☉重慶市九龍坡區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院周建玲☉重慶高新育才學(xué)校陳立

一題多解與數(shù)學(xué)發(fā)散思維的培養(yǎng)

☉重慶市九龍坡區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院周建玲
☉重慶高新育才學(xué)校陳立

發(fā)散思維又叫輻散思維、求異思維，是由美國(guó)心理學(xué)家J·P吉爾福特作為與創(chuàng)造性有密切關(guān)系的重要思考方法而提出的.它是指人們從不同角度、不同方向?qū)ふ医忸}途徑的一種思維形式.它包括橫向、逆向及多向思維.發(fā)散思維是創(chuàng)造思維的主要成分，其主要特點(diǎn)表現(xiàn)在求異、奇特、想象豐富和不尋常規(guī).正如徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》中給出的這樣一個(gè)公式：創(chuàng)造力=知識(shí)+發(fā)散思維能力，可見(jiàn)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方面.發(fā)散思維是靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題所必需的，更是迎接信息時(shí)代，適應(yīng)未來(lái)生活所應(yīng)具備的能力.下面主要談?wù)動(dòng)靡活}多解來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

一、一題多解與學(xué)生的發(fā)散思維

1.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的重要性

古人云：“授人以漁，則終生受用無(wú)窮.”是說(shuō)教師在教學(xué)中，要重視發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，而思維能力是各種能力的基礎(chǔ)，是發(fā)展智力的核心.所以在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是一項(xiàng)重要的教學(xué)任務(wù).傳統(tǒng)的教育過(guò)分強(qiáng)調(diào)聚合思維，而忽視發(fā)散思維的教學(xué)，這不利于對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng).教學(xué)中教師要有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練，可以發(fā)展學(xué)生思維的流暢性、變通性和創(chuàng)造性，使他們的思路開(kāi)闊、靈活多變.

2.一題多解在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

波利亞認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)就意味著擅長(zhǎng)解題.”因此，應(yīng)思考如何把原來(lái)的題目變成“長(zhǎng)流活水”，激發(fā)學(xué)生把問(wèn)題想得深、想得廣，使學(xué)生更加善于解題，而一題多解在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是舉足輕重的［6］.一題多解能夠引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)從多個(gè)角度去分析問(wèn)題，取得問(wèn)題的最優(yōu)解答，從而拓展解題思路，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，拓展學(xué)生的知識(shí)面，使學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力，提高其思維的敏捷性，而且還可以訓(xùn)練其思維的深度和廣度，是一種行之有效的思維訓(xùn)練方法.一題多解對(duì)發(fā)散思維的培養(yǎng)有著重要的作用，下面舉例說(shuō)明.

（1）代數(shù)中用一題多解來(lái)培養(yǎng)中學(xué)生的發(fā)散思維.

解法1：（展開(kāi)法）由條件可得（b-c）2=4（a-b）（c-a）.

即b2+c2-2bc-4ac+4a2+4bc-4ab=0，于是有（b+c-2a）2= 0.

解法2：（插值法）由于b-c=（b-a）+（a-c），則由已知可得［（b-a）+（a-c）］2=4（a-b）（c-a）.

則（b-a）2+（a-c）2-2（b-a）（a-c）=0，則［（b-a）-（ac）］2=0.

同解法1可得結(jié)果.

解法3：（換元法）設(shè)a-b=x，c-a=y，則x+y=c-b.

解法4：利用判別式構(gòu)造一元二次方程.

若a-b≠0，構(gòu)造一元二次方程（a-b）x2+（b-c）x+（ca）=0.

由Δ=（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，得此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.觀察此方程有一根為x=1.則方程的兩根為x1= 1，x2=1.

解法5：利用x+y=a、xy=b構(gòu)造一元二次方程.

設(shè)A=a-b，B=c-a.

則A+B=c-b，AB=（a-b）（c-a）.

構(gòu)造一元二次方程x2-（c-b）x+（a-b）（c-a）=0.

由Δ=（c-b）2-4（a-b）（c-a）=0，得方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

可見(jiàn)，發(fā)散思維是同一問(wèn)題從不同角度來(lái)思考的一種思維形式.同一問(wèn)題從不同角度去思考，不同的思路去考慮，但最后都能得出同樣的結(jié)果.上例用了換元法、構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法等數(shù)學(xué)思想方法，綜合運(yùn)用了多方面的知識(shí)，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面的知識(shí)、拓寬知識(shí)面有很大的幫助.因此，如果學(xué)生一道題用多種方法來(lái)解答，那么在解答過(guò)程中，就無(wú)形中培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，特別是培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.

（2）平面幾何中用一題多解來(lái)培養(yǎng)中學(xué)生的發(fā)散思維.

例2已知：△ABC中，D、E分別為BC、AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，求證

證法1：如圖1，過(guò)D作BF的平行線交AC于M.

由BD=CD，得FM=MC.

由AE=ED，得AF=FM.

則AF=FM=MC.

圖1

證法2：如圖1，取FC的中點(diǎn)M，連接DM.

由BD=CD，F(xiàn)M=CM，得DM∥BF.又AE=DE，則AF= FM=CM，即

證法3：如圖2，過(guò)C作DA的平行線交BA的延長(zhǎng)線于M，交BF的延長(zhǎng)線于N.

由BD=CD，得BA=AM.由AE=ED，得CN=NM.即CA、BN是△BCM的兩條中線.

圖2

證法4：如圖3，在△AFE、△BCF和△BDE中，由正弦定理得

圖3

可見(jiàn)，幾何的一題多解所涉及的知識(shí)面較廣，不僅鞏固了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)，還開(kāi)拓了學(xué)生的思路，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是發(fā)散思維能力.

二、一題多解培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維應(yīng)注意的問(wèn)題

一道題用幾種解法解完后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾種解法進(jìn)行比較，優(yōu)化思維過(guò)程，并不斷進(jìn)行分析、比較和概括，提煉出更好的、更典型的解題方法或改進(jìn)，使學(xué)生在比較各種解法優(yōu)劣之際，加深對(duì)學(xué)科本質(zhì)的深刻理解，促進(jìn)思維能力的發(fā)展.在當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，忽視發(fā)散思維訓(xùn)練的傾向表現(xiàn)得極為嚴(yán)重，尤其在解題教學(xué)過(guò)程中更缺乏發(fā)散思維能力的訓(xùn)練.教師喜歡用自己的思路去限制或代替學(xué)生大腦思維中可能出現(xiàn)的獨(dú)特新穎的思考方法，使學(xué)生思維方式保守、缺乏創(chuàng)造性.因此，教師應(yīng)當(dāng)注意每當(dāng)學(xué)生想出一種解法時(shí)，不論解法正確還是錯(cuò)誤，都應(yīng)當(dāng)給予肯定和鼓勵(lì).若學(xué)生的解法有問(wèn)題，不但要幫助他們找到問(wèn)題的癥結(jié)，更要肯定他們思維的合理成分，從而進(jìn)一步鼓勵(lì)他們繼續(xù)探索.

三、結(jié)論

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該重視一題多解與發(fā)散思維，特別是用一題多解來(lái)培養(yǎng)提高中學(xué)生的發(fā)散思維能力.老師要教會(huì)學(xué)生一道題并不難，但是要真正讓學(xué)生解決好一個(gè)問(wèn)題、掌握好一種思維方法和一種有效的思維策略就不容易了.為落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，多方面培養(yǎng)學(xué)生的思維方式很有必要，利用一題多解來(lái)培養(yǎng)中學(xué)生的發(fā)散思維也很有必要，它同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要組成部分.

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