高 雙 朱 翔 諶宗琦 李天勻

華中科技大學(xué)，武漢，430074

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基于歐拉梁的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)動(dòng)力特性分析

高 雙 朱 翔 諶宗琦 李天勻

華中科技大學(xué)，武漢，430074

將兩端受軸向壓力的歐拉梁和線性彈簧并聯(lián)，組成一個(gè)具備高靜剛度和低動(dòng)剛度的準(zhǔn)零剛度隔振器。通過對(duì)隔振系統(tǒng)進(jìn)行靜力分析，給出系統(tǒng)具備準(zhǔn)零剛度特性所需的條件。利用諧波平衡法求解系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，分析系統(tǒng)的幅頻特性，給出了系統(tǒng)的力傳遞率，討論了阻尼、激勵(lì)力等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)傳遞率的影響。最后分析了該隔振系統(tǒng)的跳躍頻率。研究結(jié)果表明：激勵(lì)力以及初始偏移量的增大會(huì)使系統(tǒng)的隔振效果變差，因此要控制激勵(lì)力的大小并盡量避免超載；阻尼比的選取需要綜合考慮高頻的隔振效果和有效隔振頻率范圍。

歐拉梁；準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)；諧波平衡法；力傳遞率；跳躍頻率

0 引言

本文以兩端受壓的歐拉梁為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，將它和線性彈簧并聯(lián)，在一定條件下組成一個(gè)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了靜力和動(dòng)力特性分析，評(píng)價(jià)其隔振性能并分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于隔振性能的影響。

1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的靜力分析

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)由兩端受壓的歐拉梁和線性彈簧并聯(lián)構(gòu)成，兩端受軸向壓力的歐拉梁模型如圖1所示，假設(shè)壓桿長(zhǎng)為l，彈性模量為E，慣性矩為I，垂向力為Fs，軸向壓力為F。則該歐拉梁的彎曲微分方程為

(1)

圖1 兩端受壓的歐拉梁模型

F→π2EI/l2時(shí)，梁中點(diǎn)撓度趨于無窮大，無法描述歐拉梁的后屈曲行為，因此將上述系統(tǒng)等效為由2根剛性桿和中間的扭轉(zhuǎn)彈簧組成、具有幾何非線性特點(diǎn)的系統(tǒng)[13]，如圖2所示。

圖2 等效的非線性系統(tǒng)

對(duì)于梁的小變形，根據(jù)能量等效原則可以求得扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度ke=3EI/l。當(dāng)梁的中點(diǎn)撓度為d時(shí)，系統(tǒng)的總位能為

(2)

由位能駐值原理可知?V(d)/?d=0，從而得到垂向力Fs的表達(dá)式，量綱一化后可以得到：

(3)

求導(dǎo)得到歐拉梁的垂向量綱一剛度：

(4)

圖3 不同值時(shí)的不同特性

mg=kVd0

(5)

2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的動(dòng)力特性分析

結(jié)合隔振系統(tǒng)的靜力特性分析，建立系統(tǒng)動(dòng)力分析模型，推導(dǎo)并分析準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的幅頻特性、力傳遞率和跳躍頻率特性，考慮不同參數(shù)對(duì)隔振性能的影響。

2.1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的幅頻特性分析

根據(jù)式(3)可以得到系統(tǒng)的回復(fù)力(垂向力)：

(6)

再根據(jù)式(5)，可以得到梁中點(diǎn)撓度為x時(shí)整個(gè)隔振系統(tǒng)的回復(fù)力(垂向力)：

(7)

考慮阻尼作用，引入線性阻尼(阻尼系數(shù)為c)，若承載的物體受到簡(jiǎn)諧力FAcosωt的作用(FA為簡(jiǎn)諧力幅值)，建立動(dòng)力分析系統(tǒng)，則準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的受迫振動(dòng)方程為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

從式(12)可以看出：歐拉梁變形較小時(shí)，無論是否超載，歐拉梁與線性彈簧并聯(lián)形成的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)都具備Duffing振子的特點(diǎn)，超載會(huì)使得系統(tǒng)回復(fù)力中二次項(xiàng)的系數(shù)不為零，即系統(tǒng)關(guān)于平衡點(diǎn)不具備對(duì)稱形式。

(13)

利用諧波平衡法近似求解式(13)，假設(shè)式(13)的解X(τ)=A0+A1cos (Ωτ+φ)，即認(rèn)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值為A1，同時(shí)還有一個(gè)附加的位移A0。將X(τ)的表達(dá)式代入式(13)并整理，得到[14]:

(14)

忽略式(14)中的二次諧波、三次諧波，由等式兩邊的諧波系數(shù)相等，可以得到：

(15)

整理式(15)，得到關(guān)于A0的一元九次方程：

(16)

根據(jù)式(16)不難得到：

(17)

根據(jù)式(17)、式(15)的第三式可以得到關(guān)于A1的方程：

(18)

根據(jù)式(16)、式(18)，作出A0-Ω和A1-Ω幅頻響應(yīng)圖(圖4、圖5)。從圖4a可以看出：系統(tǒng)的幅頻曲線具有多值性，即一個(gè)激勵(lì)力頻率可能對(duì)應(yīng)著多個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值A(chǔ)1，因此系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)頻率跳躍現(xiàn)象；幅頻曲線是向右彎曲的，并且γ越大，曲線彎曲程度越大，這說明系統(tǒng)的回復(fù)力具有漸硬特性；共振峰值隨著量綱一激勵(lì)力γ的增大而增大，對(duì)應(yīng)共振頻率也隨之增大。從圖4b可以看出：隨著量綱一阻尼系數(shù)δ的增大，幅頻曲線向右彎曲的程度變小，并且共振峰值和共振頻率都隨之減小，當(dāng)δ增大到一定程度時(shí)，曲線不再具有多值性，此時(shí)系統(tǒng)不再會(huì)發(fā)生頻率跳躍現(xiàn)象。

(c) γ=0.05,δ=0.1

分析該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的幅頻曲線可以發(fā)現(xiàn)：在某些頻率段，一個(gè)激勵(lì)力頻率對(duì)應(yīng)多個(gè)振動(dòng)的幅值，這種多值性會(huì)引起系統(tǒng)發(fā)生頻率跳躍現(xiàn)象，如量綱一阻尼系數(shù)δ的變化會(huì)影響系統(tǒng)的共振峰值和共振頻率，改變幅頻曲線的彎曲程度，甚至使得多值性特點(diǎn)消失。

2.2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力傳遞率分析

傳遞率是評(píng)價(jià)隔振系統(tǒng)的一個(gè)十分重要的指標(biāo)，通常采用的傳遞率有力傳遞率和位移傳遞率，它們能很好地描述振動(dòng)通過隔振器后減小的程度。力傳遞率Tf為

式中， Ft1、Ft2分別為彈性力和阻尼力的幅值；Fe為激勵(lì)力。

本文需要分析的是準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力傳遞率。

對(duì)于超載的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，式(12)的解可以由式(13)的解表示：

(19)

(20)

因?yàn)橹饕紤]的是動(dòng)態(tài)力中的一次諧波分量，所以取彈性力的幅值[10]

將式(19)代入系統(tǒng)的阻尼力表達(dá)式，得到阻尼力幅值Ft2=δA1Ω，于是得到系統(tǒng)的力傳遞率：

(21)

(22)

圖6 不同γ時(shí)系統(tǒng)的力傳遞率曲線

圖7 不同δ時(shí)系統(tǒng)的力傳遞率曲線

圖8 不同時(shí)系統(tǒng)的力傳遞率曲線(δ=0.1,γ=0.05)

從圖6可以看出：保持其他參數(shù)不變，當(dāng)量綱一激勵(lì)力幅值γ增大時(shí)，系統(tǒng)的力傳遞率峰值也隨之增大，并且對(duì)應(yīng)的頻率同時(shí)增大，在圖中表現(xiàn)為峰值向右上方移動(dòng)。另外，系統(tǒng)的跳躍頻率也隨γ的增大而增大。這說明激勵(lì)力會(huì)影響系統(tǒng)的隔振性能，而且激勵(lì)力增大會(huì)使得系統(tǒng)的隔振性能變差。

從圖7可以看出：保持其他參數(shù)不變，當(dāng)阻尼比δ增大時(shí)，系統(tǒng)的力傳遞率峰值會(huì)變小，對(duì)應(yīng)的頻率(下跳頻率)也會(huì)減小，即峰值向左下方移動(dòng)，阻尼比增大到一定程度如δ=0.3時(shí)，可能會(huì)使得曲線不具備多值性，頻率跳躍現(xiàn)象消失。此外，應(yīng)注意到阻尼的增大減小了力傳遞率峰值并拓寬了有效隔振的頻率范圍，但是這會(huì)使得系統(tǒng)在高頻段的隔振效果變差，因此選取阻尼時(shí)，需要綜合考慮高頻的隔振效果和系統(tǒng)的有效隔振頻率范圍。

2.3 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的跳躍頻率分析

跳躍是非線性振動(dòng)中很重要的一個(gè)特性，由2.2節(jié)分析可知，當(dāng)系統(tǒng)的阻尼比增大到一定程度時(shí)，可能會(huì)使系統(tǒng)的跳頻現(xiàn)象消失，激勵(lì)力的大小也會(huì)影響系統(tǒng)的跳躍頻率。因此需要分析該系統(tǒng)在未超載時(shí)的跳躍現(xiàn)象。根據(jù)式(15)很容易得到系統(tǒng)未超載時(shí)的幅頻關(guān)系式：

(23)

從式(23)求解得到：

(24)

從式(24)可以看出，在一定范圍內(nèi)，有兩支A1-Ω曲線，如圖9所示。當(dāng)激勵(lì)力頻率比Ω從點(diǎn)1開始減小到點(diǎn)2時(shí)，幅值A(chǔ)1沿著下方的曲線向左上移動(dòng)；當(dāng)Ω繼續(xù)減小時(shí)，A1仍然沿著下方的曲線向左上移動(dòng)直到點(diǎn)3；當(dāng)頻率再減小時(shí)，A1會(huì)從點(diǎn)3直接跳躍到點(diǎn)4，此時(shí)的Ω稱為上跳頻率，記為Ωu。隨后A1會(huì)隨著Ω的減小沿著上方曲線移動(dòng)到點(diǎn)5。如果是從點(diǎn)5開始增大Ω，A1則是從點(diǎn)5經(jīng)點(diǎn)4到點(diǎn)6，隨后從點(diǎn)6向下跳躍到點(diǎn)2，隨后從點(diǎn)2移動(dòng)到點(diǎn)1。點(diǎn)6對(duì)應(yīng)的頻率稱為下跳頻率，記為Ωd。點(diǎn)3和點(diǎn)6之間的這一段曲線代表的是不穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通常是觀察不到的。

圖9 γ=0.1,δ=0.1時(shí)系統(tǒng)的幅頻曲線

下面根據(jù)式(23)、式(24)來求解上跳頻率Ωu和下跳頻率Ωd。從圖9易知，Ω的增大，A1由點(diǎn)6下跳至點(diǎn)2；Ω減小，A1由點(diǎn)1至點(diǎn)2，兩曲線在Ωd相交，即下跳頻率Ωd就是式(24)代表的兩支曲線的交點(diǎn)：

(25)

式中，A1d為系統(tǒng)在下跳頻率Ωd下的響應(yīng)幅值A(chǔ)1。

從式(25)求得：

(26)

(27)

圖10 Ωd-δ曲線

圖11 Ωd-γ曲線

系統(tǒng)的上跳頻率Ωu就是dΩ/dA1=0對(duì)應(yīng)的頻率。根據(jù)式(24)求解導(dǎo)數(shù)為零的條件：

(28)

式中，A1u為系統(tǒng)在上跳頻率Ωu下的響應(yīng)幅值A(chǔ)1。

顯然式(28)中取負(fù)號(hào)才可能有解，由式(28)得到δ關(guān)于γ、A1u的解，代入到式(24)中取正號(hào)的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可以得到：

(29)

圖12 Ωu-δ曲線

圖12中，實(shí)際有效的只是水平的那一部分(顯然δ→0+時(shí)，Ωu→∞是不可能的)。從Ωu-δ曲線中有效的那一部分可以看出，當(dāng)保持其他參數(shù)不變時(shí)，δ對(duì)Ωu的影響很微小，甚至可以忽略。所以可以令δ=0代入式(28)求得A1u，進(jìn)而代入式(29)求得Ωu：

(30)

(31)

當(dāng)上跳頻率和下跳頻率相等時(shí)，系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象消失，利用Ωd=Ωu可以得到此時(shí)的關(guān)系式：

(32)

根據(jù)式(32)作出Ωd=Ωu時(shí)的γ-δ曲線，如圖13所示。

圖13 跳躍現(xiàn)象剛好消失時(shí)的γ-δ曲線

由上文分析可知，γ很小時(shí)，系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象可能消失，再結(jié)合γ對(duì)Ωd和Ωu影響的分析，不難知道：在圖13中的曲線上，對(duì)于某一給定的δ，對(duì)應(yīng)的γ正好是系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象出現(xiàn)的臨界值，曲線左上方的區(qū)域表示量綱一激勵(lì)力γ超過了臨界值，此時(shí)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；曲線右下方的區(qū)域表示量綱一激勵(lì)力γ小于臨界值，此時(shí)系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。如果要抑制跳躍現(xiàn)象，可以通過增大阻尼比δ來實(shí)現(xiàn)，而且阻尼比越大，γ允許變化的范圍也越大。前文力傳遞率的分析指出，阻尼比的增大會(huì)降低隔振器高頻范圍的隔振性能，因此阻尼比δ并不是越大越好，仍然需要綜合考慮多個(gè)方面的因素。

3 結(jié)論

(1)該隔振系統(tǒng)具有漸硬彈簧的特點(diǎn)，承載質(zhì)量未超載時(shí)，可以看作是彈性力中一次項(xiàng)系數(shù)為零的Duffing振子；超載時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為受常力和簡(jiǎn)諧力共同作用的Duffing振子。此外，由于非線性的特點(diǎn)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，但在一定條件下，跳躍現(xiàn)象會(huì)消失。

(2)該隔振系統(tǒng)的力傳遞率峰值和跳躍頻率隨量綱一激勵(lì)力γ的增大而增大。激勵(lì)力太大會(huì)使系統(tǒng)的隔振效果變差，因此要控制激勵(lì)力的大小。

(3)阻尼比的增大可以有效降低系統(tǒng)的傳遞率峰值并拓寬有效隔振的頻率范圍，但會(huì)使高頻段的隔振效果變差，因此阻尼系數(shù)的選取需要綜合考慮高頻的隔振效果和有效隔振頻率范圍。

(4)系統(tǒng)初始的偏移量是不利于隔振的，因此要盡量避免超載。

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(編輯 張 洋)

Analyses on Dynamics Characteristics of a Quasi-zero-stiffness Vibration Isolation System Based on Euler Beam

Gao Shuang Zhu Xiang Shen Zongqi Li Tianyun

Huazhong University of Science and Technology，Wuhan，430074

Combining the Euler beam under axial pressures with a positive stiffness spring, a quasi-zero-stiffness vibration isolation system was obtained, which had high static stiffness and low dynamic stiffness characteristics. The requirements of the quasi-zero-stiffness system were achieved through the static characteristic analyses. The harmonic balance method was used to solve the dynamic differential equations. The steady state and amplitude frequency response of the system were also analysed. The influences of parameters such as damping and exciting forces on the force transmissibility of the system were discussed. At last, the jumping frequencies of the system were analysed. The results show that the increase of the exciting force and the initial offset make the effects of vibration isolation of system worse, therefore the amplitude of the exciting force should be controlled, and the overload should be avoided. To choose the proper damping ratio, the vibration isolation effect at high frequencies and the effective isolation frequency range should be considered comprehensively.

Euler beam; quasi-zero-stiffness system; harmonic balance method; force transmissibility; jumping frequency

2015-09-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51479079)

O328

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.21.006

高 雙，男，1990年生。華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制。發(fā)表論文2篇。朱 翔，男，1980年生。華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院副教授。諶宗琦，男，1989年生。華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院碩士研究生。李天勻，男，1969年生。華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。