☉江蘇省沭陽縣龍廟初級(jí)中學(xué) 王 靜

基于學(xué)情有的放矢，預(yù)設(shè)開放促進(jìn)對(duì)話
——“相似三角形的判定（2）”課例解讀

☉江蘇省沭陽縣龍廟初級(jí)中學(xué) 王 靜

初中幾何的教學(xué)都是先學(xué)全等，隔了“較長(zhǎng)時(shí)間”才學(xué)習(xí)相似，這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、類似全等學(xué)習(xí)相似很關(guān)鍵.筆者近期有機(jī)會(huì)開設(shè)相似三角形的判定（2）研究課，對(duì)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”一課的思考較為深入.本文梳理該課的教學(xué)過程，并跟進(jìn)闡釋教學(xué)立意，供分享與研討.

一、“相似三角形的判定（2）”教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）開課階段，探究新知

問題1：我們已學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？（要求學(xué)生回顧、列舉此前已學(xué)習(xí)的定義法、平行法、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例）

問題2：類比全等三角形判定方法“ASA”，你能否猜想出新的相似三角形判定方法？

預(yù)設(shè)：如果有兩角對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形相似.證明方法類似于此前兩個(gè)定義的證明方法，這里讓優(yōu)秀學(xué)生口述證明思路即可.進(jìn)而歸納出這種判定方法的文字表述和符號(hào)語言.

文字表述：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

圖1

符號(hào)語言：如圖1，

∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，

∴△ABC∽△A′B′C′.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）例題講評(píng)，鞏固新知

例1如圖2，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.

（1）求證△ABC∽△AED；

（2）若DE=4，AE=5，BC=8，求AB的長(zhǎng).

圖2

圖3

同類練習(xí)：如圖3，已知在等腰三角形ABC中，頂角∠A=36°，BD為∠ABC的平分線，圖中有相似三角形嗎？

設(shè)計(jì)意圖：例1及其同類練習(xí)主要訓(xùn)練新學(xué)的判定方法.同時(shí)同類練習(xí)也是一類經(jīng)典圖形：黃金三角形（頂角為36°的等腰三角形）.

例2如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D.

圖4

（1）求證：CD2=AD·BD；

（2）你還能得出哪些“這樣”的乘積式？

同類練習(xí)：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′= 90°，若添加一個(gè)條件，使得Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′，則下列條件中不符合要求的是（）.

設(shè)計(jì)意圖：例題及同類練習(xí)主要關(guān)注“射影定理”基本圖形，這類圖形有很廣泛的應(yīng)用，后續(xù)還會(huì)有豐富的變式與應(yīng)用.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）綜合拓展，引入圓的背景習(xí)題

例3如圖5，已知△ABC和△ABD都是⊙O的內(nèi)接三角形，AC和BD相交于點(diǎn)E.

圖5

圖6

（1）求證：△ADE∽△BCE；

（2）求證：AE·CE=BE·DE.

同類練習(xí)1：如圖6，⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，PB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，PC交⊙O于C、D兩點(diǎn).

（1）求證：PA·PB=PD·PC；

同類練習(xí)2：如圖7，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求證：△EBC∽△EAC；（2）若AE=6，CE=4，求⊙O的半徑及陰影部分面積.

圖7

設(shè)計(jì)意圖：引入圓的背景問題，讓學(xué)生在圓的背景問題中也能靈活地應(yīng)用新知判定兩個(gè)三角形相似，并解決相關(guān)問題.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）課堂小結(jié)，聽課檢測(cè)

問題1：通過本課的學(xué)習(xí)，有人說要判斷兩個(gè)直角三角形相似，只要找到一組角相等就可以.你覺得這個(gè)命題正確嗎？

問題2：這節(jié)課中，你覺得哪一種圖形值得積累？它能為你的解題帶來哪些方便？

問題3：有人發(fā)現(xiàn)，過圓上任意一點(diǎn)作直徑的垂線段，則垂足將直徑分成的兩條線段的積等于該垂線段的平方.你覺得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？

聽課檢測(cè)：

題1：在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高.

（1）求證：AC2=AD·AB；

（2）若BD=1，AD=3，求BC、AC的長(zhǎng).

題2：如圖5，已知△ABC和△ABD內(nèi)接于圓O，AC和BD相交于點(diǎn)E.

（1）找出圖中一對(duì)相似三角形，并證明；

（2）若AD=2，BC=4，BD=4，求DE的長(zhǎng)；

（3）延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)F，求證：FA·FB=FD·FC.

設(shè)計(jì)意圖：這兩道聽課檢測(cè)簡(jiǎn)單改編自上面的例2、例3，可有效檢測(cè)學(xué)生聽課的效果.而且圖形及字母也沒有變換，目的是讓學(xué)生快速理解題意.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.理解課標(biāo)、理解教學(xué)，有的放矢組織教學(xué)內(nèi)容

筆者備課時(shí)再次檢索、研習(xí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，發(fā)現(xiàn)國(guó)家對(duì)相似三角形的判定的教學(xué)要求如下：

（4）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.*了解相似三角形判定定理的證明.

（5）了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方.

特別是，這里還增加了“底注：考試中，不要求用（4）（5）證明其他命題.”

根據(jù)以上表述，我們?cè)陬A(yù)設(shè)本課教學(xué)時(shí)，沒有糾結(jié)于如何引導(dǎo)學(xué)生證明相似三角形的判定定理，只是基于“上不封頂”的理念，讓高層次學(xué)生“知其所以然”，安排優(yōu)秀學(xué)生口述證明思路，使其知道這里的判定是“定理”而非“公理”.

2.基于學(xué)情增設(shè)內(nèi)容，從“教教材”走向“用教材教”

由于證明“兩角相等的三角形相似”定理的時(shí)間大大節(jié)省出來，故基于學(xué)情的理解，我們?cè)黾恿死?，即以圓為背景的相似問題，而這些問題基于圓周角性質(zhì)可以很快轉(zhuǎn)化為新學(xué)知識(shí)的證明，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)并證明“相交弦性質(zhì)”，這樣有利于學(xué)生獲得一個(gè)整體觀，也對(duì)不少練習(xí)題的快速求解帶來幫助.

3.預(yù)設(shè)開放問題，促進(jìn)教學(xué)對(duì)話、互動(dòng)展示

南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授近年來一直倡導(dǎo)從開放題到開放的數(shù)學(xué)教學(xué)，并要求廣大一線教師通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問、追問，促進(jìn)學(xué)生想得更深、更合理、更準(zhǔn)確.基于上述思考，我們對(duì)不少例題的設(shè)問方式進(jìn)行構(gòu)思，比如例2在證出一個(gè)“比例中項(xiàng)”等式之后，追問“你還能得出哪些‘這樣’的乘積式”，使得學(xué)生想得更深入、更全面，讓不同的學(xué)生在同一個(gè)問題上有不同的收益和探究深度，并在后續(xù)交流展示過程中，讓思考深刻的學(xué)生獲得更多的學(xué)習(xí)成就感.

4.加強(qiáng)學(xué)情反饋，當(dāng)堂開展聽課檢測(cè)

采用聽課檢測(cè)的方式，對(duì)本課講評(píng)過的例題、習(xí)題進(jìn)行簡(jiǎn)單改編，即時(shí)反饋教學(xué)效果，這種做法非常接地氣，能弄清哪些學(xué)生是真懂、會(huì)做、做對(duì).在本課的最后階段，我們也安排了一組聽課檢測(cè)，分別改編自上面例題，圖形與字母都沒有改變，只是變換了問題的設(shè)問方式，有效檢測(cè)了學(xué)生聽課的效率.

三、寫在最后

對(duì)常態(tài)課的教學(xué)設(shè)計(jì)研究是各級(jí)教研活動(dòng)中比較薄弱的環(huán)節(jié)，本文選取平時(shí)教學(xué)進(jìn)度中的一節(jié)常態(tài)課開展教學(xué)研討，敬請(qǐng)同行批評(píng)指正，更歡迎類似的常態(tài)課的教學(xué)設(shè)計(jì)能呈現(xiàn)出來，以豐富常態(tài)課的教學(xué)研究.

1. 鄭毓信.數(shù)學(xué)教師如何才能用好教材［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（3）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3. 中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4. 鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

5. 章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，56（6）.Z