安徽省懷寧中學(xué) (246121)
鮑翊虎
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利用定積分證明不等式三例
安徽省懷寧中學(xué) (246121)
鮑翊虎
新課程改革中,高中數(shù)學(xué)以選修方式教學(xué)了定積分,本文選用三道不等式證明類型的試題,借助定積分加以解決,旨在提升學(xué)生應(yīng)用知識的能力,從而深化對定積分的理解!
(1)用a表示出b,c;
(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
圖1
根據(jù)①和②可知,不等式對任何的n∈N*都成立.
點評:在本題的教學(xué)中,利用構(gòu)造函數(shù)證明(3)時,技巧性太強(qiáng),雖然體現(xiàn)了試題的上下聯(lián)系,但是給學(xué)生的感受只是驚嘆;由式子結(jié)構(gòu)特點而聯(lián)想到定積分,這激發(fā)了全班同學(xué)的探究熱情,可見知識的交匯對學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)是多么受歡迎!
例2 (2012天津理20)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.
(1)求a的值;
(2)若對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實數(shù)k的最小值;
圖2
(1)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
圖3
點評:例2和例3主要考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識進(jìn)行推理論證、運算求解的能力,參考答案的解答過程流暢且優(yōu)美;但是,試題中代數(shù)式的和式結(jié)構(gòu)若被面積化,則定積分擁有了彰顯的舞臺,通過計算替代邏輯推理,降低了試題的難度!