張 梅，汪志圣

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以極限為例談工科數(shù)學(xué)教學(xué)中概念的理解

張 梅，汪志圣

在工科大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念理解非常重要?！肮ぞ咝岳斫狻焙汀瓣P(guān)系性理解”適用于不同的數(shù)學(xué)概念理解。基于最基本的極限的概念，提出了一些針對(duì)極限某些“反直觀(guān)”性質(zhì)的教學(xué)設(shè)想和教學(xué)反思。

工科數(shù)學(xué)； 概念理解； 極限

1976年英國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家、心理學(xué)家斯根普 (Ricard R.Skemp)首先嘗試用“工具性理解”和“關(guān)系性理解”來(lái)解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難。斯根普認(rèn)為，工具性理解是一種語(yǔ)義性理解，如理解一個(gè)概念或符號(hào)所指代的事物，一個(gè)程序所規(guī)定的操作步驟等。簡(jiǎn)言之就是“只管是什么，不管理由”。關(guān)系性理解則要求對(duì)認(rèn)知對(duì)象有更深入的理解，理解獲得概念和規(guī)律(定理、公式、法則、邏輯依據(jù)等)的途徑和意義。簡(jiǎn)言之就是“不僅知道要做什么，而且知道理由”。這兩種理解模式后來(lái)被斯根普本人及他的學(xué)生赫斯科維斯(N. Herscovics)和維納(S.Vinner)等人進(jìn)一步擴(kuò)充推廣，相關(guān)部分的研究綜述可參考[1]。

“工具性理解”和“關(guān)系性理解”的說(shuō)法目前在國(guó)內(nèi)已廣為流傳，一些研究可參考文獻(xiàn)[2-4]。一般認(rèn)為,可以依賴(lài)工具性理解的 “工具性數(shù)學(xué)”在數(shù)學(xué)教學(xué)中非常普遍。其主要特征包括：規(guī)則容易理解和運(yùn)用，教學(xué)效果立竿見(jiàn)影，比起關(guān)系性數(shù)學(xué)所需知識(shí)更少，學(xué)習(xí)效率更高等等。相對(duì)應(yīng)地，關(guān)系性數(shù)學(xué)則能適應(yīng)多樣性的任務(wù)，能通過(guò)概念間的相互聯(lián)系將知識(shí)形成高質(zhì)量的有機(jī)體，減少重新學(xué)習(xí)的時(shí)間，同時(shí)也能成為學(xué)習(xí)目標(biāo)，增加學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)等等。不過(guò)在脫離實(shí)際背景的前提下，我們很難評(píng)價(jià)“工具性理解”和“關(guān)系性理解”的優(yōu)劣。

工科的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的主要包括兩部分：一是加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，二是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用。為了達(dá)到這兩個(gè)目的——尤其是要培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，充分理解數(shù)學(xué)基本概念，更好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)的觀(guān)念和數(shù)學(xué)的思想就顯得尤為重要。然而工科大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀正如文獻(xiàn)[1]中提到的：“傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)氛圍大都有利于工具性理解的教學(xué)模式(包括對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，對(duì)教師數(shù)學(xué)教學(xué)的評(píng)價(jià)和教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)分簡(jiǎn)潔化表達(dá))以及教師本人在構(gòu)建自我有效的認(rèn)知圖式方面的心理困難等等，如此眾多的客觀(guān)因素使得人們漸漸地遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系性理解的教學(xué)而親近工具性理解的教學(xué)?！贝蟛糠值墓た茢?shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)格遵循“定義——定理——實(shí)例(或反例)——練習(xí)(包括一些簡(jiǎn)單應(yīng)用)”的傳統(tǒng)模式。這種模式由于短期效應(yīng)明顯而被廣泛采用。然而隨著教學(xué)活動(dòng)的進(jìn)展，最終留在學(xué)生記憶力的多是一些解題的套路和技巧，卻沒(méi)能夠或很少能夠讓學(xué)生對(duì)某些關(guān)鍵性概念獲得充分的思考，進(jìn)而去體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想?；谶@個(gè)比較粗淺的理解層面，也就更談不上能夠刺激學(xué)生去應(yīng)用所學(xué)解決新的，尤其是在相應(yīng)專(zhuān)業(yè)中遇到的實(shí)際問(wèn)題。

在工科的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，若過(guò)于追求理論的完整去著力于細(xì)節(jié)處理，則不免對(duì)整體缺乏全面理解，理論也就因此失去應(yīng)用對(duì)象。反之，若從“會(huì)算會(huì)解決問(wèn)題即可”的態(tài)度出發(fā)，就不可能培養(yǎng)出遇到必須從根本上加以研究的新問(wèn)題時(shí)也能夠設(shè)法解決的能力。換句話(huà)說(shuō)，工科數(shù)學(xué)必須在理論和實(shí)用之間找到平衡。具體到工科的大學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，哪些概念以獲得工具性理解為主，而另一些概念可以嘗試讓學(xué)生獲得關(guān)系性理解用以建立符合學(xué)生自身的關(guān)系性圖式，是大學(xué)數(shù)學(xué)具體的教學(xué)中需要重點(diǎn)考慮的一個(gè)問(wèn)題。本文旨在以極限概念為例淺談理論和實(shí)用之間的取舍及其意義。

1 極限的概念的教學(xué)現(xiàn)狀與實(shí)例分析

極限概念的本質(zhì)是研究變量在無(wú)限變化過(guò)程中的趨勢(shì)問(wèn)題。極限概念蘊(yùn)涵的思想在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性毋容置疑。它突出了“以變量為思維對(duì)象”的基本觀(guān)點(diǎn)。而最簡(jiǎn)潔明了地反映這一思想的是研究無(wú)窮數(shù)列(可列的無(wú)限數(shù)集)所表述的變量的變化趨勢(shì)。然而在微積分的發(fā)展史上，極限概念的正確建立可謂一波三折，直到柯西在19世紀(jì)才給出了比較完整的極限理論。下面形式上更嚴(yán)格的極限定義則歸功于維爾斯特拉斯：

給定無(wú)窮數(shù)列{xn}，若存在一個(gè)常數(shù)a，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，恒有|xn-a|<ε成立，則稱(chēng)a是數(shù)列{xn}的極限。

這個(gè)定義可以看成是利用有限來(lái)討論無(wú)限的經(jīng)典范例。然而這個(gè)定義對(duì)計(jì)算極限并沒(méi)有幫助。因此在“以用為主，夠用為度”的指導(dǎo)思想下，極限的起源發(fā)展及其嚴(yán)格定義逐漸開(kāi)始淡出工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)。取而代之的是引入一些古老樸素的例子來(lái)說(shuō)明極限思想，并用大量通俗的語(yǔ)言描述來(lái)敘述極限過(guò)程，也即：取一系列特定的ε值，再取相應(yīng)的N，讓學(xué)生在“逐一嘗試”的過(guò)程中工具性地理解極限思想。這一理解模式一定程度上又回到了求助于運(yùn)動(dòng)直觀(guān)去理解極限的范疇中。有意思的是這種典型的 “逐一嘗試”的思維，有可能是形成有名的“飛矢不動(dòng)”、“阿基里斯追不上烏龜”等悖論的緣由。這毫無(wú)疑問(wèn)對(duì)學(xué)生理解極限是沒(méi)有好處的。

維爾斯特拉斯給出的關(guān)于極限的(也可以看做是靜態(tài)的)定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。在利用這個(gè)定義證明極限時(shí)(或者在某種程度上說(shuō)正確理解極限概念時(shí))，正是對(duì)任意的正實(shí)數(shù)ε，求出具體對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵的(不唯一的)自然數(shù)N。其中N(依賴(lài)于ε)將數(shù)列分成兩部分{x1,…,xN}與{xN+1,xN+2,…}。除去前面的有限集部分，后面的每一項(xiàng)(無(wú)限多個(gè))都滿(mǎn)足不等式|xn-a|<ε。關(guān)鍵的N與ε的關(guān)聯(lián)，深刻地建立了有限和無(wú)限之間的一座橋梁。

一般教材中處理這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，對(duì)前者是給出兩個(gè)無(wú)窮小的和(或積)是無(wú)窮小的證明，然后再用歸納法得到有限個(gè)無(wú)窮小的和(或積)仍是無(wú)窮小的結(jié)論。而對(duì)后者一般是舉反例說(shuō)明結(jié)論不成立(教材中往往只提供無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小的和不是無(wú)窮小的例子)。這個(gè)處理方式在數(shù)學(xué)邏輯上沒(méi)有任何問(wèn)題，但容易對(duì)初學(xué)者造成這樣的困惑：既然有限個(gè)無(wú)窮小的和(或積)還是無(wú)窮小，那么每次多加(或乘)一個(gè)新的無(wú)窮小結(jié)果仍然是無(wú)窮小，這個(gè)過(guò)程一直下去，無(wú)窮小的性質(zhì)不應(yīng)該一直被保持嗎？但是反例又說(shuō)明這樣得到的結(jié)論是不對(duì)的，為什么？此處歸納法為什么對(duì)有限個(gè)無(wú)窮小有效卻不能推廣到無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小的情形？

3 結(jié)論與反思

在上述實(shí)例中可以看出，造成學(xué)生對(duì)極限概念產(chǎn)生理解困惑主要在于工具性理解的教學(xué)模式只關(guān)注學(xué)生能否依據(jù)固定的程序性的方式去理解概念：也即出于某種自然性地對(duì)有限的情形進(jìn)行歸納，出于正確性對(duì)無(wú)限的情形給出反例。至于為什么可以這樣做以及更進(jìn)一步的還可以怎樣做(或怎樣想)等等問(wèn)題都不再提及。但由于極限概念的重要性，工具性理解將不利于學(xué)生在全新的情境內(nèi)去應(yīng)用這個(gè)重要知識(shí)(即作出學(xué)習(xí)遷移)，也非常不利于其學(xué)習(xí)其它的相關(guān)課程，最終影響其長(zhǎng)期發(fā)展。

[1] 鮑建生，周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M]. 上海:上海教育出版社，2009:51-77.

[2] 馬復(fù). 試論數(shù)學(xué)理解的兩種類(lèi)型——從R.斯根普的工作談起[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001(3)50-53.

[3] 鐘志華. 數(shù)學(xué)理解的類(lèi)型[J]. 數(shù)學(xué)教育研究，2007(11)44-45.

[4] 任偉芳，偶偉國(guó)，龔輝，張敏，朱賽飛，王繼光，張奠宙. “工具性理解”“關(guān)系性理解”和“創(chuàng)新性理解”[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014(4)69-73.

責(zé)任編輯：王 與

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1673-1794(2016)05-0117-02

張梅，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院講師，碩士；汪志圣，滁州學(xué)院資產(chǎn)與設(shè)備處，碩士(安徽 滁州 239000)。

安徽省級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)(2014jxtd040)；滁州學(xué)院教學(xué)質(zhì)量工程項(xiàng)目(2015jy004)、(2016jyy04)

2016-05-09