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        用函數(shù)觀點看一元二次方程中考在線

        2016-12-16 09:54:58山東省棗莊市第二十中學(xué)277000
        數(shù)理化解題研究 2016年26期
        關(guān)鍵詞:判別式一元二次方程交點

        山東省棗莊市第二十中學(xué)(277000)

        王 艷●

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        用函數(shù)觀點看一元二次方程中考在線

        山東省棗莊市第二十中學(xué)(277000)

        王 艷●

        二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系再次展示了函數(shù)與方程的聯(lián)系,一方面可以深化對一元二次方程的認(rèn)識,另一方面又可以運用二次函數(shù)解決一元二次方程的有關(guān)問題.同時也是中考的熱點內(nèi)容.下面我們一起走進中考,看看都考了啥.

        一、判斷二次函數(shù)與x軸交點的情況

        例1 (2015年陜西中考)下列關(guān)于二次函數(shù)y=ax2-2ax+1(a>1)的圖象與x軸交點的判斷,正確的是( ).

        A. 沒有交點

        B. 只有一個交點,且它位于y軸右側(cè)

        C. 有兩個交點,且它們均位于y軸左側(cè)

        D. 有兩個交點,且它們均位于y軸右側(cè)

        分析 根據(jù)函數(shù)值為零,可得相應(yīng)的方程,根據(jù)根的判別式,韋達定理或公式法求方程的根,可得答案.

        點評 本題考查了拋物線與x軸的交點,利用了函數(shù)與方程的關(guān)系,方程的判別式與韋達定理.

        二、解方程

        例2 (2015年蘇州中考)若二次函數(shù)y=x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點(2,0)且平行于y軸的直線,則關(guān)于x的方程x2+bx=5的解為( ).

        A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5

        C.x1=1,x2=-5D. x1=-1,x2=5

        解析 由題意得:二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線:x=2,而方程的兩根應(yīng)關(guān)于直線x=2對稱,只能選D.

        點評 二次函數(shù)與一元二次方程綜合,考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及解一元二次方程.是中考??碱}型,難度不大.

        三、解不等式

        例3 (2015年瀘州中考)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2,0),且其對稱軸為x=-1,則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是( ).

        A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2

        C.x≤-4或x≥2D. -4

        分析 由拋物線與x軸的交點及對稱軸求出另一個交點坐標(biāo),根據(jù)拋物線開口向下,根據(jù)圖象求出使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍即可.

        解 ∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2,0),且其對稱軸為x=-1,∴二次函數(shù)的圖象與x軸另一個交點為(-4,0),∵a<0,∴拋物線開口向下,則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是-4

        點評 此題考查了二次函數(shù)與不等式(組),求出拋物線與x軸另一個交點坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.

        四、求參數(shù)的取值范圍

        例4 (2015年南通中考)關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間(不包括-1和0),則a的取值范圍是 ____.

        分析 首先根據(jù)根的情況利用根的判別式解得a的取值范圍,然后根據(jù)根兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間(不包括-1和0),結(jié)合函數(shù)圖象確定其函數(shù)值的取值范圍得a,易得a的取值范圍.

        點評 本題主要考查了一元二次方程根的情況的判別及拋物線與x軸的交點,數(shù)形結(jié)合確定當(dāng)x=0和當(dāng)x=-1時函數(shù)值的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵.

        五、選擇圖象

        例5 (2015年安徽中考)如圖2,一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點,則函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的圖象可能是( ).

        解 由圖2知方程ax2+bx+c=x,即方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個不等的正根.又c>0,故函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的圖象如A.

        點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象,直線和拋物線的交點,交點坐標(biāo)和方程的關(guān)系以及方程和二次函數(shù)的關(guān)系等,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

        6.綜合性問題

        例6 (2015年湖北荊州中考)已知關(guān)于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.

        (1)求證:無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根;

        (2)當(dāng)拋物線y=kx2+(2k+1)x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且k為正整數(shù)時,若P(a,y1),Q(1,y2)是此拋物線上的兩點,且y1>y2,請結(jié)合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍;

        (3)已知拋物線y=kx2+(2k+1)x+2恒過定點,求出定點坐標(biāo).

        分析 (1)分類討論:該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況.當(dāng)該方程為一元二次方程時,根的判別式Δ≥0,方程總有實數(shù)根;

        (2)通過解kx2+(2k+1)x+2=0得到k=1,由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2,結(jié)合圖象回答問題.

        (3)根據(jù)題意得到kx2+(2k+1)x+2-y=0恒成立,由此列出關(guān)于x、y的方程組,通過解方程組求得該定點坐標(biāo).

        解 (1)①當(dāng)k=0時,方程為x+2=0,所以x=-2,方程有實數(shù)根.

        ②當(dāng)k≠0時,

        ∵Δ=(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0,即Δ≥0,

        ∴無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根.

        ∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且k為正整數(shù),∴k=1.

        ∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2.

        由圖象(圖3)得到:當(dāng)y1>y2時,a>1或a<-3.

        所以該拋物線恒過定點(0,2)、(-2,0).

        點評 本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,解答(1)題時要注意分類討論.

        G632

        B

        1008-0333(2016)26-0003-02

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