☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)居紅蘭

解后反思明結(jié)構(gòu)，變式改編重反饋
——2016年中考天津卷第25題思路突破與教學(xué)思考

☉江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)居紅蘭

近一段時(shí)間，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）關(guān)于中考?jí)狠S題的研究文章中，有好幾篇涉及拋物線準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的性質(zhì)，雖然考題沒有明確提出相關(guān)概念，但是如果熟悉拋物線準(zhǔn)線、焦點(diǎn)性質(zhì)，則往往能夠快速貫通思路，洞察問題結(jié)構(gòu).筆者在研習(xí)各地中考試卷題后，發(fā)現(xiàn)2016年天津中考數(shù)學(xué)試題最后一道壓軸題也蘊(yùn)含了準(zhǔn)線、焦點(diǎn)性質(zhì).本文先梳理該題的解題思路，并給出教學(xué)思考和變式改編，供研討.

一、考題及思路突破

考題（2016年中考天津，第25題）已知拋物線C：y= x2-2x+1的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)

（1）求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo).

（2）將拋物線C向上平移得拋物線C′，點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，且FQ′=OQ′.

①求拋物線C′的解析式；

②由于點(diǎn)A在拋物線C′上，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為若點(diǎn)P關(guān)于直線Q′F的對(duì)稱點(diǎn)為K，射線FK與拋物線C′相交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

思路突破：

（1）根據(jù)拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，可以直接寫出點(diǎn)Q（0，1），本質(zhì)上就是令x=0，求出拋物線與y軸的交點(diǎn).再把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，y=x2-2x+1=（x-1）2，即頂點(diǎn)P（1，0）.

（2）①設(shè)平移后的拋物線C′的解析式為y=x2-2x+m，可得Q′（0，m），其中m＞1，即OQ′=m，結(jié)合過F作 FH⊥OQ′，垂足為H，如圖1.

圖1

圖2

易得AN=yA-yN，其中yA＞n，連接FP.結(jié)合P（1，0），所以FP⊥x軸，所以FP∥AN，則∠ANF=∠PFN.連接PK，則直線Q′F是線段PK的垂直平分線.則∠PFN=∠AFN，所以∠ANF=∠AFN，則AF=AN.

二、解后反思

上面著重解析了考題的思路，以下再就該題一些易

錯(cuò)點(diǎn)及問題的深層結(jié)構(gòu)進(jìn)行解后反思.

1.構(gòu)圖不準(zhǔn)導(dǎo)致思路受阻

無圖問題構(gòu)圖不準(zhǔn)，需要不斷調(diào)整草圖構(gòu)造，使得精準(zhǔn)圖形啟發(fā)思路，比如筆者開展解題教學(xué)時(shí)，就有學(xué)生構(gòu)造出如下一些嚴(yán)重不準(zhǔn)的草圖（如圖3和圖4），導(dǎo)致思路受阻不能進(jìn)展.

圖3

圖4

在圖3中，由于Q′F與Q′O嚴(yán)重不等，影響思路；圖4中，點(diǎn)N的位置與落在x軸上的點(diǎn)N位置相去甚遠(yuǎn)，影響了求解方向的獲得，使得不少學(xué)生解題念頭缺少，方向不明，從而不能順利解題.

2.洞察考題的深層結(jié)構(gòu)：拋物線準(zhǔn)線、焦點(diǎn)蘊(yùn)藏“題”中

有高中拋物線準(zhǔn)線、焦點(diǎn)知識(shí)儲(chǔ)備（拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線和焦點(diǎn)距離相等）的人應(yīng)該知道，該題中第2條拋物線C′的準(zhǔn)線、焦點(diǎn)都出現(xiàn)了，即點(diǎn)F為該拋物線的焦點(diǎn)，x軸恰為該拋物線的準(zhǔn)線.因?yàn)榭碱}通過一系列的包裝，使得準(zhǔn)線與焦點(diǎn)躲藏得很深、很隱蔽.從拋物線準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的高度再“居高臨下”看第（2）問的兩個(gè)小問，就能發(fā)現(xiàn)它們都是基于高觀點(diǎn)包裝起來的考題.我們可把圖2簡化為圖5，這樣更容易看清這條拋物線的準(zhǔn)線與焦點(diǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)A只要在拋物線上，一定有AF=AN.這也就看清了我們在上面花費(fèi)很多精力探究出N點(diǎn)落在x軸上的原因.也說明數(shù)學(xué)上很多偶然或巧合，背后往往有其必然.

圖5

三、教學(xué)思考

1.無圖考題細(xì)思考，精心構(gòu)圖獲方向

研究各地中考試題總會(huì)有這樣的體會(huì)，如果考題涉及函數(shù)圖像或是以函數(shù)圖像為載體的綜合題，又涉及幾何性質(zhì)中，無圖考題不是很多，但很多時(shí)候這類考題一旦“上場”，威力、殺傷力極大.主要原因就是學(xué)生的構(gòu)圖能力，根據(jù)題意明辨題目中的條件與結(jié)論的能力還有待提升.這里不妨提及民國時(shí)期傅仲孫先生自編的“平面幾何教本”，內(nèi)中占比70%以上的無圖幾何題，不僅重視歐氏幾何公理體系、演繹證明的教學(xué)，對(duì)根據(jù)幾何語言學(xué)生能畫出的圖形，都要求畫圖、作圖后再求解.而對(duì)比當(dāng)下的各種版本的幾何教材，那種對(duì)學(xué)生的“關(guān)愛”之心，演變成了圖形都幫助學(xué)生畫好了，只要在圖形上分析、演算或證明即可，說得極端一點(diǎn)，長此以往，孩子們的幾何素養(yǎng)卻會(huì)因?yàn)椤拔覑勰?，所以幫助你畫好圖”而走下坡路.

2.解后反思高觀點(diǎn)，洞察結(jié)構(gòu)善積累

羅增儒教授反復(fù)指出，解題教學(xué)如果缺少解后反思環(huán)節(jié)，則是“入寶山而空返”.反思階段除了對(duì)問題開展必要的一題多解、殊途同歸的探究，還需要站到高觀點(diǎn)思考多種解法的合理性、一致性、和諧性，特別是站在階段“制高點(diǎn)”全局性地分析問題的深層結(jié)構(gòu).如天津考題的結(jié)構(gòu)是拋物線的準(zhǔn)線與焦點(diǎn)的問題，如果一眼洞察問題結(jié)構(gòu)，則接下來的很多分析都是水道渠成、自然而然的.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，一些優(yōu)秀學(xué)生解題能力之所以快而準(zhǔn)，根本原因還是在于他們積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、基本圖形及其性質(zhì)比其他同學(xué)要多得多.

3.教學(xué)預(yù)設(shè)重互動(dòng)，追問生成靠對(duì)話

選用這類較難考題開展解題時(shí)，追求所謂的“一題一課”是很有意義的.《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）最近兩年有大量的“一題一課”課例，讀來深受教益.這些課例匠心獨(dú)運(yùn)的設(shè)計(jì)，使得這些課例文章可以成為我們備課的素材，有些甚至都可直接做成PPT加以選用.特別是，這些課例有一個(gè)重要特點(diǎn)：在預(yù)設(shè)師生活動(dòng)時(shí)，十分重視預(yù)設(shè)學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的互動(dòng)式問題，使得學(xué)生在對(duì)話中“生成”很多新的觀點(diǎn)或思想.

四、變式改編

作為本文的結(jié)束，本著命題研究的興趣，對(duì)天津考題給出一道變式改編題，供分享，也可作為講評(píng)天津考題之后的效果檢測.

變式改編：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y= -x2+2x-1的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為Q，定點(diǎn)

（1）連接FQ，求tan∠FQO的值.

（2）將拋物線y=-x2+2x-1向下平移得到一條新拋物線，設(shè)點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，且點(diǎn)Q′到定點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)Q′到x軸的距離.

①求Q′的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)P關(guān)于直線Q′F的對(duì)稱點(diǎn)為M，射線FM與新拋物線相交于點(diǎn)A，求點(diǎn)AF的長.

1.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

2.鐘啟泉.讀懂課堂［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.Z