劉 燕，張斌輝，張翠俠

(1.宿州學(xué)院 煤礦機(jī)械與電子工程研究中心，安徽 宿州 234002；2.國家中小型軸承產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心，浙江 紹興 312500)

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非線性檢測(cè)方法檢測(cè)微弱信號(hào)的檢測(cè)頻率范圍分析

劉 燕1，張斌輝2，張翠俠1

(1.宿州學(xué)院 煤礦機(jī)械與電子工程研究中心，安徽 宿州 234002；2.國家中小型軸承產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心，浙江 紹興 312500)

混沌振子；差分振子；采樣頻率；待測(cè)頻率

特征信號(hào)淹沒在背景噪聲特性不明的情況，一直是信號(hào)處理的難題。傳統(tǒng)檢測(cè)方法旨在對(duì)噪聲進(jìn)行消除或抑制的方法,但當(dāng)噪聲頻率與信號(hào)頻率接近或者相等時(shí),濾除噪聲的同時(shí)微弱信號(hào)也受到了極大的損害,因此能檢測(cè)的最低信噪比很高，微弱信號(hào)的檢測(cè)受到了限制。現(xiàn)在，無論從深度還是高度上，非線性理論的研究都成為人們?yōu)榱私鉀Q信號(hào)處理的難題必須研究的內(nèi)容?；煦缯褡覽1-3]、差分振子[4-6]、隨機(jī)共振[7,8]等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)使微弱信號(hào)的處理上了新的臺(tái)階。無論是混沌振子還是差分振子研究很多學(xué)者的研究成果都是針對(duì)檢測(cè)器中涉及的參數(shù)選取，很少有人針對(duì)混沌振子和差分振子可以檢測(cè)的待測(cè)頻率的范圍進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[9]證明了隨機(jī)共振方法檢測(cè)的待測(cè)頻率的范圍和采樣頻率有一定的關(guān)系，本文運(yùn)用仿真的方法得出了混沌振子和差分振子檢測(cè)的上下限頻率，當(dāng)采樣頻率一定的條件下，混沌振子有最高檢測(cè)頻率，差分振子有最低檢測(cè)頻率，只有待檢測(cè)頻率在混沌振子和差分振子所要求的范圍內(nèi)，才能正確合理的使用混沌振子和差分振子方法檢測(cè)微弱信號(hào)。

1 混沌振子

混沌振子檢測(cè)來源于彈簧振動(dòng)模型的Duffing方程[10](P47-50)，是一個(gè)二階微分方程，通常用來檢測(cè)微弱正弦信號(hào)的Duffing方程形式：

(1)

其中k為阻尼比，取k=0.5；-x3+x5為非線性恢復(fù)力；fcos(t)內(nèi)置信號(hào)。

令 t=w0τ，可以推出任意頻率的周期信號(hào)的檢測(cè)數(shù)學(xué)模型[11]：

(2)

當(dāng)加入外部周期信號(hào)時(shí)，式(2)變?yōu)?/p>

(3)

式中：w0為內(nèi)部周期攝動(dòng)力的頻率,w1為待測(cè)微弱周期信號(hào)的角頻率，θ為被測(cè)周期信號(hào)的相位，N(t)為隨機(jī)噪聲[12]。

2 采樣頻率對(duì)混沌振子檢測(cè)方法影響

混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)頻率，通過四階Runge-Kutta法解算混沌振子方程，由于Runge-Kutta法是一種迭代算法，采樣頻率直接影響了迭代步長，當(dāng)步長選取不同時(shí)，從連續(xù)系統(tǒng)導(dǎo)出的離散系統(tǒng)也不同，由于步長不同，從混沌態(tài)過渡到大尺度周期狀態(tài)的閾值也不相同。步長越小，離散系統(tǒng)越接近實(shí)際的連續(xù)系統(tǒng)，所以工程實(shí)際中要合理的選用采樣頻率。使用混沌振子檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí)，步長最大能選取多少才不使離散系統(tǒng)偏離實(shí)際系統(tǒng)呢？也就是當(dāng)采樣頻率一定的情況下，混沌振子能夠檢測(cè)的下限頻率是多少呢?我們通過下面的仿真實(shí)驗(yàn)來尋找。

設(shè)待測(cè)信號(hào)：

s(t)=0.05cos(2π·40·t)

(4)

將待測(cè)信號(hào)代入到式(3)中，即

(5)

對(duì)式(5)采用4階Runge-Kutta算法進(jìn)行求解，取初始值x(0)=1，y(0)=1，k=0.5，數(shù)據(jù)長度N=9 216，采樣頻率fs=4 000。計(jì)算得到混沌振子的閾值fb=0.522 6。設(shè)置f=0.5，因?yàn)閒+0.05>0.522 6，所以混沌振子脫離混沌狀態(tài)，從系統(tǒng)輸出的相軌跡圖檢測(cè)已知頻率的微弱信號(hào)，如圖1所示。

通過仿真發(fā)現(xiàn)，針對(duì)式(5)，當(dāng)其他參數(shù)不變，采樣頻率減小時(shí)，由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)的閾值也會(huì)隨之減小，我們逐漸減小采樣頻率fs的值，對(duì)于同一個(gè)待檢測(cè)微弱信號(hào)，理論上duffing振子相圖肯定會(huì)處于大周期狀態(tài)的。仿真如下圖2所示，相位圖的變化趨勢(shì)大致是：大尺度周期狀態(tài)→粗糙的大尺度周期狀態(tài)(圖d)→超大數(shù)值狀態(tài)(圖f)，當(dāng)相位圖呈現(xiàn)直線形式時(shí)，無法觀察到混沌振子的變化，這種情況是無法進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)的。為了找出檢測(cè)頻率和采樣頻率之間的關(guān)系，在粗糙的大尺度周期狀態(tài)和超大數(shù)值兩種狀態(tài)之間進(jìn)行仿真，在2 300Hz和2 000Hz之間對(duì)采樣頻率進(jìn)行細(xì)化，相圖結(jié)果如圖2(e)所示。從圖2(e)可以看出，兩種狀態(tài)之間還會(huì)出現(xiàn)混沌狀態(tài)。

圖1 不同狀態(tài)下的混沌振子相圖

3 差分振子檢測(cè)器

差分振子檢測(cè)器是以二元差分方程為基礎(chǔ)構(gòu)造的檢測(cè)器[13]，具體數(shù)學(xué)模型如下

(6)

令α=-(a+d)，β=ad-bc，f(k)=bpcos(2kπfe+2kπfd/fs)，則 (6)式可簡化為

xk+2+αxk+1+βxk=f(k)T(k)

(7)

式中：a,b,c,d為差分振子的系統(tǒng)參數(shù)；p為放大倍數(shù)；fd為待檢測(cè)頻率；fe為系統(tǒng)激勵(lì)頻率；fs為輸入信號(hào)的采樣頻率；T(k)為輸入信號(hào)。

圖2 不同采樣頻率下的混沌振子狀態(tài)

4 采樣頻率對(duì)差分振子檢測(cè)方法影響

差分振子的檢測(cè)方程中包含了信號(hào)的采樣頻率這一信息,那么，在應(yīng)用差分振子對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，采樣頻率和檢測(cè)頻率之間需要滿足什么樣的關(guān)系，才能有效地檢測(cè)微弱信號(hào)將在本節(jié)中進(jìn)行闡述。通過構(gòu)造仿真信號(hào)來尋找采樣頻率和檢測(cè)頻率之間的關(guān)系。

構(gòu)造仿真信號(hào)：

T(k)=0.1·sin(2kπ·17)+g·randn(length(k))

(8)

利用差分振子對(duì)得到的一系列的數(shù)值序列進(jìn)行檢測(cè)。差分振子的參數(shù)設(shè)置如下：a=0.03；b=1.0；c=-1；d=-1；x(1)=6；y(1)=6；fe=0.3319；fd=17；fs=1000；p=1；g=0.1。

因此，為了滿足采樣定理，采樣頻率從70 Hz開始，依次取500 Hz、3 000 Hz、6 000 Hz、10 000 Hz、12 000 Hz，得到的差分振子相圖如圖3所示。從圖3中可以看出，當(dāng)差分振子相圖取70 Hz時(shí)，相圖很清晰的收斂于極環(huán)，隨著采樣頻率增大，極環(huán)面積逐漸減小，當(dāng)采樣頻率大于10 000 Hz，已經(jīng)觀察不到極環(huán)了，空白區(qū)域逐漸被填滿。所以，使用差分振子檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí)，信號(hào)的采樣頻率不能過高，這樣就會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的不準(zhǔn)確。

圖3 不同采樣頻率下的差分振子狀態(tài)

為了證明上述結(jié)論，構(gòu)造仿真信號(hào)：

將仿真信號(hào)首先輸入到混沌振子檢測(cè)器中，取初始值x(0)=1，y(0)=1，k=0.5，數(shù)據(jù)長度N=9 216，采樣頻率fs=4 000?；煦缯褡訖z測(cè)待檢測(cè)頻率fs=50Hz的閾值fb=0.473 6，取f=0.44，將待測(cè)信號(hào)加入到混沌檢測(cè)系統(tǒng)中，如圖所示，待檢測(cè)頻率等于50Hz的時(shí)候可以正確檢測(cè)出來，但是不能正確地識(shí)別出80Hz的微弱信號(hào)。

此時(shí)將待測(cè)信號(hào)輸入到差分振子檢測(cè)系統(tǒng)，差分振子的參數(shù)設(shè)置如下：a=0.03； b=1.0； c=-1； d=-1； x(1)=6；y(1)=6；fe=0.331 9；fs=1 000； p=1；g=0.1，fd分別取50Hz和80Hz的時(shí)候，如圖(a)和(b)所示。此時(shí)兩個(gè)待檢測(cè)頻率分別檢測(cè)出來。

5 結(jié)論

圖5 差分振子相圖

[1]陳偉根，云玉新，杜林，等.基于互相關(guān)和李雅普諾夫指數(shù)的微弱正弦信號(hào)[J].混沌檢測(cè)電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2008，32(18)：44-48.

[2]王娜，鄭德忠.基于混沌振子的低信噪比語音端點(diǎn)檢測(cè)新方法[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2009，30(7)：1432-1435.

[3]何金群，胥永剛，崔玲麗，等.基于不變矩的DUFFING相位圖的自動(dòng)識(shí)別[J].噪聲與振動(dòng)控制，2008，5(10)：80-82.

[4]胥永剛，馮明時(shí)，謝志聰，等.差分振子檢測(cè)器輸出特性研究及應(yīng)用[J].振動(dòng)與沖擊，2012，13(19)：57-60.

[5]馬朝永，王克，胥永剛，等.差分振子時(shí)間歷程在微弱調(diào)制信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用[J].噪聲與振動(dòng)控制，2013，33(6)：148-152.

[6]胥永剛，馬海龍，付勝，等.機(jī)電設(shè)備早期故障微弱信號(hào)的非線性檢測(cè)方法及工程應(yīng)用[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2011，24(5)：529-538.

[7]Gammaitoni L, Hanggi P, Jung P, Marchesoni F. Stochasticresonance[J]. Rev. Mod. Phys, 1998, 70(1): 223-287.[8]Yong-gang Leng, Tai-yong Wang, Yan Guo. Engineering Signal Processing Based on Bistable Btochastic Resonance[J]. Machanical Systems and Signal Processing, 2007,21(01):138-150.

[9]冷永剛.大信號(hào)變尺度尺度隨機(jī)共振的機(jī)理分析及其工程應(yīng)用研究[D].天津：天津大學(xué)(博士學(xué)位論文)，2004.

[10]劉秉正，彭建華.非線型動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004：47-50.

[11]王冠宇，陶國良.混沌振子在強(qiáng)噪聲背景信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用[J].儀器儀表報(bào)，1997，18(2)：209-212.

[12]Wang Guanyu, Wei Zheng, He Sailing. Estimation of Amplitude and Phase of a Weak Signal by Using the Property of Sensitive Dependence on Initial Conditions of a Nonlinear Oscillator[J]. Signal Processing, 2002,82(1):103-115.

[13]李楠，趙東成，李虹波，等.電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)早期故障可視化檢測(cè)的差分振子法[J].電力自動(dòng)化設(shè)備，2007，27(6)：74-77.

Analysis on Detection Frequency Range for Detecting Weak Signal with Nonlinear Detection Method

LIU Yan1, ZHANG Binhui2, ZHANG Cuixia1

(1.MechanicalandElectronicEngineeringResearchCenterforCoalMine,SuzhouUniversity,Suzhou234002,China;2.NationalBearingProductsTestCenter,Shaoxing312500,China)

chaotic oscillator; differential oscillator; sampling frequency; test frequency

2016-05-22

安徽省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2016A776)；宿州學(xué)院煤礦機(jī)械與電子工程研究中心開放課題資助(2014YKF16)。

劉燕(1987-)，女，安徽宿州人，助教，碩士，研究方向：設(shè)備故障診斷。

TN

A