☉河南省商水縣第二高中 黃俊峰

以函數(shù)對(duì)稱性為視角的命題探究
——從函數(shù)的奇偶性說起

☉河南省商水縣第二高中 黃俊峰

對(duì)稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是高考的重要考查內(nèi)容，從內(nèi)容上來看函數(shù)的對(duì)稱性主要包括：軸對(duì)稱與中心對(duì)稱.

例如，奇函數(shù)和偶函數(shù)就是兩類特殊的對(duì)稱函數(shù)，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)稱區(qū)間，其中奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱.即奇函數(shù)在其定義域內(nèi)滿足f（-x）=-f（x），偶函數(shù)在其定義域內(nèi)滿足f（-x）=f（x）.

利用奇偶函數(shù)對(duì)稱性的相關(guān)結(jié)論?？珊?jiǎn)潔解題，如偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的最值相同、單調(diào)性相異；奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的最大值與最小值互為相反數(shù)，對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同等.

例1已知（fx）在其定義域R內(nèi)滿足（f-x）-（fx）=0，且在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a-1|）＞（f-），則a的取值范圍是______.

解析：由條件f（x）在其定義域R內(nèi)滿足f（-x）-f（x）=0知f（x）在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，則不等式可轉(zhuǎn)化為，即，所以|a-1|＜，解得

評(píng)注：本題的解答關(guān)鍵是由條件關(guān)系式f（-x）-f（x）= 0確定函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱，再利用偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相異及f（-x）=f（x）=f（|x|）列出不等關(guān)系進(jìn)行求解.

令，則F（X）是R上的奇函數(shù).

因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以F（X）min+ F（X）max=0.

因?yàn)镕（X）max=f（x）max-1=M-1，F(xiàn)（X）min=f（x）min-1=m-1，所以（M-1）+（m-1）=0，所以M+m=2.

除奇偶性這種特殊的對(duì)稱關(guān)系外，還有如下幾種對(duì)稱類型，下面舉例說明.

一、軸對(duì)稱

（1）若f（a-x）=f（a+x），則函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x= a對(duì)稱；

（2）若f（a-x）=f（b+x），則函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱.

例3（2015年福建）若函數(shù)f（x）=2|x-a|（a∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在［M，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值等于_______.

解析：由f（1+x）=f（1-x）得函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2|x-a|的圖像是由函數(shù)y=2|x|的圖像向右平移a個(gè)單位所得，而函數(shù)y=2|x|的對(duì)稱軸為y軸，故f（x）= 2|x-a|的對(duì)稱軸為x=a，所以a=1，則f（x）=2|x-1|.

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得f（x）在［1，+∞）上遞增，故m≥ 1.所以實(shí)數(shù)m的最小值等于1.

評(píng)注：由條件關(guān)系式可判斷函數(shù)的對(duì)稱軸，進(jìn)而確定出a的值是問題順利求解的關(guān)鍵.

例4定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x）=f（2-x）.若f（x）在區(qū)間［1，2］上是減函數(shù)，則f（x）（）.

A.在區(qū)間［-2，-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3，4］上是增函數(shù)

B.在區(qū)間［-2，-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3，4］上是減函數(shù)

C.在區(qū)間［-2，-1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3，4］上是增函數(shù)

D.在區(qū)間［-2，-1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3，4］上是減函數(shù)

圖1

解析：由f（x）=f（2-x）可知函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱.又因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（x-2），所以函數(shù)f（x）為周期函數(shù)且周期為2，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖像（如圖1）及在區(qū)間［1，2］上是減函數(shù)，知正確選項(xiàng)為B.

評(píng)注：注意對(duì)稱性與周期性的區(qū)別，若關(guān)系式兩邊括號(hào)內(nèi)的x的符號(hào)相同，則可得出函數(shù)的周期性；若兩邊括號(hào)內(nèi)的x的符號(hào)相反，則可得出函數(shù)的對(duì)稱性.本題求解中將偶函數(shù)與對(duì)稱性相結(jié)合得出函數(shù)的周期性.

例5已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x-4）= -f（x），且在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m＞0），在區(qū)間［-8，8］上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+ x2+x3+x4=（）.

A.-12B.-8C.-4D.4

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x-4）=-f（x），所以f（x-4）=f（-x），所以f（x）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，且f（0）=0.由f（x-4）=-f（x）知f（x-8）=f（x），所以函數(shù)f（x）是以8為周期的周期函數(shù).

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，所以f（x）在區(qū)間［-2，0］上也是增函數(shù).

如圖2所示，則方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間［-8，8］上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，由對(duì)稱性

圖2

同理x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

評(píng)注：本題求解中利用奇函數(shù)的性質(zhì)，將對(duì)稱性與周期性統(tǒng)一起來，得出函數(shù)的周期與對(duì)稱軸.

二、中心對(duì)稱

（1）若f（a-x）=-f（a+x），則f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱；

（2）若f（a-x）=-f（b+x），則f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

（3）若（fa-x）=2b-（fa+x），則（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱.

例6（2016年全國(guó)卷Ⅱ）已知函數(shù)（fx）（x∈R）滿足（f-x）=2-（fx），若函數(shù)y=與y=（fx）圖像的交點(diǎn)為（x，

1

A.0B.mC.2mD.4m

解析：由f（x）=2-f（x）得f（x）關(guān)于（0，1）對(duì)稱，而y=也關(guān)于（0，1）對(duì)稱，所以對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)

例7已知真命題“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)P（a、b）成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”.

（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

解析：（1）平移后圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x.

由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（1，-2）.

（2）設(shè)h（x）=log2的對(duì)稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）-b是奇函數(shù).

設(shè)f（x）=h（x+a）-b，則f（x）=log2，即f（x）=

任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1.

所以函數(shù)h（x）=log2圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（2，1）.

評(píng)注：本題考查了函數(shù)圖像及圖像的變換、奇偶函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握函數(shù)圖像平移變換法則及奇函數(shù)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

另外在處理有關(guān)函數(shù)對(duì)稱問題時(shí)要注意區(qū)分函數(shù)自身的對(duì)稱性與兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱性的區(qū)別.兩個(gè)函數(shù)間的對(duì)稱性主要包括：兩個(gè)函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱；兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱；兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線x= a對(duì)稱；兩個(gè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱等.F