福建省廈門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (361116)

黃耿躍

福建省泉州第一中學(xué) (362000)

湯向明

?

一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的講評(píng)*

福建省廈門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (361116)

黃耿躍

福建省泉州第一中學(xué) (362000)

湯向明

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，對(duì)學(xué)生思維火花的敏感性來(lái)源于教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師想引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，其前提是他自己知道怎么想？教師想讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，首先他自己要成為一個(gè)發(fā)現(xiàn)者？基于這樣的理解，筆者認(rèn)為要上好高中數(shù)學(xué)試卷壓軸題的講評(píng)，不僅要求教師具備較高的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，還要求教師在課前充分備好引導(dǎo)學(xué)生思考與發(fā)現(xiàn)的素材？本文以2016年廈門(mén)市高二年期末考理科第22題的第(Ⅱ)問(wèn)為例，就如何進(jìn)行試題講評(píng)，談?wù)勛约旱膬牲c(diǎn)做法：一是利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題，讓學(xué)生看清問(wèn)題的本質(zhì)；二是對(duì)試題的結(jié)論進(jìn)行推廣，使結(jié)論更具一般性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的遷移能力.

1.試題呈現(xiàn)

問(wèn)題1 已知函數(shù)f(x)=lnx-cx2(c∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2時(shí)，求證：x1x2>e.

評(píng)注：本題是2016年廈門(mén)市高二下學(xué)期期末考理科第22題，試題的條件與問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓考生覺(jué)得很親近，語(yǔ)言表述簡(jiǎn)潔，易于閱讀，與近幾年全國(guó)卷的特點(diǎn)極度吻合.但真正做起來(lái)，卻是數(shù)學(xué)味很濃，特別是第(2)問(wèn)蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)考生的綜合能力要求比較高，突出利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的考查.

2.舊題再現(xiàn)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“善于‘退’，足夠地‘退’，退到最原始而不失去重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅．”這里所謂的“退”，當(dāng)然不是逃跑，而是養(yǎng)精蓄銳、蓄勢(shì)待發(fā)，是在為“進(jìn)”尋求途徑，即“以退為進(jìn)”．它的實(shí)質(zhì)是借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生問(wèn)題熟悉化，以便看清“廬山真面目”．

(1)當(dāng)m=-2時(shí)，求函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn)；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1e2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

3.問(wèn)題轉(zhuǎn)化

問(wèn)題2第(2)問(wèn)的本質(zhì)為：函數(shù)f(x)=lnx-mx(m∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，求證：x1x2>e2(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

評(píng)注：數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是把一個(gè)未解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，這道題目采用這樣的講解方式，恰好是對(duì)數(shù)學(xué)解題本質(zhì)的一個(gè)很好的詮釋?zhuān)李}目的求解過(guò)程已無(wú)需老師再重新板書(shū)了，只要再次指出問(wèn)題的本質(zhì)是極值點(diǎn)的偏移，剩下的事情可交由學(xué)生自主完成.這樣的講評(píng)方式既關(guān)注到老師的教，也關(guān)注到學(xué)生的學(xué)，對(duì)提高試卷講評(píng)課的效率是很有幫助的.

4.結(jié)論推廣

根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理.通過(guò)問(wèn)題1、2，可推理得到如下命題：

命題1 若函數(shù)f(x)=nlnx-mx(n>0,m∈R)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，且x1e2.

評(píng)注：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：歸納推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).在本道試題的講評(píng)中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論，有利于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，提高解題能力.

5.類(lèi)題鏈接

變式教學(xué)是指教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，變換問(wèn)題的條件和結(jié)論，變換問(wèn)題的形式，而不變換問(wèn)題的本質(zhì)的一種教學(xué)形式.

問(wèn)題3 (2016年全國(guó)Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

解：(1)a>0;(略)

(2)不妨設(shè)x1f(2-x2).令u(x)=f(x)-f(2-x)(x>1)，則u′(x)=f′(x)+f′(2-x)=(x-1)(ex+2a),∵u′(x)>0在(1,+∞)恒成立，且u(1)=f(1)-f(1)=0,∴u(x)>0在(1,+∞)恒成立，又x2∈(1,+∞)，∴f(x2)>f(2-x2)，即x1+x2<2.

評(píng)注：對(duì)函數(shù)u(x)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，若先把解析式寫(xiě)出來(lái)，再進(jìn)行求導(dǎo)，將會(huì)使運(yùn)算量變得較大，不易操作，而是應(yīng)直接根據(jù)抽象函數(shù)的求導(dǎo)法則，減小運(yùn)算量.通過(guò)考前的作業(yè)(問(wèn)題1)，考試題目(問(wèn)題2)的教學(xué)，再拋出2016年全國(guó)1卷的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，有利于學(xué)生進(jìn)一步鞏固極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解法，有助于學(xué)生樹(shù)立求解壓軸題的信心.

6.教學(xué)反思

試卷講評(píng)課中對(duì)壓軸題講評(píng)存在的教學(xué)現(xiàn)狀有：(1)壓軸題是學(xué)生自己做出來(lái)而不是老師講出來(lái)的，所以講也是白講；(2)把答案印給學(xué)生，優(yōu)秀學(xué)生自己對(duì)照答案進(jìn)行研究，中等或中等以下的學(xué)生盡力而行；(3)老師講評(píng)時(shí)的思路，經(jīng)常被參考答案牽著走；(4)教師舍不得花時(shí)間在壓軸題的講解上，導(dǎo)致對(duì)壓軸題的研究不深入.對(duì)這些教學(xué)現(xiàn)狀，相信很多老師在教學(xué)過(guò)程中是深有體會(huì)，筆者也不例外.但筆者深知，若要提高自身的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，深入研究壓軸題是必不可少的，所以在教學(xué)過(guò)程中碰到數(shù)學(xué)壓軸題時(shí)，筆者一般都會(huì)先思考求解，而不急于看參考答案，同時(shí)把做過(guò)的相同類(lèi)型的壓軸題整理在一起，所以才有這篇與試卷參考答案不同解法的文章.(限于篇幅，原卷參考答案無(wú)法附上)