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        利用定積分證明不等式三例

        2016-12-17 03:18:12安徽省懷寧中學246121
        中學數(shù)學研究(江西) 2016年12期
        關鍵詞:懷寧安徽省試題

        安徽省懷寧中學 (246121)

        鮑翊虎

        ?

        利用定積分證明不等式三例

        安徽省懷寧中學 (246121)

        鮑翊虎

        新課程改革中,高中數(shù)學以選修方式教學了定積分,本文選用三道不等式證明類型的試題,借助定積分加以解決,旨在提升學生應用知識的能力,從而深化對定積分的理解!

        一、利用定積分實現(xiàn)不等式的數(shù)形結合

        (1)用a表示出b,c;

        (2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

        圖1

        根據(jù)①和②可知,不等式對任何的n∈N*都成立.

        點評:在本題的教學中,利用構造函數(shù)證明(3)時,技巧性太強,雖然體現(xiàn)了試題的上下聯(lián)系,但是給學生的感受只是驚嘆;由式子結構特點而聯(lián)想到定積分,這激發(fā)了全班同學的探究熱情,可見知識的交匯對學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)是多么受歡迎!

        二、為累和型不等式的證明提供一種新方法

        例2 (2012天津理20)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.

        (1)求a的值;

        (2)若對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實數(shù)k的最小值;

        圖2

        (1)設函數(shù)F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的單調區(qū)間與極值;

        圖3

        點評:例2和例3主要考查學生綜合運用所學知識進行推理論證、運算求解的能力,參考答案的解答過程流暢且優(yōu)美;但是,試題中代數(shù)式的和式結構若被面積化,則定積分擁有了彰顯的舞臺,通過計算替代邏輯推理,降低了試題的難度!

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