寧夏彭陽(yáng)縣第三中學(xué) (756500)

杏望春

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函數(shù)中含參數(shù)零點(diǎn)問題的求解策略

寧夏彭陽(yáng)縣第三中學(xué) (756500)

杏望春

函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)單元中的重要內(nèi)容，它常常與方程、不等式等知識(shí)交匯，涉及到的題型大多是求參數(shù)取值范圍問題，給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來一定的困難.為此，我們結(jié)合具體實(shí)例給出與零點(diǎn)相關(guān)問題的以下幾種常見的求解策略，以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

1.把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題

利用函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)?方程f(x)=0的根.把求函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為求方程根的問題，通過方程的根所滿足的條件建立不等式來解決問題.

例1 若二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+4在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評(píng)析：若函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的根易求得，我們可以通過解方程求出根，然后根據(jù)方程根所滿足的條件建立不等式組，從而求出參數(shù)的取值范圍，是解決這類問題的常用方法.

2.把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題

利用函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn).把函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，再利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.

解：f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x-a)(x+1),由f′(x)=0得x=a，x=-1.列表

x(-∞，-1)-1(-1，a)a(a，+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗極大↘極小↗

圖1

評(píng)析：利用函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)做出函數(shù)的圖像，借助于圖像分析零點(diǎn)在所給定區(qū)間上時(shí)，圖像所滿足的條件建立不等式組求解.通過數(shù)形結(jié)合的方法輕松解決.

3.把零點(diǎn)問題分離變量后轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題

將函數(shù)零點(diǎn)問題先轉(zhuǎn)化為方程根的問題,然后進(jìn)行變量分離，將參數(shù)分離出來轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題.這種方法思路簡(jiǎn)潔，學(xué)生容易想到.

例3 已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

4.把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題

將函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題通過等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，再借助圖像找出所滿足的

條件，建立不等式或不等式組是解決與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)問題的重要策略.

圖2

解：要使h(x)=g(x)-f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).由函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)y=g(x)的圖像如圖2所示.

因?yàn)閒(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t+e2+1，所以函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸為x=e，最大值為t+e2+1.只有當(dāng)t+e2+1≥2e，即t≥-e2+2e-1時(shí)，函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).故t的取值范圍為[-e2+2e-1,+∞).