☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學(xué)校 黃志峰
“分類討論”:需要,但不能“失控”
——以兩道繁雜分類討論考題為例
☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學(xué)校 黃志峰
每年上半年是中考復(fù)習(xí)的關(guān)鍵時(shí)期,這段時(shí)間學(xué)生會(huì)經(jīng)歷多次的??季毩?xí),然而有些??荚囶}由于隨意復(fù)制、粘貼,簡(jiǎn)單的拿來主義,為了在最后一題追求所謂的壓軸題,為了難住優(yōu)秀學(xué)生,往往容易選取一些需要分類討論的考題,但也有一些考題由于命題者個(gè)性化喜好,考題的分類討論陷入失控、無度的范圍,使得備考師生茫然無措,本文列舉兩道模考題,并跟進(jìn)批判與商榷,提供研討.
考題1(2014年浙江湖州中考卷)如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和N,點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),連接PF,過點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).
圖1
(1)略;
(2)在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中,設(shè)OE=m,OF=n,試用含m的代數(shù)式表示n;
(3)作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)G,經(jīng)過M、E和G三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q,連接QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使得以Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似?
思路概述:限于篇幅,我們不準(zhǔn)備詳細(xì)講評(píng)思路突破,只是簡(jiǎn)略提及該題的分類討論的要點(diǎn).
(2)所配圖形只是示意圖,需分別思考點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸或正半軸或原點(diǎn)時(shí)的情況.
(3)需要分很多種情況討論,一級(jí)分類可以從1<t<2,t>2開展,然后二級(jí)分類再從不同的三角形相似對(duì)應(yīng)邊的情況進(jìn)行考慮,列出相應(yīng)的比例式構(gòu)造方程求解,求解關(guān)鍵是用含t的式子表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)及OQ的長.
考題2(2014年吉林長春中考卷)如圖2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DO-OC以每秒一個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q,以PQ為邊向右作正方形PQMN,設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分的面積為S(平方單位),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).
圖2
(1)求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值;
(2)直接寫出點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在折線AO-DO上運(yùn)動(dòng)時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)直接寫出直線DN平分△BCD的面積時(shí)t的值.
圖3
圖4
圖5
思路概述:這道考題以運(yùn)動(dòng)變化為背景,在點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)時(shí),伴隨一個(gè)正方形的變化而增加解題層次,從第(2)問就需要考慮不同的運(yùn)動(dòng)位置,數(shù)學(xué)直覺的理解要求漸高.而第(3)問則需要分當(dāng)0<t≤<t≤3,3<時(shí),對(duì)應(yīng)著圖3、圖4、圖5的三種情況.最后一種情況運(yùn)算量漸大,待求S即為梯形PQME的面積,即S=S梯
第(4)問首先要想清點(diǎn)N落在△BCD的中線DE上.然后再分不同情形構(gòu)造圖形,當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上(如圖6);當(dāng)點(diǎn)P在線段DO上(如圖7);當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上(如圖8).
圖6
圖7
圖8
值得一說的是,如果檢索網(wǎng)絡(luò)上傳播的該題答案,筆者下載后以5號(hào)字打印規(guī)范過程,使用了5頁A4紙,實(shí)在讓人驚訝!這樣的冗長解答的試題是怎樣通過層層打磨、審題,最后成為一道中考試題,而且又在各級(jí)??荚囶}中頻繁出現(xiàn)的?難道這種流行題型代表了當(dāng)前的一種壓軸題命題方向?以下就圍繞全卷命題時(shí)對(duì)分類討論的考查展開一些反思.
1.分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法,全卷命題時(shí)需要考查
進(jìn)入初中之后,數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充,歐氏幾何上場(chǎng),很多數(shù)學(xué)概念都存在多種表現(xiàn)形式和可能的情況,這時(shí)分類討論的解題方法就頻繁登場(chǎng),從初一到初三各級(jí)考試中,幾乎每份試卷都會(huì)涉及分類討論的考查,這是值得肯定的.具體來說,有理數(shù)引入之后,用一個(gè)字母a表示一個(gè)數(shù)時(shí),就需要引導(dǎo)學(xué)生分類思考數(shù)a是正數(shù)、零、負(fù)數(shù);將其對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上的點(diǎn)A,就需要引導(dǎo)考慮點(diǎn)A與原點(diǎn)的位置關(guān)系,而這些都是后續(xù)平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)圖像問題研究的基礎(chǔ).根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),學(xué)生在中考時(shí)一道綜合題中沒有分類討論,深究起來,往往由他在初一時(shí)對(duì)一個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)位置關(guān)系的分類理解不深導(dǎo)致.這也就要求我們?cè)诔踔衅鹗茧A段只要有分類討論的必要,就要在全卷設(shè)計(jì)時(shí)進(jìn)行考查和關(guān)注,以使讓學(xué)生重視分類討論的思想方法.
2.分類討論考查學(xué)生思維的縝密性,全卷不宜多次考查
分類討論思想方法主要考查學(xué)生思維的縝密性,不重不漏地思考所有情況,不但是教學(xué)中要重視的訓(xùn)練方向,同時(shí)在全卷命題時(shí)也要充分考慮.但是全卷考查要求覆蓋知識(shí)點(diǎn)的全面性,考查數(shù)學(xué)思想方法的多樣化,包括數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、分類討論、待定系數(shù)、整體思想、抽象分離、排除干擾等數(shù)學(xué)能力都在考查范圍,可以根據(jù)全卷考查范圍而有所側(cè)重,但不可偏廢,特別是在全卷30道小題的考查中,出現(xiàn)4道或以上考題都需要分類討論,這就值得商榷了.事實(shí)上,從測(cè)量學(xué)角度上說,如果學(xué)生在思維縝密性上偏弱時(shí),全卷考查時(shí)多次考查這個(gè)維度,造成該考生反復(fù)失分,對(duì)該考生也是一種反復(fù)“傷害”,這是值得命題時(shí)注意的.
3.分類討論考查數(shù)學(xué)核心概念理解,注意適當(dāng)切忌“失控”
如上所述有理數(shù)范圍的分類討論那樣,關(guān)注數(shù)學(xué)核心概念的理解是全卷考查的重點(diǎn),除了代數(shù)領(lǐng)域有很多分類討論的案例,在幾何學(xué)中也有很多這樣的案例.比如圖形位置關(guān)系的領(lǐng)域中,以初一所學(xué)的點(diǎn)和直線位置關(guān)系來說,分兩種:點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在直線外;初三所學(xué)的點(diǎn)與圓的不同位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等,都是“一脈相承”的,屬于同一類型的研究套路,全卷命題時(shí)要注意兼顧這些數(shù)學(xué)概念的考查,考查學(xué)生分類討論的掌握情況.但是像上面模考1就陷入了失控的狀態(tài),即分類討論無需累加到如此地步,要知道對(duì)于當(dāng)下“時(shí)間緊、題量大”的考試來說,如果平心而論,也許120分鐘的考試,只要一道“模考1”就夠?qū)W生忙得不亦樂乎了;再比如???這道考題,從第(2)問就開始要考慮運(yùn)動(dòng)的兩處極端位置,到第(3)、(4)問的分類討論已陷入“失控”狀態(tài),對(duì)于優(yōu)秀考生來說,思路一看就知,但是構(gòu)造圖形、繁雜運(yùn)算之路漫漫,這種導(dǎo)向“少思多算”的命題風(fēng)格也許就是命題組的數(shù)學(xué)旨趣和教學(xué)取向.作為重要影響的考試來說,以這樣的數(shù)學(xué)試卷傳遞一個(gè)地區(qū)的命題導(dǎo)向,“逼著”全樣本的學(xué)生思考命題組個(gè)人喜歡的數(shù)學(xué)問題,實(shí)在讓人遺憾.
知易行難,以下本著個(gè)人興趣,對(duì)??碱}2給出筆者的變式改編,提供分享.
考題2變式改編如圖2,O為矩形ABCD的對(duì)稱中心,AB=8cm,BC=6cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DOOC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q,以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)為ts.
(1)當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)N是否落在BO上嗎?為什么?
(2)直接寫出中心O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍;
(3)當(dāng)直線DN平分△DOC的面積時(shí),求t的值.
改編意圖:刪減了原題的第(2)問,精減了題干表述,而且第(3)問需要學(xué)生組織語句,增強(qiáng)解答題的過程要求.
命題研究是一個(gè)非常廣泛的教研領(lǐng)域,不但涉及具體試題的呈現(xiàn)形式、難易把握、考查側(cè)重點(diǎn)的預(yù)設(shè)和研磨之外,將一道試題放到整卷中某一個(gè)位置時(shí),仍然需要思考該題在全卷中的地位、價(jià)值、導(dǎo)向,特別是該題與全卷中其他試題之間的相容性,都是需要精心構(gòu)思的.從這個(gè)角度看,當(dāng)下很多簡(jiǎn)單拼湊的試卷還不在少數(shù),個(gè)別地區(qū)的命題還采用所謂的網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)組卷來應(yīng)對(duì),想來,在命題如此專業(yè)化的領(lǐng)域,智能化時(shí)代似乎來得太早了吧?
1.劉東升.一次期中考試閱卷隨筆[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2016(1-2).
2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
3.夏德祥.繁簡(jiǎn)難易:中考把關(guān)題的命題研討——以2016年江蘇揚(yáng)州中考第28題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(7).
4.楊衛(wèi)東.客從何處來:一道幾何把關(guān)題的命題歷程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(8).
5.朱國生.反思考題難點(diǎn),預(yù)設(shè)“一題一課”——以2016年江蘇南通中考卷第28題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(9).H