)數(shù)軸看作橫軸，虛數(shù)軸看作縱軸，就構(gòu)成了一個二維平面。旋轉(zhuǎn)到某一個角度的任何正實(shí)數(shù)，必然唯一對應(yīng)這個平面中的某個點(diǎn)。

只要確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，比如(1 ,i)，就可以確定某個實(shí)數(shù)的旋轉(zhuǎn)量（45度）。

數(shù)學(xué)家用一種特殊的表示方法，表示這個二維坐標(biāo)：用 + 號把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)連接起來。比如，把 (1,i) 表示成1 +i。這種表示方法就叫作復(fù)數(shù)（complex number），其中 1 稱為實(shí)數(shù)部，i稱為虛數(shù)部。

三、與 0 相乘等于1，是奇跡？要實(shí)現(xiàn)還是違背了常理

這個思路緣于一次數(shù)學(xué)課上，老師在講虛數(shù)的時候，老師給我們出了一個問題：列個式子算算最后算的結(jié)果是對-1開平方。大家都無從下手的時候，老師說：“咱們定義一個i，它的平方等于-1，看，這個式子就有結(jié)果了，答案是i。”全班同學(xué)都恍然大悟！

此時我想：為什么不能定義一個數(shù)，和0相乘等于1呢？這樣其他數(shù)除以0就有結(jié)果了。老師說：0不能做除數(shù)！但是我想：負(fù)數(shù)也不能開平方啊。老師這個時候強(qiáng)調(diào)到：虛數(shù)i。聽完老師的話，我又通過一系列的學(xué)習(xí)，認(rèn)識到：虛數(shù)是有實(shí)用性的，所以才有了i，那么會不會存在這個l，與 0 的乘積等于1呢?

將自己的思路梳理清楚之后，我總結(jié)出來要解答這個問題需要先解決兩個問題：

1.把－1的平方根加進(jìn)實(shí)數(shù)是否可行？

2.可不可以把1/0加進(jìn)實(shí)數(shù)？

首先我們要明確復(fù)數(shù)域嚴(yán)格定義，即：復(fù)數(shù)域，由復(fù)數(shù)和數(shù)域兩個詞合成。復(fù)數(shù)是指形如“a+bi”一類的數(shù)，其中a，b都是實(shí)數(shù)，i=根號(-1)，稱虛數(shù)單位。數(shù)域是數(shù)的一種集合。滿足以下條件∶

①如果a，b是集合中的任意兩個數(shù)，那么a+b和a-b也在這個集合中；

②如果a，b是集合中的任意兩個數(shù)，那么a＊b和a/b(b≠0)也在這個集合中。

由此可見，復(fù)數(shù)相比實(shí)數(shù)并不單純是加了個i這么簡單，還需說明加了這個i之后和原有的代數(shù)系統(tǒng)是相容的。因此我們可以得出結(jié)論：把－1的平方根加進(jìn)實(shí)數(shù)是一個可行的操作，且不能把1/0加進(jìn)實(shí)數(shù)，因?yàn)檫@樣做會破壞實(shí)數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。0最基本的意義是加法單位元，1最基本的意義是乘法單位元，所以我們討論的結(jié)構(gòu)一定是一個集合S配上一個加法和一個乘法，首先要要求加法和乘法之間滿足分配率，如果要實(shí)現(xiàn)一個數(shù)和0相乘為1，就會破壞實(shí)數(shù)的性質(zhì)，它會強(qiáng)迫0=1，這樣做會導(dǎo)致所有的元素都等于0，這樣得到的數(shù)集就只含有一個元素，實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則也就被破壞了。

在一些最基本的假設(shè)（乘法加法和它們之間的相容性），加法有逆元（無論左逆還是右逆），更進(jìn)一步，假如加法單位元的乘法左逆有加法右逆（或 乘法右逆有加法左逆），則這個奇奇怪怪的代數(shù)結(jié)構(gòu)只能是單點(diǎn)集合和平凡的加法乘法，奇妙的運(yùn)算是奇跡還是違背常理，深入剖析基礎(chǔ)概念進(jìn)行運(yùn)算就能見分曉。

[1]M.克萊因.數(shù)學(xué)：確定性的喪失[M].李宏魁，譯.長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1997.

[2]M.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第4冊）[M].北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組，譯.上海：上?？萍汲霭嫔纾?981.