福建省廈門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (361116)
黃耿躍
福建省泉州第一中學(xué) (362000)
湯向明
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一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的講評(píng)*
福建省廈門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (361116)
黃耿躍
福建省泉州第一中學(xué) (362000)
湯向明
數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),對(duì)學(xué)生思維火花的敏感性來(lái)源于教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師想引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,其前提是他自己知道怎么想?教師想讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn),首先他自己要成為一個(gè)發(fā)現(xiàn)者?基于這樣的理解,筆者認(rèn)為要上好高中數(shù)學(xué)試卷壓軸題的講評(píng),不僅要求教師具備較高的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng),還要求教師在課前充分備好引導(dǎo)學(xué)生思考與發(fā)現(xiàn)的素材?本文以2016年廈門(mén)市高二年期末考理科第22題的第(Ⅱ)問(wèn)為例,就如何進(jìn)行試題講評(píng),談?wù)勛约旱膬牲c(diǎn)做法:一是利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題,讓學(xué)生看清問(wèn)題的本質(zhì);二是對(duì)試題的結(jié)論進(jìn)行推廣,使結(jié)論更具一般性,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的遷移能力.
1.試題呈現(xiàn)
問(wèn)題1 已知函數(shù)f(x)=lnx-cx2(c∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2時(shí),求證:x1x2>e.
評(píng)注:本題是2016年廈門(mén)市高二下學(xué)期期末考理科第22題,試題的條件與問(wèn)題的設(shè)計(jì),讓考生覺(jué)得很親近,語(yǔ)言表述簡(jiǎn)潔,易于閱讀,與近幾年全國(guó)卷的特點(diǎn)極度吻合.但真正做起來(lái),卻是數(shù)學(xué)味很濃,特別是第(2)問(wèn)蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)考生的綜合能力要求比較高,突出利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的考查.
2.舊題再現(xiàn)
著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò):“善于‘退’,足夠地‘退’,退到最原始而不失去重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”這里所謂的“退”,當(dāng)然不是逃跑,而是養(yǎng)精蓄銳、蓄勢(shì)待發(fā),是在為“進(jìn)”尋求途徑,即“以退為進(jìn)”.它的實(shí)質(zhì)是借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,陌生問(wèn)題熟悉化,以便看清“廬山真面目”.
(1)當(dāng)m=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn);
(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1
3.問(wèn)題轉(zhuǎn)化
問(wèn)題2第(2)問(wèn)的本質(zhì)為:函數(shù)f(x)=lnx-mx(m∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,求證:x1x2>e2(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
評(píng)注:數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是把一個(gè)未解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題,這道題目采用這樣的講解方式,恰好是對(duì)數(shù)學(xué)解題本質(zhì)的一個(gè)很好的詮釋?zhuān)李}目的求解過(guò)程已無(wú)需老師再重新板書(shū)了,只要再次指出問(wèn)題的本質(zhì)是極值點(diǎn)的偏移,剩下的事情可交由學(xué)生自主完成.這樣的講評(píng)方式既關(guān)注到老師的教,也關(guān)注到學(xué)生的學(xué),對(duì)提高試卷講評(píng)課的效率是很有幫助的.
4.結(jié)論推廣
根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理.通過(guò)問(wèn)題1、2,可推理得到如下命題:
命題1 若函數(shù)f(x)=nlnx-mx(n>0,m∈R)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1
評(píng)注:《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:歸納推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,探索和提供思路的作用,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).在本道試題的講評(píng)中,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,有利于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì),提高解題能力.
5.類(lèi)題鏈接
變式教學(xué)是指教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí),變換問(wèn)題的條件和結(jié)論,變換問(wèn)題的形式,而不變換問(wèn)題的本質(zhì)的一種教學(xué)形式.
問(wèn)題3 (2016年全國(guó)Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求a的取值范圍;
(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.
解:(1)a>0;(略)
(2)不妨設(shè)x1
評(píng)注:對(duì)函數(shù)u(x)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí),若先把解析式寫(xiě)出來(lái),再進(jìn)行求導(dǎo),將會(huì)使運(yùn)算量變得較大,不易操作,而是應(yīng)直接根據(jù)抽象函數(shù)的求導(dǎo)法則,減小運(yùn)算量.通過(guò)考前的作業(yè)(問(wèn)題1),考試題目(問(wèn)題2)的教學(xué),再拋出2016年全國(guó)1卷的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題,有利于學(xué)生進(jìn)一步鞏固極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解法,有助于學(xué)生樹(shù)立求解壓軸題的信心.
6.教學(xué)反思
試卷講評(píng)課中對(duì)壓軸題講評(píng)存在的教學(xué)現(xiàn)狀有:(1)壓軸題是學(xué)生自己做出來(lái)而不是老師講出來(lái)的,所以講也是白講;(2)把答案印給學(xué)生,優(yōu)秀學(xué)生自己對(duì)照答案進(jìn)行研究,中等或中等以下的學(xué)生盡力而行;(3)老師講評(píng)時(shí)的思路,經(jīng)常被參考答案牽著走;(4)教師舍不得花時(shí)間在壓軸題的講解上,導(dǎo)致對(duì)壓軸題的研究不深入.對(duì)這些教學(xué)現(xiàn)狀,相信很多老師在教學(xué)過(guò)程中是深有體會(huì),筆者也不例外.但筆者深知,若要提高自身的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng),深入研究壓軸題是必不可少的,所以在教學(xué)過(guò)程中碰到數(shù)學(xué)壓軸題時(shí),筆者一般都會(huì)先思考求解,而不急于看參考答案,同時(shí)把做過(guò)的相同類(lèi)型的壓軸題整理在一起,所以才有這篇與試卷參考答案不同解法的文章.(限于篇幅,原卷參考答案無(wú)法附上)