何訓(xùn)光（湖北省秭歸縣教育科研信息中心）

深入研究簡單教學(xué)

何訓(xùn)光（湖北省秭歸縣教育科研信息中心）

學(xué)數(shù)學(xué)難，教數(shù)學(xué)難，要想取得好的數(shù)學(xué)成績和教學(xué)成效更難.這是農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀和尷尬.要想突破此三難、沖破這一瓶頸，最有效的方法就是要克服畏“難”情緒，深入研究數(shù)學(xué)問題，學(xué)會(huì)給“難題”搭臺階，尋找最簡單的解法，優(yōu)化教學(xué)方法，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)就一定能達(dá)到讓學(xué)生簡簡單單學(xué)好數(shù)學(xué)的最佳效果.

深入研究；簡單教學(xué)；提高質(zhì)量

常常有教師這樣說，這道題好難，解不了；或者說，這道題太難了，不好講.其實(shí)，很多時(shí)候都是人為因素造成的.如果能在不降低原題“難度”的情況下，通過對“難題”的深入鉆研能夠做到給“難題”搭一個(gè)臺階，或者通過對“難題”的深入鉆研，找到解決難題的最佳解題方法，或者通過深入鉆研能尋找最好的，能夠啟發(fā)學(xué)生思維的教學(xué)方法，就一定能把“難題”教得簡單，這樣學(xué)生就會(huì)愛好數(shù)學(xué)，愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).也只有如此，數(shù)學(xué)教學(xué)才能達(dá)到數(shù)學(xué)課堂迫切需要從冗繁走向凝練，從緊張走向舒緩，從雜亂走向清晰，從膚淺走向深邃的要求和目的.下面以筆者在教育、教學(xué)和研究中的實(shí)例為基礎(chǔ)介紹三種有效策略和方法，希望能給讀者在今后的學(xué)習(xí)、教學(xué)和生活中帶來啟示和幫助.

一、會(huì)給難題搭臺階

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索.課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系；要重視直接經(jīng)驗(yàn)，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系.課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性.

然而，很多時(shí)候教師在編制數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常不自覺地把題目編難了，這與《標(biāo)準(zhǔn)》的要求是不相符的.其實(shí)，試題的設(shè)計(jì)是可以在不降低思維能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上把難題出簡單的.例如，可以給難題搭臺階，在同一個(gè)題目中增加問題的個(gè)數(shù)，也可以設(shè)計(jì)一些鋪墊，即增加題目的層次性和多樣性，給學(xué)生以直接或間接經(jīng)驗(yàn)的鋪墊，這樣做既不會(huì)降低數(shù)學(xué)教學(xué)需要的標(biāo)準(zhǔn)，也不會(huì)影響學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

例1已知，M是等邊△ABC的邊BC上的點(diǎn).

（1）如圖1，連接AM，過點(diǎn)M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HD⊥BC于點(diǎn)D.

圖1

①求證：MA=MH；

②猜想并寫出CB，CM，CD之間的數(shù)量關(guān)系式，并給予證明.

（2）如圖2，（1）中其他條件不變，若點(diǎn)M在BC延長線上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若不成立，直接寫出新的數(shù)量關(guān)系式.

圖2

此題第（1）小題要證明MA=MH，但圖中沒有這樣兩個(gè)全等的三角形，也似乎不容易證明△AMH為等腰三角形，這樣題目的難度就大了，為了讓學(xué)生能順利解答，可以做如下改編，即在第（1）小題前可加上一個(gè)小問題做為鋪墊，即改編為如下題目.

例1的改編：已知，M是等邊△ABC的邊BC上的點(diǎn).

（1）如圖3（請注意：改編后，一定要記得把圖3放在圖1的前面，即修改為圖1，并且后面的序號也要做相應(yīng)調(diào)整），過點(diǎn)M作MN∥AC，且交AB于點(diǎn)N.求證：BM=BN.

圖3

（2）如圖4，連接AM，過點(diǎn)M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HD⊥BC于點(diǎn)D.

圖4

①求證：MA=MH；

②猜想并寫出CB，CM，CD之間的數(shù)量關(guān)系式，并給予證明.

（3）如圖5，（2）中其他條件不變，若點(diǎn)M在BC延長線上時(shí)，（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若不成立，直接寫出新的數(shù)量關(guān)系式.

圖5

改編說明：這樣改編，沒有降低原題所想要考查的知識與技能、過程與方法等內(nèi)容，但對學(xué)生來說，解答就容易入手了，他們可以通過第（1）小題的提示，即按照第（1）小題的思路和思考問題的方式（即由解答第（1）小題時(shí)獲得的直接經(jīng)驗(yàn)：如圖6，過點(diǎn)M作MN∥AC交AB于點(diǎn)N，即可以得到第（1）小題的等邊△BMN）來解答后面的問題.

圖6

搭一個(gè)臺階，讓“難題”不再難得“不能做”，更重要的是給了學(xué)生新的思考問題和解決問題的方法，給了學(xué)生新的解題經(jīng)驗(yàn)，起到了一舉多得的良好效果.

二、尋找最佳解法

很多題目本身并不難，只是在很多時(shí)候是教師和學(xué)生一時(shí)沒有找到簡單的方法而已，或者說沒有理解題意，或者沒有理解到命題者出題的本意.因而找不到簡單辦法就把題目想難了.題目一想難，簡單的題也就變成所謂的“難題”了.如果能多深入鉆研一下題目，真正弄清楚命題者的本意，或者能真正理解題目，再換一種角度，或者再換一種思考問題的方式，就能化難為易了.對于這一點(diǎn)，《標(biāo)準(zhǔn)》中早有要求：要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.方法一恰當(dāng)，自然就沒有難題了.讀者可以參考下面幾道所謂的難題.

例2如圖7，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），連接EG并延長交DC于點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，MN交BD于點(diǎn)P，設(shè)正方形ABCD的邊長為4.

（1）證明：四邊形MPBG是平行四邊形；

（2）如果按題設(shè)作出的四邊形MPBG是菱形，求BE的長.

圖7

此題是某地八年級下學(xué)期期末調(diào)研考試中的一道壓軸題.在考試過程中，有教師認(rèn)為這道題第（2）小題的解答要用到九年級的一元二次方程的知識來解答，目前不能解答，請求添加條件或更換試題結(jié)論以使學(xué)生能夠解答.

果真如此嗎？其實(shí)，這些教師是認(rèn)為此題一定要用到勾股定理，一定要用到一元二次方程.究其原因進(jìn)行分析，主要是教師長期在解答這類題時(shí)習(xí)慣于用勾股定理來列方程求解，用勾股定理就需要列一元二次方程.其實(shí)，此題只需要根據(jù)“菱形的鄰邊相等”來列一元一次方程即可解答，由此可知，不是題難了，而是教師想難了，亦或是教師的方法不恰當(dāng).

例3如圖8，已知DE是⊙O的直徑，過點(diǎn)D作⊙O的切線AD，C是AD的中點(diǎn)，AE交⊙O于點(diǎn)B，連接BC，OC.

圖8

（1）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由．

（2）四邊形BCOE是平行四邊形嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由．

此題是某地命制的“‘圓’單元自我測試題”中的一道中檔題，命題者的本意是想“先讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)命題成立并進(jìn)行證明的過程，再讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)判斷并得出一個(gè)否定的結(jié)論，然后進(jìn)行說理的過程.讓兩種不同類型的判斷結(jié)果同時(shí)出現(xiàn)在一道題目中，便于培養(yǎng)學(xué)生的求異思維能力和創(chuàng)新思維方式.因?yàn)閷W(xué)生常常遇到的題都是成立的，也就是形式上的分類判斷，實(shí)際上的證明題.長期這樣，勢必給學(xué)生形成一個(gè)“結(jié)果都是成立的，判斷只是一個(gè)形式”的思維方式，就連很多教師也形成了這樣一個(gè)思維習(xí)慣，就有很多教師對此題的題目產(chǎn)生了懷疑，他們認(rèn)為該題目的第（2）小題缺少條件，不能證明，或者有的教師干脆把該題第（2）小題當(dāng)成一道錯(cuò)題給刪了.其實(shí)，該題并不難，說難是因?yàn)闆]有深入鉆研該題，或者說是因?yàn)闆]有找到恰當(dāng)?shù)姆椒ǘ?既然此題不能證明其成立，我們就反其道而行之，用反例來說明它不成立的理由吧.對于第（2）小題，答案應(yīng)該是“四邊形BCOE不一定是平行四邊形”.因?yàn)?，?dāng)B為AE中點(diǎn)時(shí)，由C是AD的中點(diǎn)，O為DE的中點(diǎn)，可得OC∥AE，BC∥OE，由此而說明此種情況下，四邊形BCOE是平行四邊形；當(dāng)B為AE中點(diǎn)以外的點(diǎn)時(shí)，易證OC∥AE.但因?yàn)檫^點(diǎn)C只有一條直線與DE平行，而這條直線必定過AE的中點(diǎn)，所以，其他情況下的CB與DE不平行，因而此種情況下四邊形BCOE就不是平行四邊形.所以，四邊形BCOE不一定是平行四邊形.

由以上分析可以看出，此題的四邊形不一定是平行四邊形，即有是平行四邊形的情況，也有不是平行四邊形的情況，請讀者不要一味追求“一定成立”或者“一定不成立”的“絕對答案”.生活中真正絕對的事是極少的.一定要深入鉆研每一道題，哪怕是一道很簡單的題，也許就有意想不到的最佳解決辦法.

三、優(yōu)化教學(xué)方法

解題，有一般的步驟和一般的方法，但這不適合任何題，尤其不適合中考題中的多數(shù)原創(chuàng)題.另外，要想培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，既不可能只會(huì)解答常規(guī)題，也不能只用一般的解題方法來訓(xùn)練學(xué)生.這樣易讓人墨守成規(guī)、不會(huì)創(chuàng)新.同時(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》也指出：學(xué)習(xí)評價(jià)的主要目的是為了全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)并改進(jìn)教師教學(xué).為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，命題者就一定要學(xué)會(huì)建立目標(biāo)多元、方法多樣的評價(jià)體系，就要會(huì)編制各種不同類型的練習(xí)題或自我測試題來培養(yǎng)師、生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識.這樣的題，往往又會(huì)把師、生給難住，如果師、生沒有求異的思維方法，而按通性、通法就有可能把題做難了.若教師能按《標(biāo)準(zhǔn)》嚴(yán)格要求自己，能把不同的方法進(jìn)行比較，并能從中選擇最好的、最簡單的方法進(jìn)行教學(xué)，并能持之以恒地堅(jiān)持下去，就能不斷地啟發(fā)學(xué)生的思維，開發(fā)學(xué)生的智慧.

例4如圖9，某廣場的一個(gè)等腰梯形花園里種植了各種不同的花卉，該等腰梯形花園上底長120米，下底長200米，上、下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線處有一條東西方向的橫向大道，從南門到該橫向大道有兩條縱向大道，寬度與橫向大道相等，從北門到該橫向大道有一條縱向大道，寬為橫向大道的2倍，大道的所有面積占整個(gè)梯形花園面積的19%，求橫向大道的寬為多少？

圖9

此題圖形復(fù)雜，很多學(xué)生一看就不敢、也不愿意動(dòng)手做了，何況又是一道應(yīng)用題，學(xué)生更是望而卻步.因?yàn)榘凑請D9可以說是難以列出方程的，或者說列出的方程會(huì)很復(fù)雜.其實(shí)，很多難題恰恰有著很簡單的方法，只是你一時(shí)難以發(fā)現(xiàn)而已.這一點(diǎn)小技巧希望讀者能記住，遇到所謂難題時(shí)不妨想想這句話.例如，在此題中，我們可以通過把復(fù)雜圖形簡單化的方法來促使解答過程變得簡單，具體方法如下.

首先，將南北方向的三條大道上下對齊并平移到如圖10所示位置，再將圖10中右邊的△ABC翻折，并補(bǔ)到其左邊，即補(bǔ)成如圖11所示的形狀，最后將圖11中的中間的道路平移到下邊，如圖12所示.這樣就將一個(gè)復(fù)雜的圖形變成一個(gè)學(xué)生常見的矩形了.并且此時(shí)種植花卉部分的面積就為圖中陰影部分的面積，若設(shè)橫向大道的寬度為x米，該矩形的長為2x=160-2x（米），寬為（80-x）米.則可列出方程為（160-2x）（80-x）=（1-19%）×（160×80），從而求得橫向大道的寬為8米.

圖10

圖11

圖12

面對這樣復(fù)雜的“難題”，教師若能較清晰地展示上面的圖形的變化過程，這樣的教法會(huì)讓學(xué)生終生難忘.何樂而不為!

例5某學(xué)校開展“青少年科技創(chuàng)新比賽”活動(dòng)，“喜羊羊”代表隊(duì)設(shè)計(jì)了一個(gè)遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運(yùn)動(dòng)的模型.甲、乙兩車同時(shí)分別從A，B出發(fā)，沿軌道到達(dá)C處，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍.設(shè)t（分）后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d1，d2，且d1，d2與t的函數(shù)關(guān)系如圖13所示，試解決下列問題.

圖13

（1）求乙的速度v2；

（2）寫出d1與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若甲、乙兩遙控車之間的距離超過10米時(shí)信號不會(huì)產(chǎn)生相互干擾，求兩輛遙控車的信號不會(huì)產(chǎn)生相互干擾的時(shí)間范圍.

此題是某地的中考題，很多人做出的答案都是錯(cuò)誤的.此題實(shí)際上是一個(gè)常見的追擊問題，通過畫示意圖（線段圖）來求解非常簡單明了，從如圖14所示可以清楚地看到在同一時(shí)刻t時(shí)兩車的相距情況.

圖14

若設(shè)兩車在t分內(nèi)相距超過10米，我們可以用列一元一次不等式的方法來解答，即有(40t+60)-60t＞10，由此得到t＜2.5，所以當(dāng)0≤t＜2.5時(shí)，兩遙控車的信號不會(huì)產(chǎn)生相互干擾.

由些可見，一道很多教師不能解答的題，一道大多數(shù)人的解答都是錯(cuò)誤的題，其實(shí)并沒有那么難，只要我們不拘于常規(guī)、常法的束縛，不受思維定勢的影響，善于創(chuàng)新思維，就沒有解答不了的題，也就沒有不好講解的題.

最關(guān)鍵的是，一位教師若能認(rèn)真而深入地鉆研題目，并能按以上三法研究和進(jìn)行解題教學(xué)，教師就可以把題目講簡單，讓學(xué)生學(xué)得簡單，最終就能把教學(xué)做簡單.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］何訓(xùn)光.注意基本概念的運(yùn)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2016（1）：15.

［4］何訓(xùn)光，向雋.真是圖象惹的禍［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（11）：25-26.

［5］于彬.基于“兩人制暑期集中課例打磨”的實(shí)踐與思考：以“圓（第一課時(shí)）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（10）：12-14.

［6］陸祥雪.將學(xué)生的斷頭思路進(jìn)行下去［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（1/2）：108-109.

［7］劉海濤.新課程背景下概念課教學(xué)設(shè)計(jì)初探：“同類項(xiàng)”概念形成過程的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（4）：24-27.

2016—09—17

何訓(xùn)光（1963—），男，中學(xué)高級教師，秭歸縣拔尖人才，宜昌市學(xué)科帶頭人、宜昌名師，湖北省優(yōu)秀教研員，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.