☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學(xué)校 黃志峰

“分類討論”：需要，但不能“失控”
——以兩道繁雜分類討論考題為例

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學(xué)校 黃志峰

每年上半年是中考復(fù)習(xí)的關(guān)鍵時(shí)期，這段時(shí)間學(xué)生會(huì)經(jīng)歷多次的?？季毩?xí)，然而有些?？荚囶}由于隨意復(fù)制、粘貼，簡(jiǎn)單的拿來主義，為了在最后一題追求所謂的壓軸題，為了難住優(yōu)秀學(xué)生，往往容易選取一些需要分類討論的考題，但也有一些考題由于命題者個(gè)性化喜好，考題的分類討論陷入失控、無度的范圍，使得備考師生茫然無措，本文列舉兩道?？碱}，并跟進(jìn)批判與商榷，提供研討.

一、兩道繁雜分類討論的?？碱}

考題1（2014年浙江湖州中考卷）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）.

圖1

（1）略；

（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)OE=m，OF=n，試用含m的代數(shù)式表示n；

（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)G，經(jīng)過M、E和G三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得以Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？

思路概述：限于篇幅，我們不準(zhǔn)備詳細(xì)講評(píng)思路突破，只是簡(jiǎn)略提及該題的分類討論的要點(diǎn).

（2）所配圖形只是示意圖，需分別思考點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸或正半軸或原點(diǎn)時(shí)的情況.

（3）需要分很多種情況討論，一級(jí)分類可以從1＜t＜2，t＞2開展，然后二級(jí)分類再從不同的三角形相似對(duì)應(yīng)邊的情況進(jìn)行考慮，列出相應(yīng)的比例式構(gòu)造方程求解，求解關(guān)鍵是用含t的式子表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)及OQ的長(zhǎng).

考題2（2014年吉林長(zhǎng)春中考卷）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DO-OC以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

圖2

（1）求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值；

（2）直接寫出點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在折線AO-DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫出直線DN平分△BCD的面積時(shí)t的值.

圖3

圖4

圖5

思路概述：這道考題以運(yùn)動(dòng)變化為背景，在點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)時(shí)，伴隨一個(gè)正方形的變化而增加解題層次，從第（2）問就需要考慮不同的運(yùn)動(dòng)位置，數(shù)學(xué)直覺的理解要求漸高.而第（3）問則需要分當(dāng)0＜t≤＜t≤3，3＜時(shí)，對(duì)應(yīng)著圖3、圖4、圖5的三種情況.最后一種情況運(yùn)算量漸大，待求S即為梯形PQME的面積，即S=S梯

第（4）問首先要想清點(diǎn)N落在△BCD的中線DE上.然后再分不同情形構(gòu)造圖形，當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上（如圖6）；當(dāng)點(diǎn)P在線段DO上（如圖7）；當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上（如圖8）.

圖6

圖7

圖8

值得一說的是，如果檢索網(wǎng)絡(luò)上傳播的該題答案，筆者下載后以5號(hào)字打印規(guī)范過程，使用了5頁A4紙，實(shí)在讓人驚訝！這樣的冗長(zhǎng)解答的試題是怎樣通過層層打磨、審題，最后成為一道中考試題，而且又在各級(jí)模考試題中頻繁出現(xiàn)的？難道這種流行題型代表了當(dāng)前的一種壓軸題命題方向？以下就圍繞全卷命題時(shí)對(duì)分類討論的考查展開一些反思.

二、全卷命題時(shí)“分類討論”考查的思考

1.分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，全卷命題時(shí)需要考查

進(jìn)入初中之后，數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，歐氏幾何上場(chǎng)，很多數(shù)學(xué)概念都存在多種表現(xiàn)形式和可能的情況，這時(shí)分類討論的解題方法就頻繁登場(chǎng)，從初一到初三各級(jí)考試中，幾乎每份試卷都會(huì)涉及分類討論的考查，這是值得肯定的.具體來說，有理數(shù)引入之后，用一個(gè)字母a表示一個(gè)數(shù)時(shí)，就需要引導(dǎo)學(xué)生分類思考數(shù)a是正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；將其對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上的點(diǎn)A，就需要引導(dǎo)考慮點(diǎn)A與原點(diǎn)的位置關(guān)系，而這些都是后續(xù)平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)圖像問題研究的基礎(chǔ).根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在中考時(shí)一道綜合題中沒有分類討論，深究起來，往往由他在初一時(shí)對(duì)一個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)位置關(guān)系的分類理解不深導(dǎo)致.這也就要求我們?cè)诔踔衅鹗茧A段只要有分類討論的必要，就要在全卷設(shè)計(jì)時(shí)進(jìn)行考查和關(guān)注，以使讓學(xué)生重視分類討論的思想方法.

2.分類討論考查學(xué)生思維的縝密性，全卷不宜多次考查

分類討論思想方法主要考查學(xué)生思維的縝密性，不重不漏地思考所有情況，不但是教學(xué)中要重視的訓(xùn)練方向，同時(shí)在全卷命題時(shí)也要充分考慮.但是全卷考查要求覆蓋知識(shí)點(diǎn)的全面性，考查數(shù)學(xué)思想方法的多樣化，包括數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、分類討論、待定系數(shù)、整體思想、抽象分離、排除干擾等數(shù)學(xué)能力都在考查范圍，可以根據(jù)全卷考查范圍而有所側(cè)重，但不可偏廢，特別是在全卷30道小題的考查中，出現(xiàn)4道或以上考題都需要分類討論，這就值得商榷了.事實(shí)上，從測(cè)量學(xué)角度上說，如果學(xué)生在思維縝密性上偏弱時(shí)，全卷考查時(shí)多次考查這個(gè)維度，造成該考生反復(fù)失分，對(duì)該考生也是一種反復(fù)“傷害”，這是值得命題時(shí)注意的.

3.分類討論考查數(shù)學(xué)核心概念理解，注意適當(dāng)切忌“失控”

如上所述有理數(shù)范圍的分類討論那樣，關(guān)注數(shù)學(xué)核心概念的理解是全卷考查的重點(diǎn)，除了代數(shù)領(lǐng)域有很多分類討論的案例，在幾何學(xué)中也有很多這樣的案例.比如圖形位置關(guān)系的領(lǐng)域中，以初一所學(xué)的點(diǎn)和直線位置關(guān)系來說，分兩種：點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在直線外；初三所學(xué)的點(diǎn)與圓的不同位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等，都是“一脈相承”的，屬于同一類型的研究套路，全卷命題時(shí)要注意兼顧這些數(shù)學(xué)概念的考查，考查學(xué)生分類討論的掌握情況.但是像上面?？?就陷入了失控的狀態(tài)，即分類討論無需累加到如此地步，要知道對(duì)于當(dāng)下“時(shí)間緊、題量大”的考試來說，如果平心而論，也許120分鐘的考試，只要一道“?？?”就夠?qū)W生忙得不亦樂乎了；再比如模考2這道考題，從第（2）問就開始要考慮運(yùn)動(dòng)的兩處極端位置，到第（3）、（4）問的分類討論已陷入“失控”狀態(tài)，對(duì)于優(yōu)秀考生來說，思路一看就知，但是構(gòu)造圖形、繁雜運(yùn)算之路漫漫，這種導(dǎo)向“少思多算”的命題風(fēng)格也許就是命題組的數(shù)學(xué)旨趣和教學(xué)取向.作為重要影響的考試來說，以這樣的數(shù)學(xué)試卷傳遞一個(gè)地區(qū)的命題導(dǎo)向，“逼著”全樣本的學(xué)生思考命題組個(gè)人喜歡的數(shù)學(xué)問題，實(shí)在讓人遺憾.

三、命題改編

知易行難，以下本著個(gè)人興趣，對(duì)模考題2給出筆者的變式改編，提供分享.

考題2變式改編如圖2，O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=8cm，BC=6cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DOOC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)為ts.

（1）當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)N是否落在BO上嗎？為什么？

（2）直接寫出中心O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍；

（3）當(dāng)直線DN平分△DOC的面積時(shí)，求t的值.

改編意圖：刪減了原題的第（2）問，精減了題干表述，而且第（3）問需要學(xué)生組織語句，增強(qiáng)解答題的過程要求.

四、寫在最后

命題研究是一個(gè)非常廣泛的教研領(lǐng)域，不但涉及具體試題的呈現(xiàn)形式、難易把握、考查側(cè)重點(diǎn)的預(yù)設(shè)和研磨之外，將一道試題放到整卷中某一個(gè)位置時(shí)，仍然需要思考該題在全卷中的地位、價(jià)值、導(dǎo)向，特別是該題與全卷中其他試題之間的相容性，都是需要精心構(gòu)思的.從這個(gè)角度看，當(dāng)下很多簡(jiǎn)單拼湊的試卷還不在少數(shù)，個(gè)別地區(qū)的命題還采用所謂的網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)組卷來應(yīng)對(duì)，想來，在命題如此專業(yè)化的領(lǐng)域，智能化時(shí)代似乎來得太早了吧？

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