江蘇省張家港市張家港開(kāi)放大學(xué) 陳海文

遞推法在概率論解題中的應(yīng)用分析

江蘇省張家港市張家港開(kāi)放大學(xué) 陳海文

新課改背景下，概率成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的新內(nèi)容，鑒于概率具有重要的理論性和實(shí)際性，在教學(xué)中占據(jù)重要位置。特別是在近年的高考中，有關(guān)概率、組合、排列的問(wèn)題不斷增多并且問(wèn)題類型不斷翻新。任何問(wèn)題的解決，其方法非常重要，所以針對(duì)概率論解題中遞進(jìn)法的實(shí)際運(yùn)用進(jìn)行分析，探究高效的解題方法，對(duì)于教學(xué)質(zhì)量以及學(xué)習(xí)效率的提高具有積極的推動(dòng)作用。本文就概率論、遞推法等概念進(jìn)行分析，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題研究遞推法在概率論問(wèn)題解決過(guò)程中的實(shí)際應(yīng)用，以期為相關(guān)問(wèn)題的解決提供幫助。

遞推法；概率論；應(yīng)用

在一些概率問(wèn)題解決的過(guò)程中數(shù)學(xué)思想的方法得到了充分應(yīng)用，成為知識(shí)與能力之間轉(zhuǎn)換的橋梁，提高數(shù)學(xué)思想在概率解題過(guò)程中的正確運(yùn)用的思想認(rèn)識(shí)，同時(shí)也反映出學(xué)生學(xué)習(xí)的水平及解題能力。在數(shù)學(xué)諸多的思想方法中，遞推法在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用比較廣泛。尤其是近年來(lái)，遞推法在概率類解題中的滲透成為教學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是新課標(biāo)與高考的基本要求，因此分析研究概率解題中遞推法的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)引起教師及學(xué)生的高度重視，更是提高解題能力與解題質(zhì)量的重要手段。

一、定義解析

1.遞推法的含義

遞推法是以具體問(wèn)題為根據(jù)，進(jìn)行遞推關(guān)系的構(gòu)建，然后利用遞推關(guān)系實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解，是將若干個(gè)可重復(fù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算應(yīng)用到對(duì)復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行描述的一種方法。其中有關(guān)正整數(shù)的參變量特殊關(guān)系可通過(guò)遞推關(guān)系來(lái)表示，這是個(gè)以指定的初值為出發(fā)點(diǎn)，然后運(yùn)用遞推關(guān)系進(jìn)行逐步計(jì)算，最終獲得需要的結(jié)果。計(jì)算機(jī)序列運(yùn)算中，遞推法是比較常用的一種方法。序列當(dāng)中的每項(xiàng)的計(jì)算都是利用一定規(guī)律來(lái)實(shí)施，指定項(xiàng)的值是通過(guò)對(duì)位于計(jì)算機(jī)前面的項(xiàng)的運(yùn)算得出。將龐大、復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程變得簡(jiǎn)單化的重復(fù)運(yùn)算，這種方法將計(jì)算機(jī)可無(wú)限運(yùn)作與快速的優(yōu)勢(shì)充分發(fā)揮出來(lái)。

遞推法的解題過(guò)程一般包括：按照次序?qū)现械淖钤肌⒆畛跞舾蓡?wèn)題進(jìn)行研究；按照次序?qū)现写嬖趩?wèn)題之間互為轉(zhuǎn)換的規(guī)律，也就是推進(jìn)關(guān)系進(jìn)行探尋，最終逐次轉(zhuǎn)化問(wèn)題為簡(jiǎn)單的、底層的，并且能夠解決或者已經(jīng)解決的問(wèn)題。

2.概率的含義

對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律進(jìn)行研究的一個(gè)數(shù)學(xué)分支稱為概率。這里的隨機(jī)現(xiàn)象泛指決定現(xiàn)象相對(duì)而言。而決定性現(xiàn)象是指一定條件下，一種結(jié)果將會(huì)必然產(chǎn)生的現(xiàn)象。比如，標(biāo)準(zhǔn)氣壓下，當(dāng)純水溫度上升至100℃時(shí)，必然會(huì)出現(xiàn)沸騰現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象通常指基本條件確定的狀況下，每次的觀察與實(shí)驗(yàn)前，對(duì)于哪種現(xiàn)象的發(fā)展不能肯定，具有很大的偶然性。在隨機(jī)試驗(yàn)中，事件的發(fā)生雖然具有偶然性，但是相同條件下的反復(fù)進(jìn)行的大量隨機(jī)試驗(yàn)所呈現(xiàn)出來(lái)的數(shù)字規(guī)律往往是非常明顯的。

概率思想不僅在學(xué)科教育方面應(yīng)用比較廣泛，同時(shí)在其他領(lǐng)域也得到了部分應(yīng)用。在學(xué)科教育方面，概率思想主要組成部分有計(jì)算以及證明，其中舉例論證以及遞推解題法的應(yīng)用比較廣泛，將解題過(guò)程中不能簡(jiǎn)單、快捷解決的問(wèn)題，在概率解題思想的引導(dǎo)下，能夠使計(jì)算步驟得到簡(jiǎn)化，計(jì)算次數(shù)大幅減少，節(jié)約解題時(shí)間，同時(shí)又使計(jì)算或者證明的準(zhǔn)確性得到保障，使學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)得到鞏固，解題的實(shí)際能力大大提高。

二、遞推法在概率論解題中的實(shí)際應(yīng)用

通過(guò)初始值的遞推，繼而獲取必要的結(jié)果。對(duì)于離散樣本，尤其是古典的概率類型的問(wèn)題，都是些針對(duì)有關(guān)于自然數(shù)的事件概率而進(jìn)行的研究。目前，在中小學(xué)教學(xué)階段，有關(guān)自然數(shù)的概率問(wèn)題的解決，很好地運(yùn)用到了遞推解題方法，能夠充分體現(xiàn)出遞推法解題具有很好簡(jiǎn)潔性，其中有些問(wèn)題唯有適合用遞推法給予解決。

例題一：對(duì)于有N個(gè)點(diǎn)組成的任意一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖，其中的任意一點(diǎn)都相連于N-1個(gè)點(diǎn)，從任意點(diǎn)A開(kāi)始出發(fā)，在等概情況下，每次選擇一條途徑達(dá)到另一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)f步后返回A點(diǎn)的概率是多少?

方法一：從A點(diǎn)開(kāi)始走f步共有（N-1）f次不同的路徑，假設(shè)返回A點(diǎn)的路徑有af條，那么從A點(diǎn)開(kāi)始走f-1步的路徑有（N-1）f-1條，回到A點(diǎn)的路徑有（a）f-1條，剩下的每種在向前走一步的情況下即可到達(dá)點(diǎn)A，因此，則。

由此可以得出從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)f步后返回A點(diǎn)的概率為

方法二：假設(shè)由A點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)f以后返回A點(diǎn)的概率為Pf，則，P0=1,P1=0，第f-1步?jīng)]有在A點(diǎn)上，在另外的N-1個(gè)任意點(diǎn)有的概率，由第f步返回A點(diǎn)有，則

以上兩種解題方法均為遞推法。

例題二：將一枚硬幣在連續(xù)投擲n次后，求在硬幣投擲過(guò)程中，出現(xiàn)兩次連續(xù)正面向上的概率為多少？

解題思路;針對(duì)這樣的問(wèn)題，如果采取直接下手解決，難度比較大。這種情況下可采用間接的解題方法進(jìn)行思考，把不發(fā)生連續(xù)兩次正面向上的概率設(shè)定為0，以此為突破口尋找問(wèn)題解決的途徑。

將不發(fā)生連續(xù)兩次正面向上的概率設(shè)定為Pn，那么，當(dāng)P1=1時(shí)，P2=3/4，如果n大于2，則會(huì)有以下兩種情形產(chǎn)生。

第一，如果第一次投擲時(shí)是背面向上，那么在以后的n-1次投擲過(guò)程中，將會(huì)有Pn-1的概率不發(fā)生連續(xù)兩次投擲正面向上。

第二，如果第一次投擲時(shí)是正面向上，為了避免連續(xù)兩次投擲正面向上的情況發(fā)生，則第二次投擲則必須是反面向上，剩下的n-2次投擲將會(huì)有Pn-2的概率不發(fā)生連續(xù)兩次正面向上。

例題三：甲、乙兩人玩擲骰子游戲，游戲要求為：當(dāng)所投擲的骰子點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，擲骰子的一方可以繼續(xù)投擲；如果所投擲的骰子點(diǎn)數(shù)非3的倍數(shù)，則由另一人開(kāi)始投擲，假如第一次甲開(kāi)始投擲，求在第n次時(shí)仍舊由甲投擲的概率為多少？

連續(xù)兩次投擲骰子，其點(diǎn)數(shù)的和是3的倍數(shù)時(shí)，其概率P值是12/36=1/3，在點(diǎn)數(shù)和不是3的倍數(shù)時(shí)的概率是1-1/3=2/3，就針對(duì)第n次投擲由甲來(lái)操作，其中包括甲投擲的第n-1次投擲。而甲繼續(xù)在第n次投擲以及乙投擲第n-1次，甲投擲第n-1次這一事件，兩個(gè)事件的關(guān)系是相互駁斥的，甲投擲第n次的概率是Pn-1，乙投擲概率則是1-Pn-1，因此，……顯而易見(jiàn)，P1=1，由上面的式子可得，因此，，進(jìn)而可得，(n≥1，且n≤N)。

總之，遞推法在概率論教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用地位非常重要，由上述例子的解題過(guò)程不難看出，推進(jìn)法能夠?qū)⒏怕收撍枷肟坍?huà)地更加直觀，實(shí)現(xiàn)概率問(wèn)題和直觀解題之間互為轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)抽象與形象思維的有效融合；遞推法的應(yīng)用，使數(shù)量關(guān)系與空間的實(shí)際形式進(jìn)行結(jié)合，來(lái)尋找、創(chuàng)新心的解題思路，確保問(wèn)題的順利解決。只有對(duì)概率課的特性進(jìn)行充分把握，有效實(shí)施遞推教學(xué)方法，最終促進(jìn)教學(xué)效率，提高學(xué)生高效學(xué)習(xí)的效果。

[1]劉建波.“遞推思想”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例[J].科學(xué)咨詢：教育科研，2010（4）.

[2]劉國(guó)軍.“遞推法”在解答高中物理試題中的運(yùn)用[J].中學(xué)物理：高中版，2015（11）：72-73.

[3]沈春林.遞推思想在概率問(wèn)題中的有趣應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2013（10）.