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        經(jīng)典問題有新意,命題教學(xué)雙引領(lǐng)
        ——由清華附中初三上學(xué)期月考壓軸題說起

        2016-12-28 12:19:37江蘇省揚州市邗江實驗學(xué)校劉黎銘
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年24期
        關(guān)鍵詞:教學(xué)學(xué)生

        ☉江蘇省揚州市邗江實驗學(xué)校 劉黎銘

        經(jīng)典問題有新意,命題教學(xué)雙引領(lǐng)
        ——由清華附中初三上學(xué)期月考壓軸題說起

        ☉江蘇省揚州市邗江實驗學(xué)校 劉黎銘

        在當(dāng)下月考制度是很多學(xué)校一項教學(xué)常規(guī)之時,不少月考卷的質(zhì)量低下也常常成為人們評論的熱點,而在一些重點學(xué)校往往比較重視校級層面的命題與審題工作,而且能有一兩道把關(guān)題精心設(shè)計,推陳出新,既有效檢測了學(xué)生近期學(xué)習(xí)的效果,又引導(dǎo)著數(shù)學(xué)知識的前后關(guān)聯(lián).本文關(guān)注一道北京清華附中初三月考題,先給出解題思路,再跟進命題和教學(xué)思考,提供研討.

        一、考題及思路突破

        考題(2016~2017學(xué)年北京清華附中初三12月份月考卷)如圖1,在正方形ABCD中,P是邊BC上的一個動點(不與B、C重合),線段AP的垂直平分線分別交AB,DC于M,N兩點,AP交MN于E點.

        (1)求證:MN=AP;

        (2)如圖2,連接DB,交MN于點Q,求證:EQ=ME+NQ.

        圖1

        圖2

        思路簡述:(1)這是關(guān)于正方形的一類經(jīng)典問題,在圖1中,AP⊥MN時,一定能證出AP=MN.構(gòu)造全等三角形可實現(xiàn)證明,具體說,有如下兩種構(gòu)造全等的方法,如圖3、圖4.

        圖3

        圖4

        在圖3中,證明△ABP≌△DAG,可得DG=MN=AP;在圖4中,證明△ABP≌NGM,MN=AP.

        (2)這個待證的結(jié)論比較奇異,要實現(xiàn)證明需要較強的幾何構(gòu)造能力.切入點是利用正方形的軸對稱性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì),以及上一問的結(jié)論MN=AP.

        構(gòu)造圖5,容易發(fā)現(xiàn)本題的深層結(jié)構(gòu),根據(jù)正方形的軸對稱性質(zhì)有QA=QC,根據(jù)MN垂直平分AP,有QA=QP,容易發(fā)現(xiàn)A,P,C三點均在圓Q上,此時結(jié)合同弧所對的圓周角是圓心角2倍,有∠AQP=2∠ACB=90°,所以△APQ是等腰直角三角形.而QE⊥AP,根據(jù)三線合一,有QE=AP,等量代換得QE=MN.即EQ=ME+QN.

        圖5

        圖6

        解后反思:第(1)問比較經(jīng)典和簡單,這里不再給出說明.第(2)問在上述證明過程中一個重要進展是證出“△APQ是等腰直角三角形”,有了這個進展,可以利用直角三角形斜邊上的中線溝通QE=AP.以下我們再從另外的角度貫通思路:

        另解1:從上面的分析知,問題的關(guān)鍵是證∠AQP為直角.如圖6,根據(jù)對稱性有AQ=CQ,由線段MN垂直平分AP,所以AQ=PQ,所以∠BAQ=∠BCQ=∠QPC,所以∠BAQ+∠BPQ=180°,所以在四邊形ABPQ中,∠AQP+∠ABP=180°,所以∠AQP=90°,于是問題獲得突破.

        圖7

        圖8

        另解2:根據(jù)對稱性可考慮作QG⊥AB,QH⊥BC,垂足分別為G,H,再證△AQG≌△PQH,可得∠AQP=∠GQH=90°,問題獲得突破.

        另解3:(截長補短,問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等)如圖7,作PH⊥BC交MN于H點,易證△AME≌△PHE,HE=ME,PH=AM.接著平移線段MN至DG,易證△DAG≌△ABP,AG=BP=PK,HK=MG=DN.

        接著證出HK=DN,HK//DN,△HKQ≌△NDQ,HQ= NQ.所以ME=EH,HQ=NQ,EQ=ME+NQ.

        二、命題思考

        1.經(jīng)典問題,推陳出新,簡約呈現(xiàn),引發(fā)深思

        清華附中初三月考卷選用一道八年級經(jīng)典正方形問題作為設(shè)問背景,推陳出新,題干簡約好懂,呈現(xiàn)簡約,圖形線條也不是很多,第(1)問比較基礎(chǔ),引導(dǎo)更多學(xué)生參與進來,但是要想解決第(2)問又需要有足夠的挑戰(zhàn)實力,對正方形軸對稱性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)有較為充分的考查.

        2.指令明確,殊途同歸,蘊藏結(jié)構(gòu),值得回味

        在本考題簡潔呈現(xiàn)之外,我們還注意到問題設(shè)問上指令明確,最后一問直截了當(dāng),讓學(xué)生證明,而不是猜想三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.具體求解時,可以走“截長補短”的全等路徑,但構(gòu)造較繁,而基于“共圓”的視角可洞察問題的深層結(jié)構(gòu),使得考題求解之后,仍然有深入思考的空間,值得回味.

        三、教學(xué)思考

        1.重視對經(jīng)典問題的再回顧,洞察問題結(jié)構(gòu)

        這道試題給我們帶來了很多教學(xué)啟示,比如,要重視對經(jīng)典問題的再回顧,以幾何為例,初中幾何經(jīng)典問題是很多的,這些幾何問題在七年級、八年級、九年級都會出現(xiàn),解決的角度或?qū)哟味疾灰粯?,學(xué)生獲得的理解方法也不一樣.比如七年級幾何初步時,可以安排學(xué)生度量四邊形的四邊之和與對角線之和的大小,并運用尺規(guī)作圖驗證性質(zhì);而到八年級三角形一章時,可以利用三邊之關(guān)系證明;再比如在八年級上學(xué)期三角形學(xué)習(xí)時,涉及兩邊中點連線段(中位線),可以通過度量、驗證出三角形中位線與第三邊的位置和數(shù)量關(guān)系,而到八年級下學(xué)期學(xué)習(xí)平行四邊形之后,可以探究三角形中位線性質(zhì),而且可以提出一個重要的命題“求證三角形一邊上的中線與另外邊中點連線段互相平分”,這樣就可關(guān)聯(lián)八年級上冊、下冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容.而像上文中的考題這樣,可以引導(dǎo)學(xué)生站在初三圓的高觀點反觀之前所學(xué)、所證的習(xí)題與思路,洞察問題的深層結(jié)構(gòu),對問題的理解達(dá)到新的高度.

        2.重視對精準(zhǔn)作圖的嚴(yán)要求,加強文圖對應(yīng)

        筆者曾有機會研習(xí)上個世紀(jì)我國著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生編寫的《平面幾何教本》,該教材中傅先生十分重視幾何作圖的示范與糾錯.根據(jù)我們的教學(xué)實踐,目前的幾何教材中對作圖的要求一降再降,各級考試中對作圖的要求也一降再降,這不得不說是一種遺憾.我們發(fā)現(xiàn),不少學(xué)生的幾何能力偏弱,常常表現(xiàn)在閱讀幾何語言、符號語言時,不能精準(zhǔn)對應(yīng)到圖形上去,有些學(xué)生甚至根據(jù)幾何語句不能唯一對應(yīng)地畫出精準(zhǔn)圖形,從而思路受阻.從這意義上說,清華附中這道考題第(2)問求證時,需要學(xué)生其有較為精準(zhǔn)的構(gòu)圖能力,也是對教學(xué)的一次強有力的引領(lǐng).

        3.重視考后講評與反思分析,開展變式再練

        平時的階段測試之后,除了要針對學(xué)生得分情況進行應(yīng)試層面的分析,還需要精心構(gòu)思試卷中典型問題的講評與變式拓展,比如引導(dǎo)學(xué)生分析不同解法之間的關(guān)聯(lián),不同解法繁簡的對比,不同解法對應(yīng)著哪一個年級哪個章節(jié)中的某個數(shù)學(xué)知識或性質(zhì),一種解法的念頭是如何產(chǎn)生的,怎樣回歸到基本概念獲得思路突破等,多引導(dǎo)學(xué)生反思回顧,有不少老師安排學(xué)生以“數(shù)學(xué)寫作”的方式究錯或訂正,也是一種值得提倡的方式.作為文末,我們也對上文中的考題做出變式改編,提供分享:

        變式再練題:如圖1,在正方形ABCD中,P是邊BC上的一個動點(不與B、C重合),線段AP的垂直平分線分別交AB,DC于M,N兩點,AP交MN于E點.

        (1)當(dāng)P為BC邊的中點時,求tan∠AMN的值.

        (2)在(1)的條件下,試比較AE與BP的大小,并說明理由.

        (3)如圖2,連接DB,交MN于點Q,連接AQ,PQ.

        ①判斷AQ與PQ的位置關(guān)系,并說明理由;

        ②求證:EQ=AE;

        ③當(dāng)點Q為△APM的外心時,求tan∠MQB的值.

        改編意圖:前兩問屬于特例引路,并且引導(dǎo)學(xué)生回顧正切函數(shù)的定義,與最后一問的正切函數(shù)值做好呼應(yīng);第(3)問對應(yīng)著原考題的第(2)問,但增加“判斷AQ與PQ的位置關(guān)系”是個臺階,學(xué)生探究出它們之間垂直關(guān)系之后,可以發(fā)現(xiàn)△AQP是等腰直角三角形,對于進一步研究“EQ=AE”是有益的;而最后一小問是圓Q的一種特殊情況,即該圓與AB邊的另一個交點恰為M點,此時∠AQM=∠MQP=∠PQC=45°.

        1.張英伯.傅種孫——中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2008(1).

        2.傅種孫.平面幾何教本[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1982.

        3.鮑建生,顧泠沅,等.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(1,2,3).

        4.許燕.從解題賞析走向教學(xué)研究——以2016年無錫卷第27題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(10).H

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