☉江蘇省射陽縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)陳建生

基于學(xué)情組織“題”材，預(yù)設(shè)鋪墊注重追問
——以“一元二次方程”章末復(fù)習(xí)課為例

☉江蘇省射陽縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)陳建生

章末復(fù)習(xí)課是一種重要課型，教材上往往只是簡略的全章知識(shí)框圖與幾點(diǎn)復(fù)習(xí)提醒，接著就是全章復(fù)習(xí)題.這就給老師們留下了豐富的開發(fā)空間，需要認(rèn)真思考和組織教學(xué)內(nèi)容，然后預(yù)設(shè)教學(xué)互動(dòng)，這其中最重要的就是認(rèn)真構(gòu)思“教什么”.本文結(jié)合新近一次執(zhí)教一元二次方程章末復(fù)習(xí)課的研討課經(jīng)歷，梳理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，反思教學(xué)收獲，供研討.

一、一元二次方程章末復(fù)習(xí)課教學(xué)流程

（一）復(fù)習(xí)引入

實(shí)際問題：用一根長為120cm的鐵絲制成一個(gè)矩形，當(dāng)矩形的面積等于500cm2時(shí)，該怎樣設(shè)計(jì)矩形的邊長呢？（只要求設(shè)未知數(shù)，列方程）

預(yù)設(shè)問題：所列方程是哪一種類型？你認(rèn)為怎樣解這個(gè)方程速度更快？你更習(xí)慣哪種解法，理由是什么？有人提出矩形的面積有最大值，你是如何思考的？你還能提出哪些新的數(shù)學(xué)問題？

（二）構(gòu)建全章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

預(yù)設(shè)：要求學(xué)生結(jié)合教材上的小結(jié)內(nèi)容繪出全章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.要求把一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理的內(nèi)容也一并構(gòu)建起來.

預(yù)設(shè)意圖：本節(jié)課的復(fù)習(xí)以一個(gè)實(shí)際問題為切入口，首先讓學(xué)生解決實(shí)際問題，然后由解這個(gè)實(shí)際問題得到的方程作為展開新課的引線.在知識(shí)回顧時(shí)，運(yùn)用開放式的問題設(shè)計(jì)，讓學(xué)生自主回憶所學(xué)知識(shí)，再相互補(bǔ)充完善，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突出了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生的反思能力、概括能力、問題意識(shí)及創(chuàng)新精神.當(dāng)然，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)十分開放，具有不可預(yù)測(cè)性，教學(xué)過程中要做好各種預(yù)案準(zhǔn)備.

（三）典例講評(píng)

例1選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?，并把答案及選擇的方法與同學(xué)交流：

（1）x2-4x+1=0；（2）3x2-6x+1=0；

（3）（x-1）（x+2）=2（x+2）；（4）2x2-x-6=0.

預(yù)設(shè)意圖：熟練地解一元二次方程是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，一元二次方程的三種解法各有優(yōu)點(diǎn)，正確選擇的前提是熟練掌握三種解法，途徑就是多練習(xí).這里讓學(xué)生先實(shí)踐后比較，通過比較提高解一元二次方程的能力.

例2已知關(guān)于x的方程x2-2x+a=0.

（1）如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1、x2.

①如果x12+x22=7，求（x1-x2）2的值；的值.

預(yù)設(shè)意圖：根的判別式及韋達(dá)定理是一元二次方程中的重要內(nèi)容，也是后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，因此，教學(xué)中有必要作一些補(bǔ)充和拓展.由于這兩個(gè)定理具有非常密切的聯(lián)系，所以這里把兩個(gè)定理融合在一個(gè)問題中.在設(shè)計(jì)的問題中，既有兩根的對(duì)稱式，又有非對(duì)稱式，在方法上有不同的方法供選擇，在數(shù)學(xué)思想上分別蘊(yùn)含了化歸、降次、整體等重要思想和方法.

例3（1）①繼續(xù)完成引例中的問題.

②當(dāng)圍成的矩形面積等于900cm2時(shí)，矩形的長和寬分別是多少？

③圍成的矩形面積能夠無限大嗎？請(qǐng)解釋你的結(jié)論.

（2）如圖1，在△ABC中，AC= BC=13cm，AB=10cm，CH是底邊AB上的高，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)H開始沿HC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).假設(shè)P、Q分別從A、H同時(shí)出發(fā).

①幾秒鐘后，PQ的長度等于5cm？

②△PHQ的面積能否等于6cm2嗎？如能可能，求出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；如果不能，說明理由.

圖1

預(yù)設(shè)意圖：利用一元二次方程解決實(shí)際問題是本章的基本教學(xué)目標(biāo).第1小題解決引例中留下來的問題，第2小題是圖形變化問題.運(yùn)動(dòng)變化是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念和思維能力的重要途徑，一直是近幾年來中考中的熱點(diǎn).運(yùn)動(dòng)變化通常與方程知識(shí)聯(lián)系起來.這里以行程問題為背景，考查解一元二次方程、根的判別式、勾股定理等數(shù)學(xué)知識(shí)和分類討論、轉(zhuǎn)化、運(yùn)動(dòng)變化數(shù)學(xué)思想方法.作為本課一道重要例題，我們利用PPT的動(dòng)畫呈現(xiàn)功能，漸次呈現(xiàn)相關(guān)設(shè)問與追問設(shè)計(jì)，不妨選取其中一頁P(yáng)PT截圖（如圖2）：

如圖1，在△ABC中，AC=BC=13cm，AB=10cm，CH是底邊AB上的高，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)H開始沿HC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).假設(shè)P、Q分別從A、H同時(shí)出發(fā).

圖2

（四）小結(jié)與訓(xùn)練檢測(cè)

組織學(xué)生先在小組內(nèi)交流本章復(fù)習(xí)中的一些心得或解題經(jīng)驗(yàn)，然后對(duì)本章的重要內(nèi)容進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)反饋.

（1）關(guān)于x的一元二次方程（m+1）xm2+1+4x+2=0的解為（）.

A.x1=1，x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.無解

（2）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，每件售價(jià)由原來的55元降到了35元.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，可以列出方程：________.

（3）已知關(guān)于x的方程kx2+（2k-1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，則k的取值范圍是___________..

（4）已知x1、x2為方程x2+3x+1=0的兩實(shí)根，則x12+8x2+ 20=__________.

（5）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2.

①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

②當(dāng)x12-x22=0時(shí)，求m的值.

設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)橄迺r(shí)5分鐘左右的當(dāng)堂檢測(cè)，故前4題設(shè)計(jì)成選擇與填空，讓速度較快的學(xué)生可以在草稿上迅速貫通思路，獲得解答，而第5題需要展示解題過程.通常設(shè)置成100分，每小題20分，鼓勵(lì)學(xué)生向上挑戰(zhàn).

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.深刻理解全章重、難點(diǎn)，結(jié)合學(xué)情組織教學(xué)內(nèi)容

在定位章末復(fù)習(xí)課時(shí)，首要的是基于理解數(shù)學(xué)的高度，準(zhǔn)備理解全章的教學(xué)重點(diǎn)、辨析教學(xué)難點(diǎn)，比如需要學(xué)生了解全章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步熟練掌握一元二次方程的解法，能夠利用根的判別式和韋達(dá)定理解決與一元二次方程的根有關(guān)的問題；能夠利用一元二次方程解決實(shí)際問題及圖形運(yùn)動(dòng)問題.同時(shí)還要結(jié)合之前新授課期間的教學(xué)反饋與學(xué)情理解，進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的取舍，特別是對(duì)相關(guān)例、習(xí)題的取舍，比如學(xué)情整體水平較高時(shí)，一些過于基礎(chǔ)的習(xí)題可以適當(dāng)放棄，以變式、拓展問題為主，而如果班級(jí)學(xué)情基礎(chǔ)偏差，則應(yīng)該以基礎(chǔ)題、中檔題為主.

2.預(yù)設(shè)問題鋪墊與追問，注重全員參與兼顧拓展

在入選教學(xué)內(nèi)容的例、習(xí)題確定之后，特別是預(yù)設(shè)作為重點(diǎn)講評(píng)的例題時(shí)，除了解題過程要認(rèn)真思考、貫通思路，一個(gè)重要的備課追求就是：要針對(duì)相關(guān)例題構(gòu)思條件與設(shè)問如何呈現(xiàn)，出現(xiàn)的時(shí)機(jī)怎樣把握，在突破問題難點(diǎn)時(shí)設(shè)計(jì)哪些追問，當(dāng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)問題有較好的理解時(shí)，怎么適時(shí)把問題向縱深追問，等等.這些都是課前對(duì)于例、習(xí)題備課時(shí)的一些必要構(gòu)思.比如，在上面的課例中，我們不僅預(yù)設(shè)了例題和設(shè)計(jì)意圖，還提供了一頁P(yáng)PT的截圖，展示了如何引導(dǎo)學(xué)生思考，以便順利突破問題的關(guān)鍵點(diǎn).這樣的教學(xué)努力，除了讓學(xué)生學(xué)會(huì)課上的一道例題，同時(shí)還滲透了解決難題的一種方法：學(xué)會(huì)解讀條件，發(fā)揮條件的價(jià)值.

3.安排變式練習(xí)與檢測(cè)，重視課堂聽講效果反饋

對(duì)于章末復(fù)習(xí)課，為了有效檢測(cè)復(fù)習(xí)效果和反饋聽講效果，有必要在課堂最后設(shè)計(jì)當(dāng)堂檢測(cè)環(huán)節(jié)，而對(duì)于檢測(cè)題的設(shè)計(jì)也是備課時(shí)的重點(diǎn)與難點(diǎn).比如，關(guān)于檢測(cè)題的題型，需要根據(jù)測(cè)試時(shí)間靈活選配或編創(chuàng)，如果檢測(cè)時(shí)間預(yù)設(shè)在5分鐘左右的限時(shí)練習(xí)，則一般只能有5道題，前3~4題安排填空或選擇，學(xué)生不必展示過程，特別是5道習(xí)題要針對(duì)全章的重點(diǎn)選配，最好能與本課中重點(diǎn)講評(píng)的、提及的例、習(xí)題的類型高度對(duì)應(yīng)，這樣才能起到當(dāng)堂練習(xí)、聽課效果反饋的檢測(cè)目的.

三、寫在最后

張奠宙教授關(guān)于“復(fù)習(xí)課”的教學(xué)曾有“感嘆”：公開課、示范課中常見到的是新授課教學(xué)，鮮見復(fù)習(xí)課的課型.《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）近兩年關(guān)于章節(jié)起始課、單元教學(xué)的起始課的教學(xué)案例也逐漸豐富起來，我們關(guān)于章節(jié)復(fù)

習(xí)課的教學(xué)研討還不多見，本文拋磚引玉，期待更多教學(xué)案例的跟進(jìn)展示.

1.章建躍.如何實(shí)現(xiàn)“思維的教學(xué)”——以“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（4）.

2.張誠，張成品.經(jīng)營“轉(zhuǎn)場(chǎng)”：讓教學(xué)環(huán)節(jié)過渡自然——《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2015年1~3月讀刊隨筆［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.

3.季衛(wèi)東.變式取向：從“標(biāo)準(zhǔn)模式”到“非標(biāo)準(zhǔn)模式”——以“軸對(duì)稱最值問題”解題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.

4.許衛(wèi)兵.簡約：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)理性回歸［J］.課程·教材·教法，2009，29（5）.

5.鄭毓信.開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（3）.Z