☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學校 黃志峰
“分類討論”:需要,但不能“失控”
——以兩道繁雜分類討論考題為例
☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學校 黃志峰
每年上半年是中考復習的關鍵時期,這段時間學生會經(jīng)歷多次的??季毩暎欢行┠?荚囶}由于隨意復制、粘貼,簡單的拿來主義,為了在最后一題追求所謂的壓軸題,為了難住優(yōu)秀學生,往往容易選取一些需要分類討論的考題,但也有一些考題由于命題者個性化喜好,考題的分類討論陷入失控、無度的范圍,使得備考師生茫然無措,本文列舉兩道??碱},并跟進批判與商榷,提供研討.
考題1(2014年浙江湖州中考卷)如圖1,已知在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和N,點F從點M出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,連接PF,過點P作PE⊥PF交y軸于點E,設點F運動的時間是t秒(t>0).
圖1
(1)略;
(2)在點F運動的過程中,設OE=m,OF=n,試用含m的代數(shù)式表示n;
(3)作點F關于點M的對稱點G,經(jīng)過M、E和G三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q,連接QE.在點F運動的過程中,是否存在某一時刻t,使得以Q、O、E為頂點的三角形與以P、M、F為頂點的三角形相似?
思路概述:限于篇幅,我們不準備詳細講評思路突破,只是簡略提及該題的分類討論的要點.
(2)所配圖形只是示意圖,需分別思考點E在y軸負半軸或正半軸或原點時的情況.
(3)需要分很多種情況討論,一級分類可以從1<t<2,t>2開展,然后二級分類再從不同的三角形相似對應邊的情況進行考慮,列出相應的比例式構造方程求解,求解關鍵是用含t的式子表示點Q的坐標及OQ的長.
考題2(2014年吉林長春中考卷)如圖2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,O為對角線BD的中點,點P從點A出發(fā),沿折線AD-DO-OC以每秒一個單位長度的速度向終點C運動,當點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AB于點Q,以PQ為邊向右作正方形PQMN,設正方形PQMN與△ABD重疊部分的面積為S(平方單位),點P運動的時間為t(秒).
圖2
(1)求點N落在BD上時t的值;
(2)直接寫出點O在正方形PQMN內(nèi)部時t的取值范圍;
(3)當點P在折線AO-DO上運動時,求S與t之間的函數(shù)關系式;
(4)直接寫出直線DN平分△BCD的面積時t的值.
圖3
圖4
圖5
思路概述:這道考題以運動變化為背景,在點P沿折線運動時,伴隨一個正方形的變化而增加解題層次,從第(2)問就需要考慮不同的運動位置,數(shù)學直覺的理解要求漸高.而第(3)問則需要分當0<t≤<t≤3,3<時,對應著圖3、圖4、圖5的三種情況.最后一種情況運算量漸大,待求S即為梯形PQME的面積,即S=S梯
第(4)問首先要想清點N落在△BCD的中線DE上.然后再分不同情形構造圖形,當點P在線段AD上(如圖6);當點P在線段DO上(如圖7);當點P在線段OC上(如圖8).
圖6
圖7
圖8
值得一說的是,如果檢索網(wǎng)絡上傳播的該題答案,筆者下載后以5號字打印規(guī)范過程,使用了5頁A4紙,實在讓人驚訝!這樣的冗長解答的試題是怎樣通過層層打磨、審題,最后成為一道中考試題,而且又在各級??荚囶}中頻繁出現(xiàn)的?難道這種流行題型代表了當前的一種壓軸題命題方向?以下就圍繞全卷命題時對分類討論的考查展開一些反思.
1.分類討論是重要的數(shù)學思想方法,全卷命題時需要考查
進入初中之后,數(shù)系進一步擴充,歐氏幾何上場,很多數(shù)學概念都存在多種表現(xiàn)形式和可能的情況,這時分類討論的解題方法就頻繁登場,從初一到初三各級考試中,幾乎每份試卷都會涉及分類討論的考查,這是值得肯定的.具體來說,有理數(shù)引入之后,用一個字母a表示一個數(shù)時,就需要引導學生分類思考數(shù)a是正數(shù)、零、負數(shù);將其對應在數(shù)軸上的點A,就需要引導考慮點A與原點的位置關系,而這些都是后續(xù)平面直角坐標系、函數(shù)圖像問題研究的基礎.根據(jù)教學經(jīng)驗,學生在中考時一道綜合題中沒有分類討論,深究起來,往往由他在初一時對一個點與原點位置關系的分類理解不深導致.這也就要求我們在初中起始階段只要有分類討論的必要,就要在全卷設計時進行考查和關注,以使讓學生重視分類討論的思想方法.
2.分類討論考查學生思維的縝密性,全卷不宜多次考查
分類討論思想方法主要考查學生思維的縝密性,不重不漏地思考所有情況,不但是教學中要重視的訓練方向,同時在全卷命題時也要充分考慮.但是全卷考查要求覆蓋知識點的全面性,考查數(shù)學思想方法的多樣化,包括數(shù)形結合、數(shù)學建模、分類討論、待定系數(shù)、整體思想、抽象分離、排除干擾等數(shù)學能力都在考查范圍,可以根據(jù)全卷考查范圍而有所側重,但不可偏廢,特別是在全卷30道小題的考查中,出現(xiàn)4道或以上考題都需要分類討論,這就值得商榷了.事實上,從測量學角度上說,如果學生在思維縝密性上偏弱時,全卷考查時多次考查這個維度,造成該考生反復失分,對該考生也是一種反復“傷害”,這是值得命題時注意的.
3.分類討論考查數(shù)學核心概念理解,注意適當切忌“失控”
如上所述有理數(shù)范圍的分類討論那樣,關注數(shù)學核心概念的理解是全卷考查的重點,除了代數(shù)領域有很多分類討論的案例,在幾何學中也有很多這樣的案例.比如圖形位置關系的領域中,以初一所學的點和直線位置關系來說,分兩種:點在直線上、點在直線外;初三所學的點與圓的不同位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等,都是“一脈相承”的,屬于同一類型的研究套路,全卷命題時要注意兼顧這些數(shù)學概念的考查,考查學生分類討論的掌握情況.但是像上面???就陷入了失控的狀態(tài),即分類討論無需累加到如此地步,要知道對于當下“時間緊、題量大”的考試來說,如果平心而論,也許120分鐘的考試,只要一道“???”就夠?qū)W生忙得不亦樂乎了;再比如???這道考題,從第(2)問就開始要考慮運動的兩處極端位置,到第(3)、(4)問的分類討論已陷入“失控”狀態(tài),對于優(yōu)秀考生來說,思路一看就知,但是構造圖形、繁雜運算之路漫漫,這種導向“少思多算”的命題風格也許就是命題組的數(shù)學旨趣和教學取向.作為重要影響的考試來說,以這樣的數(shù)學試卷傳遞一個地區(qū)的命題導向,“逼著”全樣本的學生思考命題組個人喜歡的數(shù)學問題,實在讓人遺憾.
知易行難,以下本著個人興趣,對模考題2給出筆者的變式改編,提供分享.
考題2變式改編如圖2,O為矩形ABCD的對稱中心,AB=8cm,BC=6cm.點P從點A出發(fā),沿折線AD-DOOC以2cm/s的速度向終點C運動,過點P作PQ⊥AB于點Q,以PQ為邊向右作正方形PQMN.設運動時為ts.
(1)當t=2時,點N是否落在BO上嗎?為什么?
(2)直接寫出中心O在正方形PQMN內(nèi)部時t的取值范圍;
(3)當直線DN平分△DOC的面積時,求t的值.
改編意圖:刪減了原題的第(2)問,精減了題干表述,而且第(3)問需要學生組織語句,增強解答題的過程要求.
命題研究是一個非常廣泛的教研領域,不但涉及具體試題的呈現(xiàn)形式、難易把握、考查側重點的預設和研磨之外,將一道試題放到整卷中某一個位置時,仍然需要思考該題在全卷中的地位、價值、導向,特別是該題與全卷中其他試題之間的相容性,都是需要精心構思的.從這個角度看,當下很多簡單拼湊的試卷還不在少數(shù),個別地區(qū)的命題還采用所謂的網(wǎng)絡自動組卷來應對,想來,在命題如此專業(yè)化的領域,智能化時代似乎來得太早了吧?
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