劉 凱 曹 毅, 2, 3 葛姝翌

1.江南大學(xué)，無(wú)錫，2141222.上海交通大學(xué)系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，2002403.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱，150080

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固定-導(dǎo)向柔順桿件6R偽剛體模型

劉 凱1曹 毅1, 2, 3葛姝翌1

1.江南大學(xué)，無(wú)錫，2141222.上海交通大學(xué)系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，2002403.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱，150080

為提高固定-導(dǎo)向型偽剛體模型的計(jì)算精度，基于偽剛體模型的原理提出了一種固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型。建立了該模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法及優(yōu)化算法求解了模型的4個(gè)最優(yōu)特征半徑系數(shù)和3個(gè)扭簧剛度系數(shù)。通過(guò)數(shù)值算例模擬固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的末端動(dòng)作路徑，并將其與固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型及柔順桿件的末端路徑進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型能夠更加精確地模擬相應(yīng)柔順桿件的末端動(dòng)作過(guò)程，且其相對(duì)誤差幾乎為0。最后，通過(guò)ANSYS有限元分析實(shí)例驗(yàn)證了該模型在實(shí)際計(jì)算中的精確性。

偽剛體模型；固定-導(dǎo)向柔順桿件；優(yōu)化算法；有限元分析

0 引言

柔順機(jī)構(gòu)是一種利用機(jī)構(gòu)桿件自身柔性變形來(lái)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和力傳遞或轉(zhuǎn)換的新型機(jī)構(gòu)[1]。對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的研究主要包括柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、優(yōu)化及其高效分析模型的建立。Yoo[2]等、張憲民[3]結(jié)合拓?fù)鋵W(xué)對(duì)柔順機(jī)構(gòu)進(jìn)行了設(shè)計(jì)、分析。陳貴敏等[4]基于偽剛體建模方法，給出了一種有效的平面柔順機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算方法。秦振等[5]基于有限元法對(duì)以柔性框架為主體的步行機(jī)進(jìn)行了仿真分析。Friedrich等[6]建立了柔順機(jī)構(gòu)圓形柔性鉸鏈的非線(xiàn)性模型。王偉華等[7]、Ahuett-Garza等[8]分別對(duì)大變形情況下的柔順桿件與柔性鉸鏈進(jìn)行了研究。

由于柔順機(jī)構(gòu)常常出現(xiàn)幾何非線(xiàn)性大變形，因此分析過(guò)程紛繁復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化柔順桿件的計(jì)算過(guò)程，Howwell等[9-10]率先提出了懸臂梁模式和固定-導(dǎo)向模式下的最簡(jiǎn)偽剛體模型，并利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法求得相關(guān)特征參數(shù)?；诖四Ｐ?，Dado[11]建立了力載荷作用下大變形梁的變參數(shù)偽剛體模型。另外，馮忠磊等[12]、Su[13-14]分別提出了懸臂梁模式下2R和3R偽剛體模型，提高了模型的分析精度。余躍慶等[15-16]在偽剛體模型中引入了移動(dòng)副，建立了懸臂梁模式下PR偽剛體模型，充分考慮了桿件的軸向變形。Wang等[17]針對(duì)分析過(guò)程更為復(fù)雜的波紋懸臂梁建立了偽剛體模型并用仿真驗(yàn)證了其正確性。綜上所述，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的研究已經(jīng)取得了大量成果，但對(duì)于力載荷作用下的固定-導(dǎo)向柔順桿件的變形分析，僅有Howwell提出的固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型能簡(jiǎn)化其計(jì)算過(guò)程，但是此模型仍存在以下問(wèn)題：①模型的計(jì)算精度有限；②無(wú)法模擬固定-導(dǎo)向柔順桿件的中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文基于偽剛體模型的原理提出了一種固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型，并通過(guò)優(yōu)化算法確定了該模型的4個(gè)半徑特征參數(shù)和3個(gè)扭簧剛度系數(shù)。之后通過(guò)數(shù)值算例模擬該模型的末端運(yùn)動(dòng)軌跡，并將其與固定-導(dǎo)向柔順桿件和固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型的末端軌跡相比較，證明了該模型的優(yōu)越性。最后用ANSYS實(shí)例驗(yàn)證了該模型在實(shí)際計(jì)算中的精確性。

1 固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型

末端受力載荷作用的固定-導(dǎo)向柔順桿件如圖1所示，該桿的一端被固定，另一端被“導(dǎo)向”，即使該桿件的末端僅可實(shí)現(xiàn)平移而不能轉(zhuǎn)動(dòng)。由于末端要保持一個(gè)固定角度，因此末端必有相應(yīng)的力矩(圖1中的M0)，故所得的桿件變形關(guān)于中心線(xiàn)反對(duì)稱(chēng)。

圖1 固定-導(dǎo)向柔順桿件

如圖1所示，θ0為桿件中點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角；φ為力F與x軸的夾角；(a,b)為桿件末端的坐標(biāo)；末端載荷在垂直方向上的分力為Fy，軸向分力Fx=nFy=-Fycotφ，其中，n>0代表對(duì)未變形桿件產(chǎn)生壓力，總力F為

(1)

固定-導(dǎo)向柔順桿件末端的量綱一坐標(biāo)分量為

(2)

(3)

λ=sinθ0-ncosθ0

式中，α為量綱一載荷參數(shù)；L為桿件長(zhǎng)度。

偽剛體模型用具有等效力-變形關(guān)系的剛體構(gòu)件來(lái)模擬柔順部件的變形，以實(shí)現(xiàn)剛體靜力學(xué)理論對(duì)柔順機(jī)構(gòu)的分析。綜合考慮圖2所示的固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型的計(jì)算精度及結(jié)構(gòu)，本文提出了固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型，如圖3所示。固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型由7個(gè)剛性桿件、6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和6個(gè)扭簧(代表柔順桿件的抗彎能力)組成。γi(i=0, 1, 2, 3)為模型段的特征半徑系數(shù)，滿(mǎn)足2γ0+2γ1+2γ2+γ3=1；Kc(c=1, 2, 3)為扭簧常數(shù)，對(duì)應(yīng)扭簧剛度系數(shù)Kθc；θc為偽剛體角；柔順桿件的中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角θ0=θ1+θ2+θ3；Qw為模型末端位置；l為桿件的總長(zhǎng)，其與特征半徑系數(shù)的乘積即為各段剛性桿件的長(zhǎng)度。下文將對(duì)4個(gè)半徑特征系數(shù)和3個(gè)扭簧剛度系數(shù)進(jìn)行求解。

圖2 固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型

圖3 固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型

2 模型系數(shù)求解

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

首先對(duì)固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析和受力分析，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。由圖3可得模型末端的量綱一坐標(biāo)：

Qw=(Qwx,Qwy)=(a/l,b/l)=

(2γ0+2γ1c1+2γ2c12+γ3c123，2γ1s1+2γ2s12+γ3s123)

(4)

c1=cosθ1，s1=sinθ1，c12=cos(θ1+θ2)，

s12=sin(θ1+θ2)，c123=cos(θ1+θ2+θ3)，

s123=sin(θ1+θ2+θ3)

在已知模型末端點(diǎn)位置Qw和中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角θ0的情況下，根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可求出固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的偽剛體角θ1、θ2和θ3：

(5)

(6)

θ3=θ0-θ1-θ2

(7)

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，引入一個(gè)從P1到P3的矢量：

2.2 剛度系數(shù)和特征半徑系數(shù)

固定-導(dǎo)向柔順桿件的抗彎能力可以用量綱一的扭簧剛度系數(shù)Kθc來(lái)描述。對(duì)于給定的固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型末端力載荷，模型中轉(zhuǎn)動(dòng)副處的扭矩為

(8)

式中，F(xiàn)x=Fcosφ為水平作用力；Fy=Fsinφ為垂直作用力。

扭矩Tc為扭簧常數(shù)Kc與偽剛體角θc之間的乘積，即Tc=Kcθc。因此

diag(θ1，θ2，θ3)[K1K2K3]T=J[FxlFyl]T

(9)

扭簧常數(shù)Kc與扭簧剛度系數(shù)Kθc、幾何關(guān)系I/l、材料特性E有關(guān)：

Kc=KθcEI/l

故式(9)亦可以表示為

(10)

由式(10)可得

(11)

將量綱一的力載荷系數(shù)α2=Fl2/(EI)代入式(11)，可得

(12)

模型特征半徑系數(shù)γi的初始值可通過(guò)變形最大允許誤差得到。然后，進(jìn)一步確定既能產(chǎn)生最大參數(shù)化極值角θ0max，同時(shí)又滿(mǎn)足誤差限制的γ，其中，誤差限制條件為

(13)

(14)

(15)

式中，e為絕對(duì)變形誤差；e/δe為相對(duì)變形誤差。

當(dāng)滿(mǎn)足上述條件的γi較多時(shí)，取不同的n，選擇使各組扭簧系數(shù)的差平方之和最小的γi作為固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的特征半徑系數(shù)，以確保所求解扭簧剛度系數(shù)的穩(wěn)定性，具體的判斷條件為

(16)

根據(jù)參數(shù)約束條件及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的特征半徑系數(shù)可用圖4所示的流程求得，其中，Δθ0為搜索步長(zhǎng)，|(e/δe)max|為最大允許誤差。

圖4 半徑特征系數(shù)的計(jì)算步驟程序框圖

為驗(yàn)證上述算法的正確性，設(shè)定相對(duì)變形的最大允許誤差|(e/δe)max|為0.1%，Δθ0為0.01，n分別取0、±0.5、±1、±1.5、±2、±3、±4、±5，最終求得固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的最優(yōu)特征半徑系數(shù)：γ0=0.030, γ1=0.050, γ2=0.245, γ3=0.350。

根據(jù)已知的特征半徑系數(shù)γi，利用式(12)求得在不同力作用角度下的扭簧剛度系數(shù)Kθc。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)扭簧剛度系數(shù)Kθc幾乎不隨力載荷系數(shù)α2的增加而變化，基本維持在一個(gè)定值附近，現(xiàn)將這個(gè)定值記錄并匯總于表1。

根據(jù)表1所示數(shù)據(jù)可知，n不同時(shí)，固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的3個(gè)扭簧剛度系數(shù)都較為穩(wěn)定，可以用給定范圍內(nèi)的平均值表示；值得指出的是,多數(shù)力載荷都在63°<φ<135°，即-0.5

Kθ1=19.409 64，Kθ2=9.148 42， Kθ3=6.977 52

表1 不同力作用角度下的扭簧剛度系數(shù)值

3 模型計(jì)算精度分析

3.1 模型末端運(yùn)動(dòng)軌跡精度分析

為驗(yàn)證固定-導(dǎo)向6R模型末端運(yùn)動(dòng)軌跡的精確性，將固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型(γ0=0.030,γ1=0.050,γ2=0.245,γ3=0.350,Kθ1=19.409 64,Kθ2=9.148 42,Kθ3=6.977 52)、固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型(γ=0.85,Kθ=2.65)及固定-導(dǎo)向柔順桿件的末端運(yùn)動(dòng)軌跡繪制于圖5。同時(shí)，為了更直觀地表達(dá)兩種模型的末端運(yùn)動(dòng)軌跡誤差，根據(jù)已知的偽剛體模型及固定-導(dǎo)向柔順桿件的末端位置Qw、Q，聯(lián)立式(13)～式(15)可求得相對(duì)誤差e/δe，利用相對(duì)誤差值繪制得到圖6所示的模型末端軌跡誤差曲線(xiàn)。

圖5 末端運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比

圖6 兩種模型的末端運(yùn)動(dòng)軌跡誤差

由圖5、圖6可知，兩種模型的末端運(yùn)動(dòng)軌跡和基于橢圓積分求解的固定-導(dǎo)向柔順桿件的末端運(yùn)動(dòng)軌跡基本吻合，但固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的軌跡誤差幾乎始終為0；對(duì)于固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型，當(dāng)轉(zhuǎn)角增加到一定值后誤差就會(huì)快速上升至10%以上。因此，固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的末端軌跡模擬精度更高。

3.2 模型中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角精度分析

圖7描述了固定-導(dǎo)向柔順桿件、固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型及固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型在不同位置的中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角。如圖7所示，固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型和固定-導(dǎo)向柔順桿件各位置對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角幾乎完全吻合，而固定-導(dǎo)向2R偽剛體模型的中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角與柔順桿件相比有較大差異。

圖7 中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角對(duì)比

上述研究分析證明了固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的優(yōu)越性，其完全能夠精確模擬固定-導(dǎo)向柔順桿件的末端運(yùn)動(dòng)軌跡及中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角。

4 ANSYS仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型在實(shí)際計(jì)算中的正確性，本文設(shè)計(jì)了固定-導(dǎo)向柔順桿件變形分析實(shí)例，基于ANSYS建立了該桿件的有限元模型，并將有限元分析結(jié)果與該模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

所設(shè)計(jì)實(shí)例的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：桿件長(zhǎng)L=50 mm，寬B=5 mm，高h(yuǎn)=4 mm。本例中選擇強(qiáng)度與彈性模量之比較高的ABS工程塑料(彈性模量E=2.2 GPa，泊松比ν=0.34)作為柔順桿件的材料。在桿件的一端添加固定約束，另一端添加“導(dǎo)向”約束，同時(shí)在“導(dǎo)向”端施加不同作用角度的力載荷。由圖8可知，φ=90°，F(xiàn)=100 N時(shí)，ANSYS計(jì)算的桿件變形量δ1=15.949 mm；聯(lián)立偽剛體模型的式(4)、式(8)求得桿件的變形量δ2=15.951 mm。選擇不同大小的力可以得到表2所示的計(jì)算分析結(jié)果。

圖8 桿件變形圖

從表2中可以發(fā)現(xiàn)，固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的計(jì)算值和有限元分析結(jié)果的吻合度較高，最大誤差不超過(guò)2.5545%；當(dāng)力作用角度φ分別為63.4°，116.6°，135°時(shí)，桿件變形量的兩種計(jì)算結(jié)果

表2 桿件變形有限元仿真值與理論計(jì)算值(力作用角為90°)

果如圖9～圖11所示，仍保持了較高的相似度。φ=63.4°時(shí)，最大誤差不超過(guò)2.4007%；φ=116.6°時(shí)，最大誤差不超過(guò)3.0728%；φ=135°時(shí)，最大誤差不超過(guò)2.8426%。由上述分析可知，固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型在實(shí)際計(jì)算中有較高的精確性，完全可以用于柔順機(jī)構(gòu)的變形分析。

圖9 力作用角為63.4°時(shí)桿件變形量隨力的變化

圖10 力作用角為116.6°時(shí)桿件變形量隨力的變化

圖11 力作用角為135°時(shí)桿件變形量隨力的變化

5 結(jié)論

(1)基于偽剛體模型的原理，本文提出了一種固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型，該模型能夠精確模擬固定-導(dǎo)向柔順桿件的末端運(yùn)動(dòng)軌跡及中點(diǎn)處轉(zhuǎn)角。

(2) 提出了固定-導(dǎo)向6R為剛體模型各參數(shù)的優(yōu)化算法，并利用該算法求解了γi和Kθc。

(3) 用數(shù)值算例證明了固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型的優(yōu)越性。

(4) 通過(guò)ANSYS有限元分析實(shí)例驗(yàn)證了固定-導(dǎo)向6R偽剛體模型在實(shí)例計(jì)算中的精確性。

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(編輯 張 洋)

6R PRBM of Fixed-guided Compliant Links

Liu Kai1Cao Yi1, 2, 3Ge Shuyi1

1.Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu，214122 2.Key Laboratory of System Control and Information Processing, the Ministry of Education,Shanghai Jiao Tong University, Shanghai, 200240 3.State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin, 150080

Based on the principles of PRBM, a new fixed-guided 6R PRBM was presented to improve the calculation accuracy for the fixed-guided compliant links firstly. Secondly, the kinematics equation of the model was set up, and the optimal characteristic radius coefficients and the spring stiffness coefficients were acquired using the optimization algorithm and inverse kinematical analysis. In order to validate the calculation accuracy of the fixed-guided 6R PRBM, numerical examples were demonstrated by comparing the tip locus of the fixed-guided 6R PRBM with that of the fixed-guided 2R PRBM. Further research shows that the fixed-guided 6R PRBM may actually simulate the tip locus of the compliant links and the relative error is almost equal to zero. Finally, the accuracy of the model in actual calculation was verified by finite element analysis and engineering examples.

pseudo-rigid-body model (PRBM); fixed-guided compliant link; optimization algorithm; finite element analysis

2015-12-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905075)；江蘇省“六大人才高峰”資助項(xiàng)目(ZBZZ-012)；機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目(SKLRS-2016-KF-06)；系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目(scip-201506)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.21.014

劉 凱，男，1991年生。江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)槿犴槞C(jī)構(gòu)學(xué)。曹 毅，男，1974年生。江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授,系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室訪(fǎng)問(wèn)學(xué)者，機(jī)械人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室訪(fǎng)問(wèn)學(xué)者。葛姝翌，女，1992年生。江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。