☉山東省青島第二中學 牟慶生

知其然、知其所以然、知何由以知其所以然
——由2016年浙江理第19題引發(fā)的數(shù)學解題教學的思考

☉山東省青島第二中學 牟慶生

數(shù)學教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然.”這為數(shù)學解題教學標明了三個遞進的境界：一是知其然，二是知其所以然；三是知何由以知其所以然.數(shù)學解題教學，不能滿足于一，應(yīng)該立足于二而求三.下面筆者就結(jié)合2016年浙江省高考數(shù)學理科第19題的教學過程，談?wù)剬Υ说目捶?

圖1

（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；

（Ⅱ）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

分析：第（Ⅰ）問屬于常規(guī)問題，設(shè)截得的線段為AP，容易求得|AP|=此題研究的重點是第（Ⅱ）問.

一、知其然

1.閱讀審題知“求什么”

解答任何一個數(shù)學題目之前，都要先進行讀題與審題.通過審題明確考查的知識要點，分析題目的已知條件和待求結(jié)論，理解題意并且初步確定解題方向.

上述題目的第（Ⅱ）問考查的是圓與橢圓的位置關(guān)系，已知條件：“定點A”，“圓與橢圓至多有3個交點”；結(jié)論：“求離心率的取值范圍”.顯然，條件與結(jié)論之間的聯(lián)系并沒有像第（Ⅰ）問那么顯而易見，這就導致學生認知上的困難.

2.操作演示知“是什么”

當題目呈現(xiàn)的內(nèi)容比較復雜，學生難以從字面上獲得解題的直接線索時，就需要借助“操作演示”來促進學生對問題的理解.“作圖”是找到問題切入口的最有效的方法，可以讓學生手工作圖，也可以讓教師通過幾何畫

板進行演示，從而獲得最直觀的解題經(jīng)驗.

過A點作半徑大小不一的圓，發(fā)現(xiàn)圓與橢圓交點的個數(shù)有0、1、2、3、4等五種情況，而且交點的個數(shù)除了與圓的半徑大小有關(guān)，還與橢圓的圓扁程度相關(guān)，而離心率的大小決定了橢圓的圓扁程度，這就明確了條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.

3.類比化歸知“如何求”

理解題目的過程實際上就是“自然語言”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學語言”的過程，當題意理解透徹后，解題就進入了“數(shù)學建模”階段，而數(shù)學建模的關(guān)鍵是對數(shù)學思想的靈活運用.通過類比、化歸等數(shù)學思想，把不熟悉的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.

圖2

類比問題（Ⅰ），發(fā)現(xiàn)直線y=kx+1恰好經(jīng)過定點A，AP就是圓與橢圓的一條相交弦.連接點A與交點，就得到一條相交弦；有幾個交點便有幾條等長的相交弦，交點問題就轉(zhuǎn)化為弦長問題.至此，本題的解題思路就清晰起來了，如圖2所示.

解析：先考慮與橢圓有4個交點的情景，然后排除這種情景，就可以得到符合條件的結(jié)論.

假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)橢圓左側(cè)上有兩個不同的交點P，Q，滿足|AP|=|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.

二、知其所以然

1.反思回顧知“隱藏的真相”

解題教學并不是以獲得正確答案為最終目的，而是通過經(jīng)歷一道題的解決過程，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，揭示本質(zhì)，從而獲得一類題的解題思想與方法.要實現(xiàn)這一目的，解題后的反思回顧是必不可少的環(huán)節(jié).弗賴登塔爾就曾精辟指出“沒有反思學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”，通過反思回顧可以發(fā)現(xiàn)隱藏在問題表象下的“真相”.

綜上可知，交點個數(shù)等價與相交弦的條數(shù)，最終轉(zhuǎn)化為相交弦的長度問題，而相交弦AP的長度是在變化的，易知其在橢圓上的某個位置取到最大值.當動圓半徑小于或等于AP的最大值時，就有可能出現(xiàn)1、2、3、4個交點的情況.當然，這要取決于AP取到最大值時所在的橢圓上的位置.若AP在橢圓的左右兩側(cè)取到最大值，則當動圓的半徑小于AP時，就有可能出現(xiàn)橢圓左右兩邊各2個交點，一共出現(xiàn)4個交點的情景；為了避免這種情況的發(fā)生，只有當AP取到最大值的位置在橢圓短軸的下端點時才不會出現(xiàn)4個交點的情景，此時，無論動圓的半徑如何變化，出現(xiàn)交點的個數(shù)只能是0、1、2三種情況.至此，我們就知道了交點個數(shù)取決于弦長最值所在位置這一“隱藏的真相”.

2.轉(zhuǎn)變視角知“思維的變通”

在解題教學中，對同一數(shù)學問題的多角度審視可以引發(fā)不同的聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)不同的解題路徑.這樣既有利于問題的解決，又能使思維起點和過程都具有高度的靈活性，從而擺脫傳統(tǒng)的窠臼，發(fā)現(xiàn)解題的捷徑.

首先，若把題目中的橢圓看成圓，眾所周知，圓與圓最多有兩個交點.由此我們得到啟示：橢圓越接近于圓，越不會出現(xiàn)超過3個交點的情況，因此，橢圓的離心率越小越好，于是可以推測題目的答案一定是“e∈（0，m］，其中0＜m＜1”.

其次，若從弦長最值出發(fā)，這道題的解答過程就會簡潔的多.

要使|MA|2在y=-1處取到最大值，則二次函數(shù)的對稱軸y=，解得1＜a≤，所以

圖3

解析：如圖3，設(shè)M（x，y）是橢圓上一點，連接MA，則|MA|2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1-a2）y2-2y+a2+1，y∈［-1，1］.

三、知何由以知其所以然

1.追根溯源知“曾經(jīng)相識”

著名數(shù)學家華羅庚先生說：“數(shù)學是一個原則，無數(shù)內(nèi)容，一種方法，到處可用.”尤其是經(jīng)歷高考復習后，通過解題教學與大量的訓練，學生已經(jīng)掌握了多數(shù)題型的解題方法與策略，但為何在正式考試中，還會碰到大量無從下手的題目呢？不排除有個別題目確實比較“新穎”外，主要原因是題目“偽裝的太好”，很多看似陌生的題目其實都是學生的“舊相識”.只是學生無法快速識破這些“偽裝”，從而無法與已有的解題經(jīng)驗建立有效的聯(lián)系.這就需要教師對這些問題追根溯源，除去披在題目上的“馬甲”，還原問題的本質(zhì).

作為今年高考的壓軸題，此題的命題風格與往年大為不同.往年圓錐曲線解答題的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系明確，考查的重點在于運算與化簡；而今年卻截然相反，考查的重點轉(zhuǎn)移到對題目的理解及轉(zhuǎn)化上.如此違背“常規(guī)”的考查，令學生措手不及.其實，同類問題在平時練習中屢見不鮮，遺憾的是學生沒有意識到它們之間的聯(lián)系.

原題：若以原點為圓心，橢圓的半焦距長c為半徑的圓與該橢圓有四個交點，則該橢圓的離心率的取值范圍為____________.

分析：圓與橢圓的交點個數(shù)取決于圓的直徑與過橢圓中心的弦長之間的大小關(guān)系.可知過橢圓中心弦的長度在［2b，2a］之間變化，要出現(xiàn)四個交點，則滿足2b＜2c＜ 2a，可得.此題與高考題的類型及解題思路基本一致，唯一的區(qū)別就是圓心的位置從原點移到了短軸的頂點，從而導致橢圓弦長的變化規(guī)律不像原先那么直觀，這就需要用到以下結(jié)論：

②當b＞c時，直線被橢圓截得的最大弦長為d=2b，即為短軸長.

這個結(jié)論是橢圓中比較常見的一個幾何性質(zhì)，很容易證明.

設(shè)M（x，y）是橢圓上一動點，則d2=x2+（y-b）2=a2·

綜上可知，此高考題是上述“原題”的變式，考查的是對上述橢圓弦長性質(zhì)的“逆”應(yīng)用，即通過弦長最大值的取值回溯條件“b＞c”，而這個條件恰好反映了橢圓離心率的大小.

2.變式拓展知“本質(zhì)屬性”

變式的意義在于通過對原命題的合理轉(zhuǎn)化，達到學生對于數(shù)學對象本質(zhì)屬性的掌握.變式訓練既預(yù)示著原有解題任務(wù)的結(jié)束，又開啟了新的解題任務(wù)，在解題教學中起到了承上啟下的作用.同時變式訓練對于提升學生抽象概括能力、數(shù)學理解能力、解題能力具有不可替代的作用.

由上述高考題，可以作以下變式.

變式2：設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓=1（a＞b＞0）的左右焦點，若橢圓上一點P滿足|PF2|=|F1F2|，且以原點O為圓心，以b為半徑的圓與直線PF1有公共點，則橢圓離心率的取值范圍為______

通過變式進一步掌握不同位置下橢圓弦長的變化規(guī)律，掌握求離心率問題的一般方法.

數(shù)學解題教學的重點不在于能解決多少數(shù)量的題目，也不在于獲得正確的答案，而是要立足于“知其然、其所以然、知何由以知其所以然”這三個思維層次，對問題進行全方位的剖析，揭示其本質(zhì)，從而獲得最直接的解題經(jīng)驗與思想方法，建構(gòu)與完善學生數(shù)學思維體系.F