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        一道題就是一節(jié)課

        2016-12-08 06:24:58江蘇省如東縣洋口鎮(zhèn)古坳中學(xué)袁紹建
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年22期
        關(guān)鍵詞:中考題一節(jié)課變式

        ☉江蘇省如東縣洋口鎮(zhèn)古坳中學(xué)袁紹建

        一道題就是一節(jié)課

        ☉江蘇省如東縣洋口鎮(zhèn)古坳中學(xué)袁紹建

        2016年中考已落下帷幕,留給我們的是無限的思考和深深的總結(jié).一年中考的結(jié)束無疑給“如何有效復(fù)習(xí)”這個老話題賦予了新的疑問:如何圍繞新教材組織復(fù)習(xí),如何結(jié)合本地中考試題開展解題教學(xué),更好地踐行課標(biāo)核心理念,科學(xué)備考,迎接2017年中考的到來?筆者認為,用好本地中考題,挖掘其價值,發(fā)揮其在教育上的價值,是核心環(huán)節(jié).奇特的授課形式能夠讓事情更容易成功,特別是在中考之前采用此種辦法,能夠讓全部重點貫穿起來,讓學(xué)生得到更多的知識養(yǎng)分,改善復(fù)習(xí)效果,更加快速地完成復(fù)習(xí)任務(wù).如是,筆者以2016年中考第26題為案例,使用“一道題就是一節(jié)課”的方案,希望與同行充分交流.

        一、原題呈現(xiàn)

        如圖1,O是△ABC內(nèi)一點,⊙O與BC相交于F、G兩點,且與AB、AC分別相切于點D、E,DE∥BC.連接DF、EG.

        (1)求證:AB=AC;

        (2)已知AB=10,BC=12,求四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑.

        解答:(1)由⊙O與AB、AC分別相切于點D、E,得AD=AE.則∠ADE=∠AED.

        由DE∥BC,得∠B=∠ADE,∠C=∠AED.

        則∠B=∠C.則AB=AC.

        圖1

        圖2

        (2)如圖2,連接AO,交DE于點M,延長AO交BC于點N,連接OE、DG.

        設(shè)⊙O的半徑為r.

        由四邊形DFGE是矩形,得∠DFG=90°.

        則DG是⊙O的直徑.

        由⊙O與AB、AC分別相切于點D、E,得OD⊥AB,OE⊥AC.

        又OD=OE,則AN平分∠BAC.

        由OD⊥AB,AN⊥BC,得∠ADO=∠ANB=90°.

        又∠OAD=∠BAN,則△AOD∽△ABN.

        由OD⊥AB,得∠GDB=∠ANB=90°.

        又∠B=∠B,則△GBD∽△ABN.

        二、題型分析

        南京近幾年中考試題中,圓是必考知識點,經(jīng)常與等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形相結(jié)合進行考查,常常定位在較難題的位置.從考查內(nèi)容上看,本題注重對基本知識和原理的檢查,同時其還能夠檢驗學(xué)生的幾何直觀和推理能力,從考查形式上看,本題形式多樣,既有幾何證明的考查,又有求線段的長度,每一問所檢驗的學(xué)生的能力都不一樣,給不同程度的學(xué)生以不同的體驗,既能夠讓后進生體驗到成功的喜悅,也能夠讓優(yōu)質(zhì)生有

        更多的展現(xiàn)的空間,這也正是新課標(biāo)所指出的“不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展”的精髓;從檢驗意義角度看,本文側(cè)重點在于檢驗學(xué)生對知識間的聯(lián)系的運用.第一問涉及切線長定理、等邊對等角、等角對等邊、平行線的性質(zhì)等知識,第二問涉及切線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識,同時本題的圖形是常見的基本圖形,學(xué)生感覺十分熟悉,故能公平、合理地考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.作為數(shù)學(xué)考試的大題,其不但考查學(xué)生對知識的掌握,還檢驗學(xué)生對知識的運用能力,不單考查學(xué)生的觀念,而且檢驗學(xué)生的思想.試題由淺到深,由易到難,層次分明,有較高的選拔功能和區(qū)分度.

        筆者經(jīng)過長期的研究,發(fā)現(xiàn)南京此類中考題有兩個特點,其一,每個小問之間存在著緊密的聯(lián)系,常常上一問作為下一問的條件,或每小問之間解決方法類似;其二,題目來源于課本,圖形均是學(xué)生熟悉的基本圖形,經(jīng)常是由書本例題或習(xí)題中出現(xiàn)的圖形適當(dāng)變形而成.

        三、變式研究

        在課堂上,為了能讓學(xué)生更好地掌握此類題目,從而解一題,練一類,通一片,不妨對三角形或圓的位置進行適當(dāng)改編,將類似的幾道題放在一起研究.

        變式1:如圖3,在△ABC中,D為邊BC的中點.O是AD上一點,⊙O與BC相切于點D,且與AB、AC分別相交于點E、F.連接EF.

        (1)求證:EF∥BC;

        (2)已知AB=5,BC=8,當(dāng)EF是⊙O的直徑時,求EF的長.

        分析:原題中,圖形的位置是:圓與等腰三角形兩腰相切.本題中,圓與等腰三角形(要先證明)的底邊相切,第一問證明兩條直線互相平行方法很多,學(xué)生在證明時可能會用到切線的性質(zhì)、全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識,第二問在一種特殊的情況下“EF是⊙O的直徑時”求EF的長,會用到相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識.事實上,這種改編是命題常見的手法,在考試中經(jīng)常會出現(xiàn).

        圖3

        圖4

        變式2:如圖4,在△ABC中,AB=AC,D為邊BC上一點.O是AD上一點,⊙O與BC相切于點D,且與AB相交于E、F兩點,與AC相交于G、H兩點.連接EG、FH.

        (1)求證:EG∥FH;

        (2)已知AB=5,BC=6,求FH是⊙O的直徑時OD的長.

        分析:本題中,圓與等腰三角形的底邊相切,但與變式1又有所區(qū)別,⊙O與AB、AC交點的個數(shù)變多,難度也更大.解決第一問方法依然很多,學(xué)生在證明時除了需運用變式1的知識,還需要用到“圓的內(nèi)接四邊形對角互補”,解決第二問會用到垂徑定理、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識.由于本題圖形更加復(fù)雜、難度有很大的增加,對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有更高的要求.

        四、啟示反思

        中考,肩負著導(dǎo)向教學(xué)和選拔人才的重要功能.在當(dāng)今教學(xué)過程中,普遍存在著重教輕學(xué)、重訓(xùn)練輕理解、重知識輕思想、重結(jié)果輕過程的現(xiàn)象.這些教學(xué)中的不良價值取向都將嚴重遏制學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展,所以教師要在教學(xué)前多深入研究、教學(xué)后再次反思、練習(xí)后歸納規(guī)律,讓學(xué)生知道,如何去思考和解決一類數(shù)學(xué)問題,才算得上高效,這樣才行之有效.所以筆者提倡在中考復(fù)習(xí)前,一定要善用中考題,因為中考題是專家們的心血之作,也代表了一個地區(qū)命題的風(fēng)格,多對中考題及變式進行訓(xùn)練,對學(xué)生短期的提升很有幫助.

        1.掌握命題規(guī)律,注重題組訓(xùn)練

        縱觀近幾年的中考題,不難發(fā)現(xiàn),很多考題源于課本,故建議教師在教學(xué)的過程中重視課本的教學(xué),要以課本為載體,讓學(xué)生熟練掌握研究一些問題的步驟、思路和方法.中考前的復(fù)習(xí),完全可以以中考題為上課重點,以一道題上一節(jié)課,深入研究,真正研究透徹.筆者建議教師注重題組的訓(xùn)練,爭取從一道中考題出發(fā),多變式,做到研究一個問題上升到研究一個體系,讓學(xué)生真正做到研究一個題,就會研究一類題.

        2.突出類比研究,一題成就精彩

        波利亞說過:“類比是一個偉大的引路人.”上述例子,從原題到變式,強化了學(xué)生對某知識的掌握情況,題組層層相扣,由易到難,讓學(xué)生對此類問題研究得更深刻,達到啟發(fā)思維、舉一反三的效果,實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的遷移,真正讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、能力達到提升,實現(xiàn)課堂的高效發(fā)展,讓學(xué)生在中考中更加勝人一籌.

        所以我們的課堂必須有更高的要求,應(yīng)注重融知識、方法、思想、能力于一體.不能走“題海戰(zhàn)術(shù)”“強化訓(xùn)練”的老路,要開展“一道題就是一節(jié)課”的研究,讓學(xué)生認識某類題的特點,把握其規(guī)律,真正讓課堂“高效”起來.Z

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