☉重慶市九龍坡區(qū)教師進修學院周建玲☉重慶高新育才學校陳立

一題多解與數(shù)學發(fā)散思維的培養(yǎng)

☉重慶市九龍坡區(qū)教師進修學院周建玲
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發(fā)散思維又叫輻散思維、求異思維，是由美國心理學家J·P吉爾福特作為與創(chuàng)造性有密切關系的重要思考方法而提出的.它是指人們從不同角度、不同方向尋找解題途徑的一種思維形式.它包括橫向、逆向及多向思維.發(fā)散思維是創(chuàng)造思維的主要成分，其主要特點表現(xiàn)在求異、奇特、想象豐富和不尋常規(guī).正如徐利治先生在《數(shù)學方法論選講》中給出的這樣一個公式：創(chuàng)造力=知識+發(fā)散思維能力，可見培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力是發(fā)展學生創(chuàng)造能力的重要方面.發(fā)散思維是靈活運用知識解決問題所必需的，更是迎接信息時代，適應未來生活所應具備的能力.下面主要談談用一題多解來培養(yǎng)學生的發(fā)散思維.

一、一題多解與學生的發(fā)散思維

1.培養(yǎng)學生發(fā)散思維的重要性

古人云：“授人以漁，則終生受用無窮.”是說教師在教學中，要重視發(fā)展學生的智力，培養(yǎng)學生的能力，而思維能力是各種能力的基礎，是發(fā)展智力的核心.所以在教學中培養(yǎng)學生的思維能力是一項重要的教學任務.傳統(tǒng)的教育過分強調聚合思維，而忽視發(fā)散思維的教學，這不利于對學生的創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng).教學中教師要有意識地對學生進行發(fā)散思維訓練，可以發(fā)展學生思維的流暢性、變通性和創(chuàng)造性，使他們的思路開闊、靈活多變.

2.一題多解在數(shù)學教學中的作用

波利亞認為：“中學數(shù)學的首要任務就是加強解題的訓練，掌握數(shù)學就意味著擅長解題.”因此，應思考如何把原來的題目變成“長流活水”，激發(fā)學生把問題想得深、想得廣，使學生更加善于解題，而一題多解在中學數(shù)學教學中的作用是舉足輕重的［6］.一題多解能夠引導學生學會思考，學會從多個角度去分析問題，取得問題的最優(yōu)解答，從而拓展解題思路，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，拓展學生的知識面，使學生牢固掌握基礎知識和基本技能，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，鍛煉學生的發(fā)散思維能力，提高其思維的敏捷性，而且還可以訓練其思維的深度和廣度，是一種行之有效的思維訓練方法.一題多解對發(fā)散思維的培養(yǎng)有著重要的作用，下面舉例說明.

（1）代數(shù)中用一題多解來培養(yǎng)中學生的發(fā)散思維.

解法1：（展開法）由條件可得（b-c）2=4（a-b）（c-a）.

即b2+c2-2bc-4ac+4a2+4bc-4ab=0，于是有（b+c-2a）2= 0.

解法2：（插值法）由于b-c=（b-a）+（a-c），則由已知可得［（b-a）+（a-c）］2=4（a-b）（c-a）.

則（b-a）2+（a-c）2-2（b-a）（a-c）=0，則［（b-a）-（ac）］2=0.

同解法1可得結果.

解法3：（換元法）設a-b=x，c-a=y，則x+y=c-b.

解法4：利用判別式構造一元二次方程.

若a-b≠0，構造一元二次方程（a-b）x2+（b-c）x+（ca）=0.

由Δ=（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，得此方程有兩個相等的實數(shù)根.觀察此方程有一根為x=1.則方程的兩根為x1= 1，x2=1.

解法5：利用x+y=a、xy=b構造一元二次方程.

設A=a-b，B=c-a.

則A+B=c-b，AB=（a-b）（c-a）.

構造一元二次方程x2-（c-b）x+（a-b）（c-a）=0.

由Δ=（c-b）2-4（a-b）（c-a）=0，得方程有兩個相等的實數(shù)根.

可見，發(fā)散思維是同一問題從不同角度來思考的一種思維形式.同一問題從不同角度去思考，不同的思路去考慮，但最后都能得出同樣的結果.上例用了換元法、構造法、轉化法等數(shù)學思想方法，綜合運用了多方面的知識，對學生綜合運用各方面的知識、拓寬知識面有很大的幫助.因此，如果學生一道題用多種方法來解答，那么在解答過程中，就無形中培養(yǎng)了學生的思維能力，特別是培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維能力.

（2）平面幾何中用一題多解來培養(yǎng)中學生的發(fā)散思維.

例2已知：△ABC中，D、E分別為BC、AD的中點，BE的延長線交AC于點F，求證

證法1：如圖1，過D作BF的平行線交AC于M.

由BD=CD，得FM=MC.

由AE=ED，得AF=FM.

則AF=FM=MC.

圖1

證法2：如圖1，取FC的中點M，連接DM.

由BD=CD，F(xiàn)M=CM，得DM∥BF.又AE=DE，則AF= FM=CM，即

證法3：如圖2，過C作DA的平行線交BA的延長線于M，交BF的延長線于N.

由BD=CD，得BA=AM.由AE=ED，得CN=NM.即CA、BN是△BCM的兩條中線.

圖2

證法4：如圖3，在△AFE、△BCF和△BDE中，由正弦定理得

圖3

可見，幾何的一題多解所涉及的知識面較廣，不僅鞏固了基礎知識和基本技能的學習，還開拓了學生的思路，培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維能力，特別是發(fā)散思維能力.

二、一題多解培養(yǎng)學生發(fā)散思維應注意的問題

一道題用幾種解法解完后，應引導學生對幾種解法進行比較，優(yōu)化思維過程，并不斷進行分析、比較和概括，提煉出更好的、更典型的解題方法或改進，使學生在比較各種解法優(yōu)劣之際，加深對學科本質的深刻理解，促進思維能力的發(fā)展.在當前數(shù)學教學中，忽視發(fā)散思維訓練的傾向表現(xiàn)得極為嚴重，尤其在解題教學過程中更缺乏發(fā)散思維能力的訓練.教師喜歡用自己的思路去限制或代替學生大腦思維中可能出現(xiàn)的獨特新穎的思考方法，使學生思維方式保守、缺乏創(chuàng)造性.因此，教師應當注意每當學生想出一種解法時，不論解法正確還是錯誤，都應當給予肯定和鼓勵.若學生的解法有問題，不但要幫助他們找到問題的癥結，更要肯定他們思維的合理成分，從而進一步鼓勵他們繼續(xù)探索.

三、結論

在數(shù)學教學中，我們應該重視一題多解與發(fā)散思維，特別是用一題多解來培養(yǎng)提高中學生的發(fā)散思維能力.老師要教會學生一道題并不難，但是要真正讓學生解決好一個問題、掌握好一種思維方法和一種有效的思維策略就不容易了.為落實立德樹人的根本任務，多方面培養(yǎng)學生的思維方式很有必要，利用一題多解來培養(yǎng)中學生的發(fā)散思維也很有必要，它同時也是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的一個重要組成部分.

1.鄭元昌.發(fā)散思維訓練例談［J］.教學與管理，2005（9）.

2.杜剛慶.一題多解激活思維［J］.理科愛好者，2003（24）.

3.易同祥.開拓思路一題多解［J］.小學生課程輔導（數(shù)學輔導版），2004（11）.

4.梁佃斌，張迎軍.發(fā)散思維在解題中應用［J］.內蒙古教育，2004（12）.

5.蘭忠宏.感悟一題多解培養(yǎng)發(fā)散思維［J］.理科考試研究（初中版），2005，12（3）.

6.王千.如何認識一題多解的教育功能［J］.數(shù)學通報，2004（11）.Z