劉華為（上海市嶺南中學(xué)）

吃透概念方能百密無疏
——兼談加強(qiáng)軌跡概念理解性教學(xué)的策略

劉華為（上海市嶺南中學(xué)）

加強(qiáng)概念理解性教學(xué)，在概念的形成過程和應(yīng)用中，不斷挖掘概念理解的高度、深度和寬度.再引導(dǎo)學(xué)生從核心概念入手，追根溯源，尋求問題解決的本質(zhì)，也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題能力的重要途徑之一.

概念理解性教學(xué)；動(dòng)點(diǎn)軌跡；知識(shí)溯源

一、問題提出

題目如圖1，等邊△ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點(diǎn)P.若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長.

圖1

圖2

錯(cuò)解：若AF=BE，則主要有AE=BF和AE=CF兩種情形.如圖2，當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑為AB邊上的高CH，長為當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑為以A，B為端點(diǎn)，且所對(duì)圓心角為120°的根據(jù)圖中所作輔助線可求得其長為綜上所述，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為或

錯(cuò)解剖析：眾所周知，若點(diǎn)集A稱為具備性質(zhì)p的點(diǎn)的軌跡必須滿足兩點(diǎn)：第一，純粹性（集合A內(nèi)所有的點(diǎn)都必須滿足性質(zhì)p）；第二，完備性（所有滿足性質(zhì)p的點(diǎn)都屬于集合A）.由此可知，點(diǎn)P的軌跡應(yīng)是所有滿足條件AF=BE所產(chǎn)生的點(diǎn)的集合.即當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，符合條件的點(diǎn)P不是一個(gè)，而是有兩個(gè)點(diǎn)P1，P2，它們分別從點(diǎn)A和點(diǎn)H各自沿和△ABC的高CH運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)點(diǎn)P的路徑是由和高CH共同所組成的圖形，其長為兩者之和，即不應(yīng)分開表述.

顯然，錯(cuò)解違背了軌跡定義的“完備性”，犯了概念理解不透之誤.下面筆者就如何加強(qiáng)軌跡概念理解性教學(xué)的策略談幾點(diǎn)拙見，以求拋磚引玉.

二、教學(xué)策略

1.借助作圖降低軌跡概念理解的難度

由于軌跡的概念比較抽象，學(xué)生理解起來有一定的難度.但對(duì)于具體問題，若能在黑板上展示作圖的過程，呈現(xiàn)出軌跡的完整圖形，并輔以幾何畫板軟件的動(dòng)態(tài)演示，對(duì)學(xué)生理解軌跡概念必能起到事半功倍的效果.例如，學(xué)生對(duì)于題目“當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑為以點(diǎn)A，B為端點(diǎn)且所對(duì)圓心角為120°的弧”理解上就有一定的難度.教學(xué)中若借助于幾何畫板軟件，對(duì)點(diǎn)E生成動(dòng)畫，再追蹤點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡便形象、直觀、動(dòng)態(tài)地展示在學(xué)生的眼前（如圖3），再引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)∠APB=120°，從理論上加以證明.如此處理，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且對(duì)加深理解也大有裨益.

圖3

2.借助反例加深軌跡概念理解的深度

對(duì)于軌跡的“純粹性”和“完備性”，即使教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生也未必能體會(huì)其中的奧秘.相反，若能把它們滲透于反例的辨析中，則可化抽象為具體，對(duì)理解和掌握這兩個(gè)性質(zhì)大有裨益.例如，借助“以線段AB為底邊的等腰三角形頂點(diǎn)C的軌跡是線段AB的中垂線”的辨析可加深對(duì)軌跡“純粹性”的理解，借助“以長為c的線段AB為邊且面積為S的△ABC頂點(diǎn)C的軌跡是一條平行于AB，且到AB的距離為的直線”的辨析可加深對(duì)軌跡“完備性”的理解.

3.借助溯源提升軌跡概念理解的高度

一般地，數(shù)學(xué)習(xí)題是由教材的有關(guān)知識(shí)、信息、符號(hào)，通過遷移、發(fā)散和綜合而來的，因此，相關(guān)問題的知識(shí)源就是解決此類問題的最佳策略和制勝法寶.而初中階段與軌跡有關(guān)的知識(shí)源主要有：（1）到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡為這條線段的中垂線；（2）在角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；（3）到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是兩條平行于該直線且到它的距離相等的直線；（4）到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心、定長為半徑的圓；（5）對(duì)已知線段的張角為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡是以該線段端點(diǎn)為端點(diǎn)的弧（該弧所對(duì)圓心角度數(shù)與張角度數(shù)相等）等.

題目中問題又適用哪個(gè)知識(shí)源呢？當(dāng)AE=BF時(shí)，由幾個(gè)特殊情況下點(diǎn)P的位置，可猜想其軌跡為直線型.而由已知條件、等邊三角形的軸對(duì)稱性和點(diǎn)P的位置特征，聯(lián)想到知識(shí)源（1），即證明PA=PB.又易證△ABF≌△BAE，故∠BAF=∠ABE，從而得證；當(dāng)AE=CF時(shí)，易判斷點(diǎn)P的軌跡為非直線型.由∠APB=120°為定值聯(lián)想到知識(shí)源（5），從而得點(diǎn)P的軌跡為所對(duì)圓心角也為120°的

【點(diǎn)評(píng)】通過追根溯源，不僅讓學(xué)生知道怎樣做，還讓他們明白為什么要這樣做，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)“怎么想”，為今后解決此類問題打開了思路，從而把對(duì)軌跡概念的理解提升到一個(gè)嶄新的高度.

4.借助定義拓寬軌跡概念理解的寬度

（1）借助直線定義確定動(dòng)點(diǎn)軌跡.

方法引領(lǐng)：事實(shí)上，若能吃透直線概念（直線是由一點(diǎn)沿著一定方向及其相反方向運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的），就會(huì)明白要說明一動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線，則必須證明兩點(diǎn)：第一，該軌跡恒過一定點(diǎn)（確定位置）；第二，軌跡上任一點(diǎn)與該定點(diǎn)的連線和一定直線的夾角相等或平行（明確方向）.

圖4

圖5

解：如圖5，由點(diǎn)P位于點(diǎn)O，N時(shí)，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的位置為點(diǎn)B0，Bn，以及點(diǎn)P在線段OC上運(yùn)動(dòng)，可猜想點(diǎn)B的軌跡是線段B0Bn.理由如下.

由AB0=AO·tan30°，AB=AP·tan30°，

得AB0∶AO=AB∶AP=tan30°.

又易知∠OAP=∠B0AB.得△AB0B∽△AOP.

所以∠AB0B=∠AOP為定值.

又由點(diǎn)B0為定點(diǎn)，故點(diǎn)B在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.

同理，可證△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°.

則B0Bn=ON·tan30°=

【點(diǎn)評(píng)】欲證線段B0Bn就是動(dòng)點(diǎn)B的軌跡，考慮到點(diǎn)B已過定點(diǎn)B0，下面只需證明∠AB0B為定值，即證明它與某一個(gè)定角相等即可.觀察可得∠AOP就是與∠AB0B相等的定角，再由兩角的位置特征和題設(shè)條件，就不難想到用三角形相似來證明相等了.一般地，證明動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線（或線段）時(shí)，通常找動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn)或終點(diǎn)為定點(diǎn)來確定軌跡的位置；至于軌跡方向，除了像此題以證明∠AOP與定角∠AB0B相等來確定外，還可用與定直線平行來確定.

（2）借助圓的定義確定動(dòng)點(diǎn)軌跡.

方法引領(lǐng)：除了題目中由圓周角為定值確定圓弧型軌跡外，還可根據(jù)圓的定義判定，即證明動(dòng)點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離為定值.

例2如圖6，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn). P（0，m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外），直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D.

圖6

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；

（3）設(shè)過P，M，B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為點(diǎn)H（如圖7），當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長.

圖7

解：（1）略.

（2）略.

（3）由OH⊥ME和點(diǎn)O，M為定點(diǎn)，聯(lián)想到連接OM，取其中點(diǎn)N，則動(dòng)點(diǎn)H到定點(diǎn)N的距離為定值，即點(diǎn)H的軌跡是以點(diǎn)N為圓心，以O(shè)M為半徑的圓上的一段圓弧.

顯然，當(dāng)點(diǎn)P無限接近點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E趨向無窮遠(yuǎn)，ME與x軸接近于平行，所以點(diǎn)H無限接近于點(diǎn)C；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)H對(duì)應(yīng)的位置點(diǎn)為軌跡的另一個(gè)端點(diǎn).此時(shí)，可求得拋物線的解析式為y=-x2+3x，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（3，0）.

過點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)F，可得∠FME=45°.

則∠CME=135°.

又因?yàn)椤螼CM=∠MHO=90°，所以∠COH=45°.

連接CN，由CN=ON=HN，知∠CNM=2∠COM，∠HNM=2∠HOM.所以∠HNC=90°.

【點(diǎn)評(píng)】用圓的定義確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵是找定點(diǎn)（即圓心），通?？捎蓜?dòng)點(diǎn)所對(duì)的定線段為直徑（即張角為直角）來找圓心.例如，此題就是抓住∠MHO為90°來確定線段MO為直徑，從而找出圓心N.

（3）借助函數(shù)圖象定義確定動(dòng)點(diǎn)軌跡.

方法引領(lǐng)：由函數(shù)圖象的定義可知，函數(shù)圖象就是在直角坐標(biāo)平面內(nèi)由滿足函數(shù)關(guān)系式的動(dòng)點(diǎn)所產(chǎn)生的軌跡.因此，對(duì)于無法由特殊位置確定形狀的動(dòng)點(diǎn)軌跡，可適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)所滿足的函數(shù)關(guān)系式及其圖象來確定.

例3如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ，分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）.

圖8

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=_____，PD=_______.

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度.

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長.

解：（1）略.

（2）略.

（3）顯然中點(diǎn)M的軌跡不易直接判斷形狀，可采用間接法，即利用函數(shù)圖象來處理.考慮到AC與BC互相垂直，故以點(diǎn)C為原點(diǎn)、直線CA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖9），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y）.

圖9

過點(diǎn)M作MN⊥Ox于點(diǎn)N，則MN∥QC.

消去t，得y=-2x+6.又由0≤t≤4，得1≤x≤3.

所以點(diǎn)M的軌跡是以E（3，0），F(xiàn)（1，4）為端點(diǎn)的線段EF，由兩點(diǎn)之間距離公式得點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長

【點(diǎn)評(píng)】建立平面直角坐標(biāo)系的原則是盡量利用垂線且有利于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)求解；而求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)通常需要過動(dòng)點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，再由垂線段的長和動(dòng)點(diǎn)所在的象限而得.值得注意的是，由于是動(dòng)點(diǎn)，其橫、縱坐標(biāo)必然是用某一變量（參數(shù)）來表示的，只需消去參數(shù)（即消元思想），即可得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的函數(shù)關(guān)系式，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

方法總評(píng)：綜上所述，處理“求動(dòng)點(diǎn)路徑（軌跡）長問題”的策略主要為“一找（軌跡），二求（長度）”，其中找軌跡最為關(guān)鍵.那么如何確定軌跡的形狀和位置呢？首先，根據(jù)條件思考能否依據(jù)所學(xué)過的一些特殊軌跡直接判定（如題目）.否則，可通過動(dòng)點(diǎn)所在的幾個(gè)特殊位置猜想其形狀是直線型還是圓弧型.若為直線型，則先確定動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過的一個(gè)特殊點(diǎn)（通常為起點(diǎn)或終點(diǎn)），然后再證明動(dòng)點(diǎn)與該特殊點(diǎn)連線與題中某一定直線的夾角為定值或平行（如例1）；若為圓弧型，則觀察動(dòng)點(diǎn)對(duì)某一定線段的張角是否為定值（如題目），或與某一定點(diǎn)的距離是否為定值（如例2）；若無法確定是否為兩者之一，則可建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)所滿足的函數(shù)關(guān)系式，利用圖象確定動(dòng)點(diǎn)軌跡（如例3）.

但不管怎樣，應(yīng)從核心概念入手，追根溯源，回歸問題解決的本質(zhì)，尋求解決問題的基本途徑.

［1］余利英，姜鴻雁.對(duì)一道中考試題及其標(biāo)準(zhǔn)答案的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（7）：60-62.

［2］劉華為.中考?jí)狠S題：怎樣解，為何這樣解［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2014.

2016—09—14

劉華為（1968—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事課堂教學(xué)與命題研究．