潘榮杰

(北京市第八十中學(xué) 100102)

幾何問(wèn)題中的定值問(wèn)題其實(shí)就是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的恒成立問(wèn)題，這種恒成立問(wèn)題反映了該幾何問(wèn)題的本質(zhì)特征．因?yàn)槎ㄖ祮?wèn)題是幾何問(wèn)題的核心問(wèn)題之一，所以在全國(guó)各地高考試題中，對(duì)圓錐曲線中的定值問(wèn)題考查屢見不鮮．下面就2016年北京文科高考19題的背景與拓展談?wù)劰P者的一點(diǎn)思考．

(Ⅰ)求橢圓C的方程及離心率；

(Ⅱ)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N．求證：四邊形ABNM的面積為定值．

【問(wèn)題簡(jiǎn)析】第二問(wèn)是一個(gè)定值問(wèn)題，定值問(wèn)題的本質(zhì)是一種恒成立問(wèn)題，解決定值問(wèn)題的方法有兩種，一種是引入?yún)?shù)，建立函數(shù)關(guān)系，化簡(jiǎn)求解；另一種是先猜后證，先特殊后一般．

【問(wèn)題解答】(Ⅰ)由題意得，a=2，b=1．

(Ⅱ)設(shè)P(x0,y0)(x0<0,y0<0)，

又A(2,0)，B(0,1)，

所以四邊形ABNM的面積

從而四邊形ABNM的面積為定值．

【方法點(diǎn)評(píng)】引入點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)，建立面積S與x0,y0的關(guān)系S=f(x0,y0)，化簡(jiǎn)f(x0,y0)求得定值．也可以引入直線PB的斜率k，建立S與k的關(guān)系S=f(k)，化簡(jiǎn)f(k)求得定值．

【追根溯源】為什么四邊形ABNM的面積為定值？

設(shè)橢圓C在直角坐標(biāo)系Oxy下的方程為：

則橢圓C方程變?yōu)閤′2+y′2=a2．

下面給出一種幾何證明方法．

【推理證明】設(shè)∠PBM=α,∠PAN=β，

則α+β=45°

又OA=OB=R．即

OM·ON+ON·OB+OM·OA

=OA·OB=R2．

四邊形ABNM的面積為

S△OMN+S△ONB+S△OMA+S△OAB=R2．

四邊形ABNM的面積為定值R2．

根據(jù)仿射變換，我們很容易將圓中的一些性質(zhì)推廣到橢圓上去．

【拓展延伸1】橢圓上點(diǎn)P不在第三象限內(nèi)時(shí)，是否還有類似的性質(zhì)？比如P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，類比猜想“誰(shuí)”的面積為定值？

【嘗試驗(yàn)證】設(shè)P(x0,y0)(x0>0,y0>0)，

S△PMN-S△PAB=S△NBM-S△ABM

=2．

從而三角形PMN與三角形PAB的面積之差為定值．

我們用同樣的方法可以證明，這里不再贅述．

【知識(shí)鋪墊】過(guò)橢圓中心的弦叫橢圓的直徑．平行于直徑CD的弦的中點(diǎn)的軌跡AB和直徑CD互為共軛直徑．當(dāng)一對(duì)共軛直徑互相垂直時(shí)，即為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸．

【嘗試驗(yàn)證】如圖，不妨設(shè)定點(diǎn)A(2cosθ,sinθ)，且點(diǎn)A在第一象限，B(2cosα,sinα)，且點(diǎn)B在第四象限．

此時(shí)B(2sinθ,-cosθ)，設(shè)P(2cosβ,sinβ)，

點(diǎn)N、點(diǎn)B到直線AE的距離分別為dN,dB．

四邊形ABMN的面積為

=2(定值)．

成功！ 我們的猜想又是正確的．

對(duì)本題的探索也許剛剛開始，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答也許并不困難，但若缺少了思考、追問(wèn)、猜想、驗(yàn)證，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者就很難抓住問(wèn)題本質(zhì)．問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，如果能對(duì)核心問(wèn)題深入探究，不斷從一個(gè)特殊問(wèn)題逐步引申到另一個(gè)一般性問(wèn)題，這種自發(fā)的提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)過(guò)程，一定會(huì)使得我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加有意義．