袁太芳

(贛南師范大學(xué) 商學(xué)院，江西 贛州 341000)

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·經(jīng)濟(jì)學(xué)研究·

基于不同假設(shè)的修正內(nèi)含報酬率計算問題探討*

袁太芳

(贛南師范大學(xué) 商學(xué)院，江西 贛州 341000)

在給出MIRR定義、特征的基礎(chǔ)上，指出其存在的不足，分析了MIRR在基于“收支兩條線”“收支相抵”和“資金墊支最少”假設(shè)下的計算，并總結(jié)了不同假設(shè)下的規(guī)律，明確在NPV>0的情況下，“資金墊支最少”假設(shè)計算的MIRR最符合實際，和投資者的“用最少的資金獲得最大的收益”的目標(biāo)也最相符；在NPV<0的情況下，可以充分利用成本低于i或無息的債務(wù)資金作為杠桿，相應(yīng)地提高自有資金的MIRR，也使自有資金的NPV>0。

項目投資；現(xiàn)金凈流量；凈現(xiàn)值；內(nèi)含報酬率；修正內(nèi)含報酬率

企業(yè)在進(jìn)行投資決策時通常采用體現(xiàn)了貨幣時間價值的凈現(xiàn)值(NPV)和內(nèi)含報酬率(IRR)這兩個主要指標(biāo)。一般情況下，凈現(xiàn)值與內(nèi)含報酬率指標(biāo)能得出一致的決策結(jié)論，但是在對互斥方案和非常規(guī)方案項目的決策中有時會出現(xiàn)矛盾。在出現(xiàn)矛盾時，大多認(rèn)為使用凈現(xiàn)值是正確的選擇，原因在于凈現(xiàn)值反映了企業(yè)的財務(wù)目標(biāo)，但凈現(xiàn)值的缺點是不能真實反映項目的實際報酬率。

對內(nèi)含報酬率，不僅有計算過程復(fù)雜、可能出現(xiàn)多個解等不足，而且在利用內(nèi)含報酬率進(jìn)行投資決策時，對于NPV可行的項目，會過分高估收益；而在NPV不可行的項目中，又會過分低估收益。[1]特別是在非常規(guī)項目中，內(nèi)含報酬率會出現(xiàn)多個或沒有的情況，這時可能導(dǎo)致決策錯誤。NPV和企業(yè)的財務(wù)目標(biāo)一致，使用其作為投資項目決策指標(biāo)可以得出正確的決策，但是NPV不能反映實際的投資報酬率，為了知道實際的報酬率并且能做出正確的投資決策，由此提出修正的內(nèi)含報酬率，即MIRR。

一、MIRR現(xiàn)行計算模型及存在的問題

(一)現(xiàn)行計算模型

對于修正的內(nèi)含報酬率也有不同的修正方法，主要有兩種觀點：

第一種觀點：以基準(zhǔn)折現(xiàn)率為折現(xiàn)率，將所有的凈現(xiàn)金流出折成現(xiàn)值(初始投入)，將所有的凈現(xiàn)金流入折成終值(最終收益值)，使最終收益值折現(xiàn)后與初始投入值相等時的折現(xiàn)率，即為修正內(nèi)含報酬率。[2]

第二種觀點：非常規(guī)項目中發(fā)生的現(xiàn)金流出是企業(yè)為取得投資收益而付出的成本代價，所以應(yīng)該按資金成本率折現(xiàn)。[3]

不論哪種觀點，其特征都是以投資必要報酬率作為現(xiàn)金流入的再投資率。但第一種觀點更符合實際，不會過分高估項目的內(nèi)含報酬率。

本文主要以第一種觀點來說明MIRR，在這種情況下，不論是獨立投資項目、互斥項目還是非常規(guī)項目，都折成期初和期末兩部分來計算，這樣就可以避免NPV與IRR的矛盾，也不會出現(xiàn)IRR多個或沒有的情況。

一般來說，內(nèi)含報酬率要比修正內(nèi)含報酬率(MIRR)大，而更小的MIRR，會使項目評估更接近實際。[4]

計算公式[5]為(略有變形，但本質(zhì)不變)：

[CIF0(1+k)n-0+CIF1(1+k)n-1+…+ CIFn(1+k)n-n](1+MIRR)-n+[COF0(1+k)-0+COF1(1+k)-1+…+ COFn(1+k)-n]=0

COF為現(xiàn)金流出，CIF為現(xiàn)金流入，K為資本成本率，n為投資受益期。此處為計算的一致性，定義COF小于0,CIF大于0。

在應(yīng)用MIRR進(jìn)行投資決策時，關(guān)鍵是如何區(qū)分現(xiàn)金流出、現(xiàn)金流入。一般情況下，假設(shè)：(1)項目建設(shè)期主要為現(xiàn)金流出，均在建設(shè)期的每期期初發(fā)生；(2)墊支流動資金在項目生產(chǎn)經(jīng)營期的期初投入(視同現(xiàn)金流出)，期末收回(視同現(xiàn)金流入)；(3)經(jīng)營期的營業(yè)現(xiàn)金流量發(fā)生于每期期末；(4)終結(jié)現(xiàn)金流量在項目的終結(jié)時點發(fā)生，一般為現(xiàn)金流入。

(二)存在的問題

通過MIRR定義的計算方程可知，MIRR可以利用開n次方求出，計算過程更加簡單，也不可能出現(xiàn)多解(要求MIRR>0)的情況。

雖然經(jīng)營期的營業(yè)現(xiàn)金流量假設(shè)發(fā)生于每期期末，但經(jīng)營期的營業(yè)現(xiàn)金流量有經(jīng)營現(xiàn)金流入量、經(jīng)營現(xiàn)金流出量計算而得，這就不得不提出一個問題：對于經(jīng)營期的經(jīng)營現(xiàn)金流量，從計算經(jīng)營現(xiàn)金凈流量的各組成項的視角，是按本期的現(xiàn)金凈流量(NCF)的正負(fù)號來確定列入初始投入(NCF<0)或最終收益值(NCF>0)，還是先將本期的現(xiàn)金凈流量(NCF=CIF+COF，一般情況下，COF<0，下同)分成兩部分經(jīng)營現(xiàn)金流入量、經(jīng)營現(xiàn)金流出量，再將經(jīng)營現(xiàn)金流出量列入初始投入，經(jīng)營現(xiàn)金流入量列入最終收益值？在現(xiàn)行的計算模型中沒有予于確定。

事實上，采用何種觀點，主要是基于不同的假設(shè)，一種是“收支兩條線”假設(shè)，另一種是“收支相抵”假設(shè)。基于投資者的視角，投資者總是希望墊支盡可能少的資金，因而產(chǎn)生“資金墊支最少”假設(shè)。無論何種假設(shè)，現(xiàn)金凈流量分成經(jīng)營現(xiàn)金流入量、經(jīng)營現(xiàn)金流出量的結(jié)果都應(yīng)該是唯一的。

為更好地分析，引入NPV>0、NPV<0兩種情況下的案例。

引例1(NPV>0情況)：假設(shè)必要報酬率為10%，其他資料如表1所示。

表1 項目的現(xiàn)金凈流量 單位：萬元

該項目為非常規(guī)項目，IRR可能不適用，經(jīng)過計算，其凈現(xiàn)值為NPV=1 442.4萬元，NPV>0。

引例2(NPV<0情況)：假設(shè)必要報酬率為10%，其他資料如表2所示。

表2 項目的現(xiàn)金凈流量 單位：萬元

該項目也為非常規(guī)項目，IRR可能不適用，經(jīng)過計算，其凈現(xiàn)值為NPV=-203.7萬元，NPV<0。

那么，針對上述案例，基于“收支兩條線”假設(shè)、“收支相抵”假設(shè)和“資金墊支最少”假設(shè)下，MIRR如何計算？其計算結(jié)果有何規(guī)律，產(chǎn)生此規(guī)律的原因，可以得出何結(jié)論？

二、“收支兩條線”假設(shè)下的MIRR計算

“收支兩條線”假設(shè)是指在經(jīng)營期末的現(xiàn)金結(jié)算不得現(xiàn)金坐支，收支分離，現(xiàn)金收入、現(xiàn)金支出按兩條線分別結(jié)算，即在現(xiàn)金凈流量NCFi=CIFi+COFi計算中，只考慮CIF、COF，不考慮NCF。CIF主要指現(xiàn)金銷售收入、其他現(xiàn)金收入和終結(jié)現(xiàn)金流入等，COF主要指初始現(xiàn)金流出、經(jīng)營現(xiàn)金支出、相關(guān)項目的企業(yè)所得稅等。“收支兩條線”假設(shè)的核心是當(dāng)期的現(xiàn)金流入既不得用于當(dāng)期的現(xiàn)金支出，也不得用于后續(xù)各期的現(xiàn)金支出，只能由投資者從外部投入，各期的現(xiàn)金流入也只能由投資者收回。此假設(shè)適用于現(xiàn)金收入必須上交集團(tuán)總部，現(xiàn)金支出必須通過總部審批的財務(wù)集中核算項目。

收支兩條線的情況，即NCFi=CIFi+COFi不變，但COFi*CIFi≤0(i=0,1,…,n)。COF、CIF的確定方法是：先確定CIF，為各期收付實現(xiàn)制下確定的預(yù)計收入；再根據(jù)現(xiàn)金流量計算方法確定的NCF，利用NCF=CIF+COF推算出COF。

在“收支兩條線”假設(shè)下，要求企業(yè)對項目墊支資金為：各期COF的絕對值之和。

如引例1，在“收支兩條線”假設(shè)下，要求企業(yè)對項目墊支資金為：

1 920+600+4 000+500+1 250+1 000=9 270萬元。

表1中給出了“收支兩條線”假設(shè)下COF、CIF的數(shù)據(jù)，根據(jù)MIRR的定義，可得MIRR的計算方程(項目要求的必要報酬率為10%)：

[3 000(1+10%)4+950(1+10%)3+1 500(1+10%)2+3 750(1+10%)1+3 000](1+MIRR)-5-[1 920+600(1+10%)-1+4 000(1+10%)-2+500(1+10%)-3+1250(1+10%)-4+1 000(1+10%)-5]=0

利用內(nèi)插值法，可求得MIRR=13.88%。

如引例2，在“收支兩條線”假設(shè)下，要求企業(yè)對項目墊支資金為：

1 920+600+4 000+500+800+1 000=8 820萬元。

表2中給出了“收支兩條線”假設(shè)下COF、CIF的數(shù)據(jù)，根據(jù)MIRR的定義，可得MIRR的計算方程(項目要求的必要報酬率為10%)：

[3 000(1+10%)4+950(1+10%)3+1 500(1+10%)2+1 800(1+10%)1+2 000](1+MIRR)-5-[1 920+600(1+10%)-1+4 000(1+10%)-2+500(1+10%)-3+800(1+10%)-4+1 000(1+10%)-5]=0

利用內(nèi)插值法，可求得MIRR=9.38%。

三、“收支相抵”假設(shè)下的MIRR計算

“收支相抵”假設(shè)是指在經(jīng)營期末的現(xiàn)金結(jié)算以現(xiàn)金收入減去現(xiàn)金支出的差額結(jié)算，即在現(xiàn)金凈流量NCFi=CIFi+COFi(COFi<0)計算中，只考慮NCF，不考慮CIF、COF。若NCFi>0，則將NCFi視同CIFi；若NCFi<0，則將NCFi視同COFi。適用于現(xiàn)金收入不需上交集團(tuán)總部的獨立核算項目公司，此類項目公司一般是一個利潤中心，而非投資中心。

收支相抵的情況，即經(jīng)營期的營業(yè)現(xiàn)金凈流量發(fā)生于每期期末，若其凈流量為正數(shù)則等價于現(xiàn)金流入，若其凈流量為負(fù)數(shù)則等價于現(xiàn)金流出；為簡化起見，可以“同一項目中的當(dāng)期(一般以年為期間)現(xiàn)金流入優(yōu)先用于當(dāng)期的現(xiàn)金流出，但不得用于后期支出”為假設(shè)，則推出各期現(xiàn)金凈流量的基礎(chǔ)上，正數(shù)為現(xiàn)金流入，負(fù)數(shù)為現(xiàn)金流出, COFi和CIFi至少有一個等于零，即COFi*CIFi=0(i=0,1,…,n)。

在“收支相抵”假設(shè)下，要求企業(yè)對項目墊支資金為：各期現(xiàn)金流量為負(fù)數(shù)的代數(shù)和的絕對值。不難看出，“收支相抵”假設(shè)下要求企業(yè)墊支資金小于“收支兩條線”假設(shè)下要求企業(yè)墊支資金。 如引例1中，要求企業(yè)在項目中墊支的資金為1 920+3 050=4 970萬元。

對案例的現(xiàn)金流量按“收支相抵”假設(shè)進(jìn)行分析，可將其分成COF、CIF兩部分，結(jié)果如表3所示。

表3 “收支相抵”假設(shè)的現(xiàn)金流量 單位：萬元

由于項目要求的必要報酬率為10%，則按MIRR的計算定義，可列出計算方程：

[2 400(1+10%)4+1 000(1+10%)2+2 500(1+10%)1+

2 000](1+MIRR)-5-[1 920+3 050(1+10%)-2]=0

利用內(nèi)插值法，可求得MIRR=16.38%。

如引例2中，要求企業(yè)在項目中墊支的資金為1 920+3 050=4 970萬元。

對案例的現(xiàn)金流量按“收支相抵”假設(shè)進(jìn)行分析，可將其分成COF、CIF兩部分，結(jié)果如表4所示。

表4 “收支相抵”假設(shè)的現(xiàn)金流量 單位：萬元

由于項目要求的必要報酬率為10%，則按MIRR的計算定義，可列出計算方程：

[2 400(1+10%)4+1 000(1+10%)2+1 000(1+10%)1+1 000](1+MIRR)-5-[1 920+3 050(1+10%)-2]=0

利用內(nèi)插值法，可求得MIRR=8.98%。

四、“資金墊支最少”假設(shè)下的MIRR計算

“資金墊支最少”假設(shè)即“投資者總是希望墊支盡可能少的資金”假設(shè)，是指投資者對同一個投資項目，當(dāng)期(一般以年為期間)現(xiàn)金流入在優(yōu)先用于當(dāng)期現(xiàn)金流出的基礎(chǔ)上，若有剩余，則順序用于下期或后續(xù)各期的現(xiàn)金凈流出(此期的綜合現(xiàn)金凈流量計算出來為負(fù)數(shù)，就稱為現(xiàn)金凈流出)。注意，當(dāng)期的現(xiàn)金流出優(yōu)先使用當(dāng)期的現(xiàn)金流入，不夠才會動用前期剩余的資金。此方法適用于獨立封閉運行的投資項目公司，此類項目公司一般是一個投資中心，因此和投資者的決策目標(biāo)相一致。

在“資金墊支最少”假設(shè)下，要求企業(yè)對項目墊支資金的確定思路為：對順序各綜合現(xiàn)金流量，當(dāng)NCFm<0(m=0,1,2,…)時，計算Σm=NCF0+NCF1+…+NCFm，所有的Σm(均小于0)計算出來后，取其中的最小值，此數(shù)的絕對值就是該項目需要墊支的最小資金量，也可稱為項目累計最小投資額，此值對應(yīng)的m可稱為項目累計最短投資期。

按此思路，項目的各期綜合現(xiàn)金流量分成唯一的現(xiàn)金流出、現(xiàn)金流入。方法為：在項目累計最短投資期內(nèi)，在第一個NCFi>0(NCF符號由負(fù)變正)之前的NCF(現(xiàn)金流出期間)全部作為COF；項目累計最短投資期內(nèi)的所有NCF>0的NCF均作為CIF；在項目累計最短投資期外的所有NCF均列入CIF。關(guān)鍵是對既在項目經(jīng)營期間又在項目累計最短投資期的NCF<0必須分解成COF、CIF兩部分，分解的原則是“現(xiàn)金流出優(yōu)先用前屬各期現(xiàn)金流入支付”， 累計的現(xiàn)金流出未達(dá)到前屬現(xiàn)金流入期間的累計數(shù)之前均列入CIF，一旦超出，則超出部分列入COF。綜合所有的分解結(jié)果，在不考慮時間價值的情況下，分解出的所有各期COF之和恰好等于項目累計最小投資額。

如表1，由于NCF0、NCF2小于0，則計算Σ0=-1 920萬元，Σ2=-1 920+2 400-3 050=-2 570(萬元)。最小值為-2 570萬元，因此，項目累計最小投資額為2 570萬元，項目累計最短投資期為2年。

對項目累計最短投資期為2年內(nèi)的NCF0=-1 920萬元列入COF，NCF1=2 400萬元列入CIF，對項目累計最短投資期外的NCF3=1 000萬元、NCF4=2 500萬元、NCF5=2 000萬元均列入CIF。關(guān)鍵是對NCF2=-3 050萬元，先用NCF1=2 400萬元支付，超出的650萬元作為投資者的初始投入列入COF。計算結(jié)果見表5。通過表5，不難看出，COF之和為-1 920-650=-2 570萬元，與項目累計最小投資額2 570萬元相等。

表5 “資金墊支最少”假設(shè) 單位：萬元

根據(jù)表5分析出的“資金墊支最少”假設(shè)下COF、CIF的結(jié)果，按照MIRR的定義，可得MIRR的計算方程(項目要求的必要報酬率為10%)： [2 400(1+10%)4-2 400(1+10%)3+1 000(1+10%)2+2 500(1+10%)1+2 000](1+MIRR)-5-[1 920+650(1+10%)-2]=0

利用內(nèi)插值法，可求得MIRR=20.66%。

同理，可分析出引例2在“資金墊支最少”假設(shè)下COF、CIF的結(jié)果，如表6所示。

表6 “資金墊支最少”假設(shè) 單位：萬元 單位：萬元

項目累計最小投資額為1920+650=2570萬元。按照MIRR的定義，可得MIRR的計算方程(項目要求的必要報酬率為10%)：

[2 400(1+10%)4-2 400(1+10%)3+1 000(1+10%)2+1 000(1+10%)1+1 000](1+MIRR)-5-[1 920+650(1+10%)-2]=0

利用內(nèi)插值法，可求得MIRR=8.1%。

五、不同計算假設(shè)下的規(guī)律分析

對上述引例1(NPV>0)、引例2(NPV<0)就分別“收支兩條線”“收支相抵”和“資金墊支最少”三種假設(shè)下的MIRR計算結(jié)果如表7所示：

表7 不同假設(shè)下的MIRR指標(biāo)對比

通過上述的案例分析可以發(fā)現(xiàn)：

(一)對同一方案，無論基于哪一種假設(shè)，在不考慮時間價值的情況下，各期的現(xiàn)金流量總和都相同。如引例1均為2 930萬元，引例2均為430萬元。

(二)不同假設(shè)下，企業(yè)墊支的資金總額不同。就“收支兩條線”“收支相抵”和“資金墊支最少”假設(shè)依次為9 270(或8 820)萬元、4 970萬元、2 570萬元，從常規(guī)投資原則來看，“資金墊支最少”假設(shè)比較符合理性的投資規(guī)則。

(三)在NPV>0的情況下，“資金墊支最少”假設(shè)計算的MIRR最大，“收支兩條線”假設(shè)計算的MIRR最小，均大于計算NPV時的貼現(xiàn)率，其和投資者的“用最少的資金獲得最大的收益”的目標(biāo)是一致的。如引例1中，基于“資金墊支最少”假設(shè)下計算的MIRR=20.66%，大于“收支相抵”假設(shè)下的16.38%，也大于“收支兩條線”假設(shè)下的13.88%。

(四)在NPV<0的情況下，“收支兩條線”假設(shè)計算的MIRR最大，“資金墊支最少”假設(shè)計算的MIRR最小，均小于計算NPV時的貼現(xiàn)率。如引例2中，基于“收支兩條線”假設(shè)下計算的MIRR=9.38%，大于“收支相抵”假設(shè)下的8.98%，也大于“資金墊支最少”假設(shè)下的8.10%。

引例1、2計算的MIRR不相等，一方面與不同的假設(shè)有關(guān)，另一方面與計算NPV的貼現(xiàn)率(即投資必要報酬率，下同)也有關(guān)。

以上規(guī)律僅是基于一個特例所得的結(jié)論，對一般的情況是否成立呢？為說明此問題，不妨先立足于“資金墊支最少”假設(shè)，再推到“收支相抵”及“收支兩條線”假設(shè)。下面通過一般的推導(dǎo)來證明上述規(guī)律的普遍性。

已知a,b,M,N均為常數(shù)，且a>0，b>0，M>N≥0，n為正整數(shù)，i為折現(xiàn)率，假設(shè)對應(yīng)方程：

[a+N(1+i)n](1+x1)-n=b+N的解為x1，

[a+M(1+i)n](1+x2)-n=b+M的解為x2，

且有a (1+x0)-n=b的解x0>i，則有x1>x2。

證明：x1>x2等價于 (1+x1)n>(1+x2)n等價于 [a+N(1+i)n]/(b+N)>[a+M(1+i)n]/(b+M) 等價于 a(M-N)>b(M-N)(1+i)n

即：a/b>(1+i)n

即：(1+x0)n>(1+i)n

等價于x0>i

說明：此結(jié)論要在財務(wù)可行性的基礎(chǔ)上才成立。

同理可證：上述命題中，在其他條件不變的情況下，若x0

基于等式：[a+M(1+i)n](1+x)-n=b+M，若M→+∞，則x→i?？梢姡?/p>

1.NPV>0。在x0>i，項目按資金成本i墊支的資金M越多，x越嚴(yán)格單調(diào)遞減趨向于i；充分利用項目自身的成本較低的為i的資金，為項目的盈余收益做出最大的貢獻(xiàn)，體現(xiàn)了財務(wù)的正杠桿作用。在引例1中，a=[2 400(1+10%)4-2 400(1+10%)3+1 000(1+10%)2+2 500(1+10%)1+2 000]，b=[1 920+650(1+10%)-2]， N=2 400(1+10%)-2，M=[600(1+10%)-1+3 350(1+10%)-2+500(1+10%)-3+1 250(1+10%)-4+1 000(1+10%)-5]。

2.NPV<0。在x0

3.若N<0，及等式[a+N(1+k)n](1+x)-n=b+N中的與N或N(1+k)n有關(guān)的折現(xiàn)率k小于a,b計算的折現(xiàn)率i,則可使x>x0。也就是說，企業(yè)可充分利用借入資金和自有資金的籌資組合，用成本低于i或無息的債務(wù)資金，使形成自有資金的a，b基本同步地小一些，從而提高自有資金的MIRR，相應(yīng)地也使自有資金的NPV>0。

六、結(jié)論及其建議

基于上述分析，可得以下結(jié)論：

(一)在計算MIRR時，不同假設(shè)適用于不同的范圍。

(二)同一投資方案，在同一貼現(xiàn)率情況下，不同假設(shè)的NPV均相等。

(三)在NPV>0的情況下，“資金墊支最少”假設(shè)計算的MIRR最符合實際，因其和投資者的“用最少的資金獲得最大的收益”的目標(biāo)是一致的。

(四)在NPV<0的情況下，可以利用不同假設(shè)的規(guī)律分析結(jié)論，充分利用成本低于i或無息的債務(wù)資金，在保持各年的現(xiàn)金流量之和相等或稍小一些的情況下，以便提高項目的MIRR，相應(yīng)地也使自有資金的NPV>0。

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責(zé)任編輯：侯偉浩

Analysis of the MIRR Calculations under Different Assumptions

YUAN Taifang

(SchoolofBusiness,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

Based on the definition and the feature of MIRR, this paper points out the insufficient parts of it, further more, it analysis the MIRR base calculation under three assumptions: the "revenue and expenditure separation line" assumption、the "break even" assumption and the "cash advanced" assumption. From this research, it is found that: when NPV>0, the "cash advanced" assumption achieves the same goal with the investors' willing, who want to maximize the income with the least outcome; when NPV<0, the interest free liability can be used as financial leverage to raise the MIRR of the own money, and to lead the NPV of the own money above zero.

2015-05-26

10.13698/j.cnki.cn36-1346/c.2016.05.016

袁太芳(1968-)，男，江西贛州人，贛南師范大學(xué)商學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：財務(wù)管理、會計。

http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20161008.0930.014.html

F23

A

1004-8332(2016)05-0085-05