查達彬

[摘 要]數(shù)形結(jié)合既是重要的數(shù)學(xué)思想，又是常用的數(shù)學(xué)方法。課堂教學(xué)中，教師如果長期滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，就能使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)意識和解決問題的策略，長期穩(wěn)固地作用于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。

[關(guān)鍵詞]畫圖 填表 數(shù)形結(jié)合 規(guī)律 方案 表達

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）35-017

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！庇纱丝梢姡瑪?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。

“打電話”這節(jié)課是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊綜合應(yīng)用中的一個內(nèi)容，其中有這樣一道題：“一個合唱隊共有15人，暑假期間李老師接到一個緊急演出的通知，要合唱隊的15名隊員參加演出。如果以打電話的方式，每分鐘通知一人，怎樣盡快通知到每個隊員？”下面，我就以“打電話”教學(xué)為例，談?wù)勅绾芜\用數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律。

一、數(shù)形結(jié)合，嘗試表達

教學(xué)片斷1：

生1：我覺得一個一個地打電話通知浪費時間，分組通知應(yīng)該快一些。

師：如果分組通知，你會怎么分組？通知完一共需要多長時間？（生小組討論）

生2：我們小組把15人平均分成3組，每組5人，老師通知3個組長需要3分鐘，組長再通知4個隊員需要4分鐘，一共需要7分鐘。

生3：我們小組把15人平均分成5組，每組3人，老師通知5個組長，需要5分鐘，組長再通知2個隊員，需要2分鐘，一共需要7分鐘。

師：這兩位同學(xué)不僅說出了平均分組通知所用的時間，還說出了平均分組通知的過程。不過，這個過程我們聽起來還不夠清晰，大家能否用簡潔的圖形把平均分組的過程表示出來？為了方便，我們不妨用“□”代表老師、用“○”代表組長、用“△”代表組員來畫圖，第幾分鐘就標(biāo)上幾。（學(xué)生畫圖后，師展示兩位學(xué)生的作品，略）

師：這兩位同學(xué)展示的圖形清晰、美觀，很好地表示出打電話通知的過程。

……

思考：對于五年級學(xué)生而言，平均分組通知的方案是比較容易找出來的。這里，在學(xué)生找出方案后，教師還讓他們畫圖表達，不僅使學(xué)生進一步明晰平均分組通知的過程，而且引導(dǎo)學(xué)生嘗試數(shù)形結(jié)合的方法，為后續(xù)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題做好準備。

二、數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化方案

教學(xué)片斷2：

師：同學(xué)們剛才已經(jīng)會用圖來表示平均分組通知的過程，這很不簡單！但是，這兩種方法是不是用時最短的方法呢？大家能不能通過畫示意圖找出用時最短或較短的方法呢？（生小組討論并畫圖）

生4（出示下圖）：我們小組通過畫圖覺得可以分成4組來通知，不過不是平均分組，而是有3個小組每組是4人，一個小組是3人，一共需要6分鐘。

生5（出示右圖）：我們小組通過畫圖認為可以分成3組來通知，不過也不是平均分組，而是分為6人、5人、4人三組，需要的時間也是6分鐘。

生6（出示右圖）：我們小組通過畫圖認為可以分成5組來通知，不過也不是平均分組，而是每組分別為5人、4人、3人、2人、1人，一共需要5分鐘。

師：這三個小組同學(xué)探討出來的方法，實際上就是不平均分組通知的方案。

……

思考：小學(xué)生年齡小，以形象思維為主，所以在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，往往會單維度的思考問題。課堂教學(xué)中，讓學(xué)生畫示意圖，既可以把抽象的問題變得直觀，又可以借助圖形進行思維、想象，從而找出更省時間的方案。

教學(xué)片斷3：

師：同學(xué)們真了不起，能夠通過畫圖探究出這么多不平均分組通知的方法。但是，為什么不平均分組通知的方法比平均分組通知的方法花的時間都要少呢？

生7：我知道了！因為平均分組通知，老師、組長盡管都在幫忙通知，但由于組員數(shù)一樣多，所以老師最后通知的那個組花的時間就要多一些，而不平均分組通知可以把老師先通知的小組多安排一些人，后通知的小組少安排一些人，這樣就節(jié)省時間了。

師：這位同學(xué)說得真好！那么，用時5分鐘是不是最短的時間呢？

生8：不是！因為畫圖時我發(fā)現(xiàn)用不平均分組通知的方法，盡管老師、組長都在通知，但不是始終都在通知，還有閑著的時候。我想，如果老師、組長和已接到通知的組員都全員參與通知，那還是可以節(jié)省時間的。

師：這位同學(xué)說得太好了！全員參與通知也就是大家都不閑著！那請大家繼續(xù)通過畫圖，找出全員參與通知這種更省時間的方法。（生討論并畫圖）

生9（出示下圖）：全員參與通知只要4分鐘。

生10（出示右圖）：我畫的圖不一樣，不過也只要4分鐘。

師：同學(xué)們看一看，比較一下，哪位同學(xué)的畫法更清晰？

生（齊）：最后一位同學(xué)的畫法看得更清楚。

師：我們通過邊畫圖邊探究，想出了這么多好的方案。經(jīng)過比較，大家覺得全員參與通知這種方案用時最少，只要4分鐘，其原因是每個接到通知的隊員包括老師在內(nèi)都不閑著。

……

思考：在學(xué)生探究的過程中，數(shù)形結(jié)合為方案的不斷優(yōu)化起到了一個“拐杖”的作用，既促進學(xué)生積極思維，降低了學(xué)生探究的難度，又幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并找到隱含其中的規(guī)律，讓學(xué)生進一步體會到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系以及優(yōu)化思想在生活中的應(yīng)用。在此過程中，學(xué)生不僅品嘗到了成功的喜悅，而且感受到數(shù)形結(jié)合這種方法的魅力。

三、數(shù)形結(jié)合，探究規(guī)律

教學(xué)片斷4：

師：剛才我們研究的這個最省時的通知方案到底有什么規(guī)律呢？第1分鐘通知了幾人？

生11：第1分鐘通知了1人。

師：接到通知的隊員和老師的總數(shù)是幾人？

生12：接到通知的隊員和老師的總數(shù)是2人。

師：第2分鐘呢？

生13：第2分鐘通知了2人，接到通知的隊員和老師的總數(shù)是4人。

師：第3分鐘呢？

生14：第3分鐘通知了4人，接到通知的隊員和老師的總數(shù)是8人。

……

思考：探索最優(yōu)方案中的規(guī)律是本節(jié)課教學(xué)的難點。學(xué)生在思考打電話的時間與通知到的隊員人數(shù)的問題時，常會被表面現(xiàn)象所迷惑，而不能抓住事物的內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)——到第n分鐘所有接到通知的隊員和老師的總數(shù)是一個等比數(shù)列。上述教學(xué)，教師按時間順序提問，通過不斷深入，使學(xué)生對規(guī)律一步步明晰，為后面的填寫表格埋下伏筆。

教學(xué)片斷5：

師：通過填表，你發(fā)現(xiàn)了什么？（生小組討論后匯報交流）

師生總結(jié)：后一分鐘知道消息的人數(shù)是前一分鐘知道消息人數(shù)的2倍，即知道消息的人數(shù)是成倍增加的，那么接到通知的總?cè)藬?shù)比知道消息的總?cè)藬?shù)少1人。

……

思考：上述教學(xué)，教師先出示表格，再讓學(xué)生根據(jù)表格的內(nèi)容要求計算填表，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的各項數(shù)據(jù)，分析各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系并討論交流。表格具有簡單、明了、清晰的特點，通過表格的形式進行探究，有利于學(xué)生抓住事物的本質(zhì)特點，總結(jié)出事物的變化規(guī)律，促進學(xué)生思維的發(fā)展。

四、數(shù)形結(jié)合，拓展延伸

教學(xué)片斷6：

（1）快速搶答。

①李老師按每分鐘通知1人計算，要通知31名舞蹈隊隊員，最少要幾分鐘？63人呢？

②按每分鐘通知1人計算，第10分鐘時共通知了多少人？

（2）小新是一名業(yè)務(wù)員。有一天，他幫老板談成了一筆業(yè)務(wù)，讓公司賺了500萬元，老板很高興，要獎勵小新，讓他提個要求。小新說：“我的要求不高，您只要從現(xiàn)在起第一個月給我1000元獎金，第二個月2000元，第三個月4000元，如此遞增下去，連續(xù)獎我10個月就行了?！崩习逡宦?，要求不高，就答應(yīng)了。你們知道第10個月要獎勵小新多少元嗎？（生答略）

師：回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你覺得最大的收獲是什么？知道了哪些學(xué)習(xí)和研究方法？

……

思考：上述教學(xué)，通過拓展練習(xí)和這節(jié)課知識、學(xué)習(xí)方法的回顧，教師引導(dǎo)學(xué)生進一步梳理、提煉解決問題的方法和策略，使數(shù)形結(jié)合的思想方法深入學(xué)生心底，并內(nèi)化為他們解決問題的習(xí)慣和技能。

總之，課堂教學(xué)中，教師如果長期滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，就能使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)意識和解決問題的策略，長期穩(wěn)固地作用于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。

（責(zé)編 杜 華）