☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 吳徠斌

把握創(chuàng)新背景透析條件關(guān)系
——以“集合”為例談創(chuàng)新問題的解答

☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 吳徠斌

由于創(chuàng)新問題能有效考查考生的閱讀理解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力及靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，因此成為高考亮點(diǎn)內(nèi)容，也是必考內(nèi)容.分析近幾年各省市的高考試題不難發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新問題的考查，常以壓軸題或把關(guān)題的形式出現(xiàn).大部分考生對(duì)此類問題一籌莫展，究其原因，是因?yàn)閯?chuàng)新問題常以新背景、新定義的形式考查，而學(xué)生對(duì)新內(nèi)容的理解不透徹，未能準(zhǔn)確把握問題求解的關(guān)鍵所致.下面以一道集合創(chuàng)新題為例，從概念理解、條件審視等角度對(duì)問題進(jìn)行分析，以期對(duì)同學(xué)們處理此類問題有所幫助.

一、題目展示

引例給定正整數(shù)n（n≥3），集合Un=｛1，2，3，…，n｝.若存在集合A、B、C，同時(shí)滿足下面的三個(gè)條件：

①Un=A∪B∪C，A∩B=B∩C=A∩C=?；

②集合A中的元素都為奇數(shù)，集合B中的元素都為偶數(shù)，所有能被3整除的數(shù)都在集合C中（集合C中還可以包含其他數(shù)）；

③集合A、B、C中各元素之和分別為SA，SB，SC，有SA= SB=SC.則稱集合Un為可分集合.

（1）已知U8為可分集合，寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合A、B、C；

（2）證明：若n是3的倍數(shù)，則Un不是可分集合；

（3）若Un為可分集合且n為奇數(shù)，求n的最小值.

集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，也是重要概念之一，以集合為視角的命題背景新穎、構(gòu)思巧妙、邏輯性強(qiáng).能有效考查考生的思維能力、運(yùn)算能力等綜合素質(zhì)，還對(duì)考生的閱讀理解能力、分析和解決問題的能力做出考查.此類創(chuàng)新題型突破常規(guī)題型的模式，形式豐富，備受命題人關(guān)注.同時(shí)，它取材廣泛、時(shí)代性強(qiáng)、無固定套路，從側(cè)面體現(xiàn)了考試的公平性.所以，在平時(shí)的教學(xué)或?qū)W習(xí)中，加強(qiáng)對(duì)創(chuàng)新題型的研究和訓(xùn)練，不但是備考的一項(xiàng)基本內(nèi)容，也有利于學(xué)生自身綜合素質(zhì)的提高.

此類題的解答，前提是要求學(xué)生具備創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)

問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑.對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、整合、融會(huì)的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識(shí)也就越強(qiáng)，也就越容易找到解決問題的突破口.

二、條件審視

解答此類問題時(shí)，學(xué)生看到題目后就一臉茫然，甚至有些學(xué)生根本沒有看懂題，不知所給的概念有什么涵義、不知所給的條件如何運(yùn)用.出現(xiàn)這種情況除對(duì)自己所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不扎實(shí)外，一個(gè)重要的原因就是閱讀和理解能力較差.因此對(duì)于創(chuàng)新問題的求解，理解問題的本質(zhì)和內(nèi)涵是問題順利求解的關(guān)鍵.

對(duì)本題所給概念、條件的理解可從如下幾個(gè)角度來審視：

（1）題目中給出了三個(gè)條件，其中的已知與未知的根本不同是什么？這里的邏輯關(guān)系是什么？三個(gè)條件，應(yīng)該先滿足哪一個(gè)或哪兩個(gè)？這樣認(rèn)為的根據(jù)是什么？

（2）對(duì)于集合問題的處理，要弄清分析集合問題的幾個(gè)維度，如元素關(guān)系，數(shù)量關(guān)系等.

（3）對(duì)于一個(gè)陌生問題的處理，我們可以從動(dòng)手實(shí)驗(yàn)開始，選擇一些特殊的集合來加深對(duì)新定義的認(rèn)識(shí)和理解.

通過充分審視條件不難發(fā)現(xiàn)，①、②屬于定義性的條件，條件③反映了集合之間的數(shù)理關(guān)系.因此，在問題的具體求解中可先使所要判斷的集合滿足條件①、②，再去驗(yàn)證條件③滿足與否.

具體分析、解答過程如下.

三、問題解答

此類試題的命制一般含有2～3問，難度逐漸遞增.其中第（1）問屬于送分題，只要讀懂新概念的含義、明白所給條件之間的關(guān)系，即可順利求解.另外在問題解答中還要注意前后兩問之間的關(guān)系，前一問的結(jié)論有可能就是后一問的條件.因此解題中要準(zhǔn)確把握、合理利用.

（1）依照題意，可以取A=｛5，7｝，B=｛4，8｝，C=｛1，2，3，6｝.驗(yàn)證可知滿足條件.

第一問為下面的問題做鋪墊，如何體會(huì)呢？請(qǐng)同學(xué)們思考.

（2）條件中給出具有的數(shù)理關(guān)系，因此可以抓住集合中元素的和，即SA=SB=SC這一關(guān)鍵點(diǎn)尋找思維突破口.對(duì)于缺少的具體研究對(duì)象，可創(chuàng)造條件，利用反證法得出矛盾，即可證明.

假設(shè)存在n是3的倍數(shù)且Un是可分集合.

設(shè)n=3k，則依照條件②可知｛3，6…，3k｝?C，而集合C中還可能含有其他數(shù)，所以

集合Un中的n個(gè)數(shù)之和為由條件③知SA=與矛盾，所以n是3的倍數(shù)時(shí)，Un一定不是可分集合.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，而n（n+1）=12m，所以一定有n+1既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)，所以n+1=12k，所以n=12k-1，k∈N*.

定義集合D=｛1，5，7，11，…｝，即集合D由集合Un中所有不是3的倍數(shù)的奇數(shù)組成；

定義集合E=｛2，4，8，10，…｝，即集合E由集合Un中所有不是3的倍數(shù)的偶數(shù)組成.

根據(jù)集合A、B、C的性質(zhì)知道，集合A?D，B?E，此時(shí)集合D，E中的元素之和都是24k2，此時(shí)Un中所有3的倍數(shù)的和為

顯然必須從集合D，E中各取出一些元素，這些元素的和都是2k，所以從集合D=｛1，5，7，11，…｝中必須取偶數(shù)個(gè)元素放到集合C中，所以2k≥6，所以k≥3，此時(shí)n≥35.

而令集合A=｛7，11，13，17，19，23，25，29，31，35｝；集合B=｛8，10，14，16，20，22，26，28，32，34｝；

集合C=｛3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，1，5，2，4｝.

檢驗(yàn)可知，此時(shí)U35是可分集合，所以n的最小值為35.

注意：“反證法”是邏輯推理證明中常用且有效的方法，應(yīng)用中要準(zhǔn)確假設(shè)、合情推理.另外解答中在得出n= 12k-1，k∈N*后，利用窮舉法，由k=1，2，3，…，得n=11，23，35，…，在說明11，23不滿足，35滿足條件時(shí)，注意必須要嚴(yán)格地說明11、23為什不行.

四、變式演練

變式已知集合Ωn=｛X|X=（x1，x2，…，xi，…，xn），xi∈｛0，1｝，i=1，2，…，n｝，其中n≥3.

?X=（x1，x2，…，xi，…，xn）∈Ωn，稱xi為X的第i個(gè)坐標(biāo)分量.若S?Ωn，且滿足如下兩條性質(zhì)：

①S中元素個(gè)數(shù)不少于4個(gè)；

②?X，Y，Z∈S，存在m∈｛1，2，…，n｝，使得X，Y，Z的第m個(gè)坐標(biāo)分量都是1.則稱S為Ωn的一個(gè)好子集.

（1）若S=｛X，Y，Z，W｝為Ω3的一個(gè)好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），寫出Z，W；

（2）若S為Ωn的一個(gè)好子集，求證：S中元素個(gè)數(shù)不超過2n-1；

（3）若S為Ωn的一個(gè)好子集且S中恰好有2n-1個(gè)元素時(shí)，求證：一定存在唯一一個(gè)k∈｛1，2，…，n｝，使得S中所有元素的第k個(gè)坐標(biāo)分量都是1.

解析：（1）Z=（1，0，0），W=（1，1，1）.

（2）對(duì)于X?Ωn，考慮元素X′=（1-x1，1-x2，…，1-xi，…，1-xn）.

顯然，X′∈Ωn，?X，Y，X′，對(duì)于任意的i∈｛1，2，…，n｝，xi，yi，1-xi不可能都為1，可得X，X′不可能都在好子集S中.

又因?yàn)槿《╔，則X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定義可知?X，Y∈Ωn，X′=Y′?X=Y.

這樣，集合S中元素的個(gè)數(shù)一定小于或等于集合Ωn中元素個(gè)數(shù)的一半，而集合Ωn中元素個(gè)數(shù)為2n，所以S中元素個(gè)數(shù)不超過2n-1.

（3）?X=（x1，x2，…，xn-1，xn），Y=（y1，y2，…，yn-1，yn）∈Ωn，定義元素X，Y的乘積為XY=（x1y1，x2y2，…，xn-1yn-1，xnyn），顯然XY∈Ωn.

證明：“對(duì)任意的X=（x1，x2，…，xn-1，xn）∈S，Y=（y1，y2，…，yn-1，yn）∈S，都有XY∈S.”

假設(shè)存在X，Y∈S，使得XY?S，則由第（2）問可知（XY）′=（1-x1y1，1-x2y2，…，1-xn-1yn-1，1-xnyn）∈S.

此時(shí)，對(duì)于任意的k∈｛1，2，…，n｝，xk，yk，1-xkyk不可能同時(shí)為1，與題目條件矛盾，所以XY∈S.

因?yàn)镾中只有2n-1個(gè)元素，我們記Z=（z1，z2，…，zn-1，zn）為S中所有元素的乘積.

根據(jù)上面的結(jié)論，我們知道Z=（z1，z2，…，zn-1，zn）∈S，顯然這個(gè)元素的坐標(biāo)分量不能都為0，那么不妨設(shè)zk=1.

根據(jù)Z的定義，可以知道S中所有元素的k坐標(biāo)分量都為1.

下面再證明k的唯一性：

若還有zt=1，即S中所有元素的t坐標(biāo)分量都為1，所以此時(shí)集合S中元素個(gè)數(shù)至多為2n-2個(gè)，矛盾.

所以結(jié)論成立.

注：本題雖然形式新穎，但通過準(zhǔn)確閱讀理題意，不難發(fā)現(xiàn)我們熟悉的面孔.以n維坐標(biāo)系為背景，以集合為形式.問題的求解中除注意新定義的本質(zhì)外，要準(zhǔn)確把握全集、子集、元素之間的關(guān)系進(jìn)行推理.

綜上，解答好集合創(chuàng)新問題要重視數(shù)學(xué)核心概念的理解與準(zhǔn)確運(yùn)用，教師在評(píng)時(shí)的解題教學(xué)中可通過為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一些理解概念的情境，訓(xùn)練學(xué)生充分理解概念，學(xué)會(huì)用概念解題，進(jìn)而不斷培養(yǎng)其對(duì)新概念、新知識(shí)的閱讀和理解能力.這里的新知識(shí)可以是新的定理、新的方法、新的公式、新的圖式、新的規(guī)則等.當(dāng)然這里所說的“新”，往往只是新在形式，解題中只要把握集合的本質(zhì)，即可化生為熟、化抽象為具體.通過這樣的內(nèi)容來訓(xùn)練學(xué)生對(duì)題目信息進(jìn)行收集、提煉、加工、整理的能力.對(duì)閱讀的內(nèi)容進(jìn)行概括和理解，看清問題的本質(zhì)，運(yùn)用合情推理和演繹推理等方法解決一些新的數(shù)學(xué)問題.另外要加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，教學(xué)中以問題為出發(fā)點(diǎn)，通過對(duì)典型試題的分析，讓學(xué)生體會(huì)創(chuàng)新試題的解決途徑和思考方法，并歸納出解題步驟，即從新情境問題中獲取信息——分析處理信息——轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——獲得原問題答案.隨著高中數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進(jìn)，考查學(xué)生獨(dú)立獲取新知識(shí)的學(xué)習(xí)型試題仍會(huì)不斷地出現(xiàn)在高考命題中，望廣大師生給予足夠的重視.

1.石深敏.高考集合題的創(chuàng)新方式與復(fù)習(xí)對(duì)策［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（7）.F