☉江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué)南校 劉亞平

傾聽有收獲沿途真精彩
——一道課本習(xí)題的變式探究

☉江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué)南校 劉亞平

最近筆者在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中與學(xué)生一起處理了一道經(jīng)典老題，在教學(xué)中多次出現(xiàn)教學(xué)意外，筆者及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，重構(gòu)課堂動(dòng)態(tài)生成.期間師生多次經(jīng)歷了“行到水窮處”的窘境，“坐看云起時(shí)”的愉悅，演繹了一幕幕令大家流連忘返的精彩瞬間.

一、題目及標(biāo)準(zhǔn)答案

題目設(shè)a≥1，若對(duì)于任意x∈［1，2］，不等式x|x-a|+≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.，對(duì)不等式右邊進(jìn)行如下分類討論：

二、學(xué)生的意外

2.學(xué)生2的意外錯(cuò)誤

學(xué)生2采用“正難則反”的策略.原命題的否定是?x∈［1，2］，不等式x|x-a|+＜a有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為|x-a|＜有解，去掉絕對(duì)值整理得，?x∈［1，2］，使不等式組

1.學(xué)生1的意外困惑

標(biāo)準(zhǔn)答案雖然清晰明了，但學(xué)生1覺(jué)得有點(diǎn)畫蛇添足，因?yàn)閨x|＞a?x＞a或x＜a與|x|＜a?-a＜x＜a對(duì)一切a∈R都成立，直接去掉絕對(duì)值才是最好的通法，即直接進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)答案中的第（2）種情況，但求得a的取值范圍為1≤a≤（對(duì)不等式組右邊而言，x∈（1，2］）有解.要使此不等式組有解，只要使故，所以a的取值范圍為1≤ a≤所得a的范圍只是標(biāo)準(zhǔn)答案的充分不必要條件，但我弄不明白這種解法錯(cuò)誤出現(xiàn)在哪里？難道這種方法不能運(yùn)用？

3.學(xué)生3的意外想法

雖然標(biāo)準(zhǔn)答案及學(xué)生1、學(xué)生2的解法都是容易想到

的通性通法，但過(guò)程繁冗，根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)猜想此題還可以用數(shù)形結(jié)合法，但沒(méi)有找到合適的切入點(diǎn).

三、教師的困惑

1.發(fā)現(xiàn)學(xué)生1的隱情

師生一起仔細(xì)核對(duì)了學(xué)生1的運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算無(wú)誤.教師在迷茫之際，學(xué)生1的提示“把a(bǔ)=代入不等式驗(yàn)證

知道此方法是錯(cuò)誤的”令筆者茅塞頓開：能不能采用“特殊探路，巧解一般”的策略發(fā)現(xiàn)“隱情”？把a(bǔ)=代入a≤，解得≤x≤2，把a(bǔ)=代入a≥，解得1＜，兩者的解集的并集正好為（1，2］.于是揭示了學(xué)生1的錯(cuò)誤解法的“隱情”——把|x-a|≥對(duì)任意x∈［1，2］恒成立單獨(dú)分割成兩個(gè)不等式恒成立是錯(cuò)誤的，還應(yīng)包括兩個(gè)不等式a≤解集的并集為（1，2］的情況.

2.挖掘?qū)W生2的蹊蹺

3.探索學(xué)生3的猜想

在備課時(shí)，教師僅僅囿于成見標(biāo)準(zhǔn)答案，沒(méi)有多想能否運(yùn)用其他方法，當(dāng)學(xué)生3提出此猜想時(shí)，筆者心里有些內(nèi)疚與不安！俗話說(shuō)“解鈴還須系鈴人”.教師只好把問(wèn)題順勢(shì)交給學(xué)生，和學(xué)生一起多方嘗試，共同探索.在聆聽學(xué)生的想法與意見后，教師思路峰回路轉(zhuǎn)：只要把不等式x|x-a|+≥a變形為x|x-a|≥a-，再結(jié)合（fx）= x|x-a|，x∈［1，2］的圖像，求出（fx）的最小值即可.

四、教師的解惑

教師：不等式|x-a|≥對(duì)任意x∈［1，2］恒成立是否只等價(jià)于x-a≥對(duì)任意x∈［1，2］恒成立且xa≤-對(duì)任意x∈［1，2］恒成立？若不是，能否舉個(gè)反例？

教師：那能不能采用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行補(bǔ)救呢？

2.解惑學(xué)生2的蹊蹺

學(xué)生4：不正確，因?yàn)樵坏仁绞峭讲坏仁胶愠闪ⅲ皇钱惒讲坏仁胶愠闪?wèn)題.

教師：學(xué)生2的思路完全正確，但是通過(guò)求a的范圍時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤.哪位學(xué)生能說(shuō)明錯(cuò)誤的根源嗎？

學(xué)生4：不能在區(qū)間［1，2］上求它們的最值.

圖1

3.解惑學(xué)生3的猜想

（1）當(dāng)1≤a≤2時(shí)，fmi（nx）=（fa）=0≥a-，所以1≤a≤.

（2）當(dāng)a＞2時(shí)，fmin（x）=f（1）或f（2），只要使解得a≥.

五、教師的收獲

1.駐足意外，收獲精彩

葉瀾教授說(shuō)：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒(méi)有激情的行程.”在教學(xué)中教師在關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程、結(jié)果、理解問(wèn)題的深刻、情感態(tài)度的變化等時(shí)要學(xué)會(huì)打破教學(xué)預(yù)設(shè)，不要一味地被教學(xué)進(jìn)度或課前預(yù)設(shè)牽著走.對(duì)于回答正確的學(xué)生及時(shí)給予恰如其分的鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)，通過(guò)比較不同方法的優(yōu)劣，展示成果，讓學(xué)生產(chǎn)生成功的愉悅；對(duì)于回答錯(cuò)誤或不完整的學(xué)生，不要批評(píng)，更不要責(zé)難，要俯下身子耐心地傾聽學(xué)生的想法，細(xì)心體會(huì)他們的思維過(guò)程與方向，并給學(xué)生以恰到好處的提示與引導(dǎo)，幫助他們回到正確的思維軌道上；對(duì)于學(xué)生的“意外”提問(wèn)、“意外”困惑，教師不要心慌意亂，因?yàn)榫实恼n堂往往發(fā)生在預(yù)設(shè)之外，教師要機(jī)敏地?fù)渥降竭@種課程資源，通過(guò)巧妙追問(wèn)，或是討論交流，或是合作探究等，把真正的“生態(tài)課堂”的理念帶入常態(tài)課，收獲“平淡的”常態(tài)課無(wú)法收獲的精彩.

有些教學(xué)意外由學(xué)生自主學(xué)習(xí)很難完成，這就需要教師運(yùn)用靈活的教學(xué)機(jī)智創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生去嘗試，在思考嘗試中化教學(xué)“意外”為教學(xué)的“情理之中”，達(dá)成教學(xué)目標(biāo).為了順利幫助學(xué)生解決“教學(xué)意外”，教師就必須精心設(shè)計(jì)一些蘊(yùn)含著有思考力度又能獨(dú)立嘗試的數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建適宜的教學(xué)活動(dòng)，制造“沖突點(diǎn)”，激活思維.教師要大膽地把問(wèn)題的“嘗試權(quán)”“操作權(quán)”交給學(xué)生，讓學(xué)生自己去感知、去探索、去生成.或許教學(xué)過(guò)程曲折，花費(fèi)較多的教學(xué)時(shí)間，影響預(yù)定的教學(xué)進(jìn)度，但會(huì)使學(xué)生的思維更靈動(dòng)、印象更深刻、課堂更精彩.

2.消除困惑，打磨思維

本節(jié)課，學(xué)生有這么多的“意外”是筆者始料未及的，特別聽到學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的困惑與不解：“難道這種方法不對(duì)？”“難道這種方法不能運(yùn)用？”……更令筆者使命感與責(zé)任感陡增：若不幫助學(xué)生消除困惑中的“隱情”，通法就會(huì)變成“險(xiǎn)法”，遇到類似的問(wèn)題學(xué)生的思維就會(huì)畏首畏腳.教育家弗萊登塔爾指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)習(xí)的知識(shí)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái).”當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題后，教師要給予學(xué)

生充分的思考時(shí)間與空間，通過(guò)變換問(wèn)題的視角、轉(zhuǎn)換問(wèn)題的類型、變更問(wèn)題的背景等有效引導(dǎo)學(xué)生思考，審視“意外”，消除“困惑”，旨在提高學(xué)生的創(chuàng)造力，“打磨”靈活多變的思維.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）指出：“數(shù)學(xué)課程要講究邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動(dòng)，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想方法.”羅增儒教授提出：“通過(guò)有限的典型例題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.”這里的領(lǐng)悟解題的數(shù)學(xué)機(jī)智從某種意義上說(shuō)就是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的提煉.在解題教學(xué)中，如果教師僅僅停留在淺層次的分析上，沒(méi)有觸及問(wèn)題的本質(zhì)，那么容易造成學(xué)生探究問(wèn)題的膚淺性，解題能力就不會(huì)得到相應(yīng)的提高與發(fā)展，更談不上創(chuàng)造性地進(jìn)行求解.對(duì)數(shù)學(xué)思想理解的深度往往決定了學(xué)生思維方向及解法的優(yōu)劣.只有學(xué)生把握了問(wèn)題的本質(zhì)，才能提高數(shù)學(xué)概念、公式、定理等使用的效度、靈活度；才能有效提高學(xué)生自身發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；才能促使學(xué)生產(chǎn)生解決問(wèn)題的創(chuàng)造性的思路與方法，形成簡(jiǎn)捷、高效的解決方法.

3.創(chuàng)設(shè)探究，增長(zhǎng)能力

喬治·波利亞說(shuō)：“學(xué)習(xí)東西最好的途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它，最富成效的學(xué)習(xí)是自己去探索、去發(fā)現(xiàn).”《新課標(biāo)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.”作為數(shù)學(xué)教育工作者，教師一定要有搞好探究活動(dòng)的信念與意識(shí)，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生探究活動(dòng)的環(huán)境，激起學(xué)生探究問(wèn)題的欲望，讓學(xué)生在探究中“放飛思想”，快樂(lè)思考，不斷成長(zhǎng).

如果高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，每天重復(fù)在“講、練、考、評(píng)”中，那么承載高考負(fù)重的課堂就會(huì)沉悶沒(méi)活力，學(xué)生就會(huì)疲于奔命，進(jìn)而抑制學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.因此，教師要給復(fù)習(xí)課創(chuàng)設(shè)適時(shí)、適當(dāng)?shù)奶骄繖C(jī)會(huì)，并把對(duì)問(wèn)題的探究活動(dòng)交給學(xué)生，讓學(xué)生參與到知識(shí)生成的全過(guò)程，讓學(xué)生在有限的課堂牢固掌握知識(shí)的同時(shí)，獲得理性精神的給養(yǎng)，這無(wú)疑會(huì)增添學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力.若有必要，教師還可以用變式串當(dāng)堂體驗(yàn)探究得來(lái)的結(jié)論的運(yùn)用，使學(xué)生各個(gè)器官和思維充分動(dòng)起來(lái)，讓“生動(dòng)”的課堂真正生“動(dòng)”起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生如《新課標(biāo)》所倡導(dǎo)的“主動(dòng)參與、樂(lè)于研究、合作交流”，幫助學(xué)生在結(jié)論的提煉和習(xí)題的分析中體會(huì)數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì).這樣，學(xué)生在潛移默化中解題經(jīng)驗(yàn)得以積累，應(yīng)試能力得以提高，學(xué)習(xí)素養(yǎng)得以提升.

4.做好主導(dǎo)，共同發(fā)展

蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》一書中說(shuō)：“教師所知道的東西，就應(yīng)當(dāng)比他在課堂上要告訴的東西多十倍，以便能夠應(yīng)付自如地掌握教材，到了課堂上，能從大量的事實(shí)中選出最重要的來(lái)告訴.”只有這樣的告訴，才能使學(xué)生獲得“聽君一席話，勝讀十年書”的體驗(yàn).眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體.教師的主導(dǎo)作用，著眼于“導(dǎo)”，主要體現(xiàn)在“導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)研、導(dǎo)解”上；學(xué)生的主體作用，著眼于“做”，主要體現(xiàn)在“讀、說(shuō)、寫、講、解”上.教師的主導(dǎo)作用決定了教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、指導(dǎo)者與幫助者.有時(shí)，并不是所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)生都能獨(dú)立完成，這就需要教師的適時(shí)參與，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用.主導(dǎo)作用較強(qiáng)的教師可能會(huì)一下子看透問(wèn)題的本質(zhì)，講引有度、板書得當(dāng)、詳略有別、重點(diǎn)突出，教學(xué)效率較高；主導(dǎo)作用較弱的教師可能懵懵懂懂，抓不住本質(zhì)，分不清主次，找不準(zhǔn)問(wèn)題的突破口，帶領(lǐng)學(xué)生原地繞圈子，影響教學(xué)效率.

在教師的專業(yè)發(fā)展中，知識(shí)無(wú)疑處于核心地位，一名數(shù)學(xué)教師是否具備扎實(shí)的學(xué)科專業(yè)知識(shí)對(duì)于教學(xué)的有效性至關(guān)重要.然而并非具備了充足的數(shù)學(xué)知識(shí)就能成為一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，因?yàn)閷W(xué)生不是容器，教師的知識(shí)再多，學(xué)生不一定成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的受益者，因?yàn)楦咝У臄?shù)學(xué)課堂教學(xué)還需要教師的幽默的教學(xué)語(yǔ)言、先進(jìn)的教學(xué)理念、嫻熟的教學(xué)技能等協(xié)助實(shí)施；甚至還需要具有針對(duì)特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)，即懂得如何表述、呈現(xiàn)、解釋數(shù)學(xué)內(nèi)容，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

數(shù)學(xué)教師在師范院校所學(xué)習(xí)的主要是數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，以及一些教育學(xué)、心理學(xué)等知識(shí).雖然有數(shù)學(xué)教學(xué)論這門課，但也只是“數(shù)學(xué)案例”與教學(xué)論的簡(jiǎn)單結(jié)合，這對(duì)于教師形成學(xué)科教學(xué)知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要成為一名優(yōu)秀的主導(dǎo)者，教師除養(yǎng)成善于解題、樂(lè)于解題外，還需要多讀書，多聽名家講座，甚至通過(guò)進(jìn)修學(xué)習(xí)和撰寫論文等途徑來(lái)提升教學(xué)素養(yǎng).

1.謝尚志.評(píng)課，重在賞析貴在思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（12）.

2.劉亞平.追溯“缺失”讓學(xué)生的思維自然地流淌——從一道“不該”做錯(cuò)的考題說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（3）.

3.劉亞平.運(yùn)用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提升數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（5）.F