☉浙江省嚴州中學梅城校區(qū)羅瑞根

糾錯應(yīng)該是基于“究錯”的糾錯
——例談促進學生理解的糾錯設(shè)計

☉浙江省嚴州中學梅城校區(qū)羅瑞根

在中學數(shù)學教學中，解題是中學數(shù)學活動的一個組成部分和主要形式，是學習數(shù)學課程的一個“實踐性”環(huán)節(jié)，是實現(xiàn)教學目的的重要手段.波利亞說過：“中學數(shù)學教學的首要任務(wù)就在于加強解題能力的訓練，……掌握數(shù)學就是意味著善于解題.”這充分說明了解題的重要性.數(shù)學教學離不開解題，解題在建立和發(fā)展學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)、形成和提高數(shù)學思維能力等方面起著不可替代的作用.

在解題的實踐中，學生常常因為概念、方法、認識、觀念、能力、意識等因素的影響而導致錯誤的發(fā)生，因此，糾錯也就成為解題教學中的一項重要活動.由于課時的限制及教師自身的認識，對于學生所犯錯誤，教師糾錯常對錯因一帶而過，或以一個反例簡單說明，舍不得花時間或是不愿意深究，而把重心放在正確解法的講解上，“正解”成為主要的，“究錯”則成為次要的，是一種“生拉硬拽”式的糾錯.這種做法的后果——一些學生考過、錯過、講過、訂正過的題目，下次遇到學生還會錯.只有讓學生知其錯知其之所以錯，探究錯誤的內(nèi)在原因，把握問題的本質(zhì)，才可能理解、接受、反思、領(lǐng)悟正確的解法，進而能夠遷移，真正達到糾錯的效果、目的.文1談了“利用錯誤資源，提高教育價值”，本文著重談一談對于“究錯”，教師應(yīng)根據(jù)不同類型的錯誤做好促進學生理解糾錯的設(shè)計，采用不同的“究錯”方式、策略.

一、以錯“究錯”，探錯因深化認知

這是在學習了基本不等式的知識、方法后，由學生在一節(jié)習題課上提出的一個問題.

生1：可是這道題的參考答案不是這個結(jié)果，而我的做法中使用基本不等式的兩次等號能夠同時成立，我想不通是我錯了還是參考答案錯了.

生1：老師講過，3個變量盡可能減少為2個變量，我就這樣做了.

生2：要這樣我也能做，但結(jié)果可以不同，難道題目有問題？

師：大家覺得是題目有問題還是方法有問題？

生3：還是方法有問題，要按照上面的方法，這樣的操作有無數(shù)多種，每一種都能夠保證等號成立，但是結(jié)果也就有無數(shù)多種.究其原因，雖然兩次使用基本不等式時的等號都能取到，但第一次使用基本不等式時的等號僅是保證該不等式中的等號成立，卻并非使用基本不等式的“最佳搭配”方式，因此無法真正求出u的最大值.

師：很好.生3提到了“第一次使用基本不等式的等號僅是保證該不等式中的等號成立，卻并非使用基本不等式的‘最佳搭配’方式”，那什么是“最佳搭配”方式？誰能說說？

師：非常好，你能按照你的想法解這道題嗎？

生4：因為a2+1+b2=，當且僅當a2=時等號成立.

生1：和參考答案一樣.

師：大家說好不好？

眾學生：好！

生5：其實不用換元就可以直接做，x2+y2+z2=所以u=，當且僅當時等號成立.不換元更容易發(fā)現(xiàn)x，y，z之間的內(nèi)在聯(lián)系.

師：太好了，掌聲鼓勵一下.生4、生5發(fā)現(xiàn)了題目的內(nèi)在聯(lián)系，尤其生5的方法更是讓我們發(fā)現(xiàn)變形是x，z圍繞著y進行的，要將y2合理地分配給x2，z2，“湊”出了問題的本質(zhì)；而生1的方法為了過分地追求等號成立條件，開始只考慮x，z之間的關(guān)系，“犧牲”了y，將只該一步完成的工作人為地分為兩步，生1的這種解法只是保證u能夠取到，而不能使其一定是u的最大值，是對使用基本不等式求最值“一正、二定、三相等”條件的片面認識所造成的.感謝生1給我們提供了這樣一個好問題.

學生認知上的一些“誤區(qū)”往往會導致解題錯誤的發(fā)生，而且相應(yīng)的錯誤具有很大的迷惑性，這類問題的糾錯如果采用“急剎車”——教師直接告知正確的解法，為什么學生的解法錯了沒有說清、說深、說透，就容易使學生“不服氣”，還覺得自己做的有道理，沒錯，導致糾錯大打折扣，甚至有“翻車”的危險——下次遇到仍然重復自己根深蒂固的想法.糾錯講求“究錯”，對于學生的這一類感到困惑的解題錯誤，教師可以故意“模仿”學生的錯誤解法，將學生引入“歧途”，導致自相矛盾，能夠引發(fā)學生強烈的好奇心，激發(fā)學生的求知欲，這時再通過師生之間的互動，探討錯因，尋求正解.以錯“究錯”，可以暴露、放大錯誤，讓學生參與其中探究出錯的原因，學生想通了、理解了、接受了，自然會轉(zhuǎn)變想法，在消除學生的困惑的同時，也深化了學生的相關(guān)認知，更能夠建構(gòu)完善學生的認知建構(gòu)，而且對這類問題印象深刻，效果自然好于生硬的說教、直接的矯正.

二、以對“究錯”，辨錯因強化認知

圖1

例2已知θ∈R，實數(shù)x1，x2，x3，x4滿足cosθ≤x1≤2cosθ，sinθ≤x2≤2sinθ，2x3+x4-6=0，求|x1-x3|+|x2-x4|的最小值.

這是一份練習卷上的題目，很多學生不會做，還有很多學生做錯.主要的錯誤解法是：由條件可得1≤x21+x22≤4，且x1≥0，x2≥0，故點A（x1，x2）在圓環(huán)1≤x2+y2≤4位于第一象限所在區(qū)域內(nèi)（包括邊界），而點B（x3，x4）在直線2x+y-6=0上，如圖1所示，原點O到直線2x+y-6=0的距離d=，所以ABmin=d-圓環(huán)大圓半徑

2，此時直線AB與直線2x+y-6=0垂直，所以kAB=，所以

應(yīng)該說，學生的解法很有代表性，符合學生解決直線上的點與圓上的點的距離問題的一般思路，也是有著很大的迷惑性.這種錯誤很難類似例1錯解那樣以錯導

錯，引發(fā)矛盾，因此，這類問題適宜在尋求正確解法的過程中探究錯誤的原因.教學過程如下：

老師首先展示了上述學生的解法.

師：在上述解法中，將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，大家覺得可行嗎？

生1：應(yīng)該可以，因為求最值問題的解決方法主要有兩種：第一種，建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為用函數(shù)研究、解決問題；第二種，利用問題的幾何意義，從幾何直觀的角度求解.本題應(yīng)該是用第二種方法.

師：生1說的非常好.但是這里面的|x1-x3|+|x2-x4|是否一定是上述解法中的AH+BH？

生1：我認為是的，從圖像中可以看出來.

師：那這種方法應(yīng)該沒有問題嘍？那么老師想問一下，本題中取到所求最小值時O，A，B三點是否一定共線？

生1：應(yīng)該差不多.

師：那你的意思是能夠從幾何直觀看出來？

生1：好像不能.

師：那就讓我們試著用類似的方法在圖像中表示|x1-x3|+|x2-x4|，注意只考慮A，B兩點間的關(guān)系，O，A，B三點共線的情況我們已經(jīng)看到了，暫時還不知對不對，因為這種看似由幾何直觀得出的結(jié)果必須保證其直觀性的“依據(jù)”，而本題上述解法好像是缺少這種依據(jù).我們看看能否找到“依據(jù)”？怎么去找？

生2：由圖1變到圖2，|x1-x3|+|x2-x4|還是等于AH+BH.

師：AB的走向只有這一種嗎？

生2：還有兩種特殊走向我給補一下，由圖2變到圖3.

師：那么在圖3中，|x1-x3|+|x2-x4|如何表示？還是等于AH+BH嗎？

圖3

圖2

生3：AB2垂直于x軸，|x1-x3|=0，|x1-x3|+|x2-x4|=|x2-x4|= AB2；AB1垂直于y軸，|x2-x4|=0，|x1-x3|+|x2-x4|=|x2-x4|=AB1.

師：就是說|x1-x3|+|x2-x4|的表示與AB的走向有關(guān)，有三種，哪一種最??？

生3：是的，每一種都要求一下才知道吧.

師：那么我們都試著求一下.

過了一會兒……

生4：AB2，AB1的最小值能夠求出來，AH+BH的最小值好像不好求，求不出來.

師：那請你寫一下AB2，AB1的最小值的求法.

生4板書：設(shè)A（x1，y1），B2（x1，y2），則f（x1）=AB2=y2-y1=-2x1+6-，求導得，令f′（x1）= 0，得x1=，再判斷單調(diào)性可得（AB2）min=

生5：我還有更簡單的方法.設(shè)A（2cosα，2sinα），則B2（2cosα，-4sinα+6），所以AB2=-4sinα+6-2cosα=6-同理可得，所以（AB2）min= 6-2.同理可得（AB1）min=3-

師：生4、生5分別用代數(shù)變量和角變量求出了AB2，AB1的最小值，三種情況解決了兩種，離目標已經(jīng)很接近了，好啊.但是只要有一種情況沒解決，問題就沒有結(jié)束，難點是AH+BH的最小值好像不好求，那么可不可以換一種思路，不好求能不能就不求也可以知道三種情況之間的大小關(guān)系.提示一下，還是從幾何直觀的角度.

生6：在圖3中，由直線y=-2x+6的斜率為-2，可得AB2= AG+GB2=AG+2GB＞AG+GB=AH+HB=AH+2HB1＞AH+ HB1=AB1，這樣在三種情況中，AB1最小.由生4、生5的方法就可以得到（AB1）min=3-，也就是|x1-x3|+|x2-x4|的最小值為3-

師：同學們覺得怎么樣？

眾學生：太棒了！

師：生1開了一個好頭——從幾何直觀開始，定下了一個正確的方向；生2、生3準確地理解、直觀地表示|x1-x3|+|x2-x4|是我們成功的關(guān)鍵；生4、生5解決了兩種特殊情況的最小值的求解；生6完美“收官”，尤其通過“數(shù)形結(jié)合”合理地比較三種情況之間的大小關(guān)系，達到了“設(shè)而不求”的效果，解決了其中一種情況難以求解的困難，這種解題策略值得我們共同學習，而這正是開始老師所提到所要找的“依據(jù)”.同學們通力合作又為我們貢獻了一場精彩的“思維盛宴”.這樣，開始時的解法顯然就是錯誤的，是對題意沒有正確理解到位而導致的.

引導學生發(fā)現(xiàn)差異、聯(lián)系與區(qū)別，能夠類比已有的方法卻又能夠突破框框發(fā)現(xiàn)新的解題方法，消除思維定勢的負向遷移，正確的理解、全面的考慮、準確的表達、合理的計算帶來解題的成功，把握主次和輕重緩急.引導學生從正面探尋解決方法，這個過程也是不斷探索、調(diào)整、糾偏的過程，正確的方法出來了，錯誤的原因也就發(fā)現(xiàn)了，可以強化學生正確的認知，更好地幫助學生生成知識、方法、思想、能力、意識，幫助學生在強化某類型問題形成方法的同時學會“轉(zhuǎn)型”——防止思維定勢，教師要有意識地注意思維定勢對學生解題的負面影響，辯證看待，提倡既有思維的固定模式，更強調(diào)在理解的基

礎(chǔ)上辨證靈活地看問題，優(yōu)化學生的解題過程，提高學生的解題能力.

三、對比“究錯”，明錯因提升認知

例3已知函數(shù)y=log2（x2-2x+a）的值域是R，求實數(shù)a的取值范圍.

這種題目在學過對數(shù)函數(shù)的知識以后會出現(xiàn)，老師講過后學生再做的錯誤率仍然很高，于是老師再訂正，但效果還是不好.對于這種問題的錯誤，可以通過以下的設(shè)計，通過對比探究錯因，提升對問題的認識.

表1

完成以上表格（表1），然后回答下列問題.

問題1：通過對照比較，你能否觀察得出同組兩個小題中函數(shù)的定義域、值域的變化規(guī)律？

問題2：你能從以上例子中得出函數(shù)的定義域為R時函數(shù)要滿足的條件嗎？對于值域為R呢？

問題3：你能夠畫出以上函數(shù)的圖像驗證你的結(jié)論嗎？

表2

問題4：你認為表2與表1的結(jié)果有何關(guān)系？

問題5：你能夠畫出表2中的函數(shù)圖像嗎？

問題6：你能夠?qū)⒈?中第2～6個函數(shù)轉(zhuǎn)化為第1個函數(shù)嗎？如果能夠，如何轉(zhuǎn)化？如果不能，請說明理由.

問題7：若函數(shù)y=lg（x2-2x+a）（a∈R）的定義域為R，則a的取值范圍是_______.若函數(shù)y=lg（x2-2x+a）（a∈R）的值域為R，則a的取值范圍是_______.

問題8：你能否再舉出一些類似的例子？

華羅庚先生告誡我們：復雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而又不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅.對于本題這樣抽象性強，理解困難的問題，通過表1中的5組函數(shù)定義域、值域橫向的變化對照，先“退”到簡單的、特殊的、熟悉的函數(shù)模型，再從特殊到一般，提出3個問題，導向所要“究錯”的問題上，然后再通過表2與表1中的函數(shù)定義域、值域的縱向?qū)φ眨^續(xù)從特殊到一般，類比反思逐漸逼近目標.8個問題竄成一串，前后呼應(yīng)，導向性明確，連同表格的設(shè)計在內(nèi)始終突出“對照比較”，這也是提升這類問題認知的有效手段.問題3提示學生利用圖像的直觀性以提高對于問題形象性的理解，這兒的畫圖可以結(jié)合函數(shù)圖像的對稱性及函數(shù)圖像的變換完成，畫圖的過程可以提高學生對問題的認識，而問題5中的表2中第3～6個函數(shù)的圖像是很難準確并且直接地畫出來（當然教師可以利用幾何畫板輔助作圖幫助學生直觀地觀察理解），從而將學生的思維再導向簡單的、特殊的、熟悉的函數(shù)模型，使學生能夠運用換元法將問題轉(zhuǎn)化為兩個基本初等函數(shù)的復合函數(shù)的性質(zhì)，在引導學生化歸的同時，使學生能夠真正認識、把握問題的本質(zhì).前6個問題是歸納的過程，而問題7、問題8則是從一般到特殊的演繹的過程，使學生在懂、會的基礎(chǔ)上，能夠運用、領(lǐng)悟.

教育家第斯多得曾說：“不好的教師是傳授真理，好的教師是叫學生去發(fā)現(xiàn)真理”，教師的“教”是為了學生的“學”，教學中教師應(yīng)充分發(fā)揮學生的自主性、積極性，從“教”變“導”.理解是學習者自覺克服舊的觀念和習慣對他們的束縛而獲得的，我們應(yīng)該注意，即使那些成功的學生也可能不具備這種能力，教師能做的只是為學生創(chuàng)造條件促進理解的實現(xiàn).教師應(yīng)把研究的重點放在如何“帶著學生走向知識”，而非“帶著知識走向?qū)W生”.錯解蘊含著豐富的資源，是學生學習和教師教學的寶貴資料，需要我們的智慧和精力去深入挖掘利用.錯誤是正確的先導，是成功的開始，我們應(yīng)該積極主動去挖掘錯誤，剖析錯解，防止類似錯誤的再發(fā)生.教師要針對學生不同的解題錯誤，做到具體問題具體分析，設(shè)計合理的教學環(huán)節(jié)，靈活地采用適當?shù)摹熬垮e”方式、策略，引導學生學會探究、發(fā)現(xiàn)錯誤的原因，走向理解：可以反思總結(jié)錯在何處，錯因分析；應(yīng)該怎么做，為何這樣做；能否一題多解，哪種方法更優(yōu)；能否變條件，變結(jié)論，多題一解；錯解剖析，有何感悟等.讓糾錯時的“究錯”成為一種習慣，成為一種能力，成為一種意識，能夠深化、強化、提升認知，提高對數(shù)學的理解、領(lǐng)悟、把握，使解題正確、解題成功成為一種必然.F