☉湖北省丹江口市均縣鎮(zhèn)初級中學(xué) 周善宏

數(shù)學(xué)建模顯捷徑，一題多解求面積
———巧用模型求拋物線中的三角形面積

☉湖北省丹江口市均縣鎮(zhèn)初級中學(xué) 周善宏

【問題】已知平面直角坐標系中△ADE三個頂點的坐標（E在AD下方），求△ADE的面積.

圖1

圖2

圖3

【建模】

如圖1，過點E作EF∥y軸，交AD于F；作AH⊥EF于H、DG⊥EF于G.

則S△AED=S△AEF+S△DEF=×EF×AH+×EF×DG=×

如圖2，過點A作AF∥x軸，交DE于F；作EH⊥AF于H、DG⊥AF于G.

則S△AED=S△AEF+S△ADF=×AF×EH+×AF×DG=× AF×（EH+DG）=×AF×|yD-yE|.

如圖3，過點E作EF⊥AD于F.則S△AED=×AD×EF.

【應(yīng)用】

例拋物線y=ax2-2ax-4與x軸交于點A、B（A在B的左邊），與y軸交于點C，直線y=kx+2k經(jīng)過點A，交拋物線于第一象限內(nèi)的D點，且D點的橫坐標為5.（1）求拋物線及直線的解析式；（2）若E為AD下方拋物線上一點，當△AED的面積最大時，求點E的坐標.

圖4

解：（1）當y=kx+2k=0時，x=-2，則A（-2，0）.

由拋物線y=ax2-2ax-4與x軸交于點A，得a×（-2）2-2a×（-2）-4=0，解得

（2）【解法1】如圖5，過點E作EF∥y軸，交AD于F.設(shè)E（x，y），其中-2＜x＜5.

圖5

則

【解法2】如圖6，設(shè)DE交x軸于F，其中-2＜m＜5.

圖6

則

【解法三】如圖7，作EF⊥AD于F，設(shè)過E點與AD平行的直線l的解析式為

圖7

則S△AED=×AD×EF=·

當△AED的面積最大時，EF最大，此時直線l與拋物線只有一個交點.

當Δ=（-3）2-4（-8-2m）=0時，m=-，x1=x2=.