☉江蘇省金湖縣實驗中學王海松高峰

關注學習過程，突出函數(shù)核心
——一類以一次、二次函數(shù)為背景的中考壓軸題賞析

☉江蘇省金湖縣實驗中學王海松高峰

近年來，將一次或二次函數(shù)的圖像與幾何圖形結合來編制中考壓軸題一直是常見的題型，這種題型的實質是把函數(shù)圖像作為與坐標有關的幾何對象，并以此為背景，研究圖形的屬性，與幾何內容綜合在一起，表面上以函數(shù)為背景，實質上還是幾何知識的運用.而函數(shù)作為一個重要的數(shù)學模型，其價值在于反映現(xiàn)實世界中某些事物的變化規(guī)律，是研究其他數(shù)學問題的工具，函數(shù)圖像也只是研究函數(shù)的工具.下面幾例突破了以函數(shù)為幌子的傳統(tǒng)的命題格式，它們關注學習過程，突出函數(shù)的核心內容，給我們命題和教學都帶來很大的啟示.

一、例題分析

1.以一次函數(shù)為背景

例1（2015·泰州）已知一次函數(shù)y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數(shù)的圖像上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.

（1）當P為線段AB的中點時，求d1+d2的值；

（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當d1+d2=3時點P的坐標；

（3）若在線段AB上存在無數(shù)個P點，使d1+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值.

解析：（1）求出A與B的坐標得OA、OB，求出P為線段AB的中點時d1+d2的值，即：

對于一次函數(shù)y=2x-4，令x=0，得到y(tǒng)=-4；令y=0，得到x=2.所以A（2，0）、B（0，-4）.因為P為AB的中點，所以P（1，-2），則d1+d2=3.

（2）根據(jù)題意確定出d1+d2的范圍d1+d2≥2.設P（m，2m-4），表示出d1+d2=|m|+|2m-4|，分類討論m的范圍，根據(jù)d1+d2=3求出m的值，即可確定出P的坐標，即：

當0≤m≤2時，d1+d2=m+4-2m=4-m=3，解得m=1，此時P1（1，2）；

當m＞2時，d1+d2=m+2m-4=3，解得

當m＜0時，不存在.

（3）設P（m，2m-4），表示出d1=|2m-4|，d2=|m|.由P在線段上求出m的范圍，利用絕對值的代數(shù)意義表示出d1與d2，代入d1+ad2=4，根據(jù)存在無數(shù)個點P求出a的值即可，即：

P在線段AB上，所以0≤m≤2，所以d1=4-2m，d2=m，所以由d1+ad2=4，得4-2m+am=4，即（a-2）m=0，因為有無數(shù)個點，所以a=2.

評注：解決問題時，首先是實現(xiàn)三個轉換，坐標與距離的轉換，距離與代數(shù)式的轉換，函數(shù)關系式與方程的轉換，這些充分體現(xiàn)了函數(shù)與代數(shù)之間的密切聯(lián)系，突出數(shù)形結合思想、轉化思想等數(shù)學思想的應用，這都是函數(shù)中的核心知識和思想方法.其次是運動變化，本題雖無運動，實質上卻體現(xiàn)點的運動，不能局限于給出的圖形，要將圖看“活”，用運動的觀點去看.其實在第（2）問，我們可以借助直觀感受，用筆尖在一次函數(shù)圖像上“走一下”，就能對范圍有個感受.利用圖像對函數(shù)進行研究是研究函數(shù)問題的一個重要方法，這就提示我們一定要引導學生學會研究問題的方法，需要我們注重學習的過程.

2.以二次函數(shù)為背景

例2（2015·天津）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b、c為

常數(shù)）.

（1）當b=2、c=-3時，求二次函數(shù)的最小值；

（2）當c=5時，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，求此時二次函數(shù)的解析式；

（3）當c=b2時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應的函數(shù)值y的最小值為21，求此時二次函數(shù)的解析式.

解析：（1）把b=2、c=-3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值，即當b=2、c=-3時，二次函數(shù)的解析式為y=x2+ 2x-3=（x+1）2-4，所以當x=-1時，二次函數(shù)取得最小值-4.

（2）根據(jù)當c=5時，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，得到x2+bx+5=1有兩個相等的實數(shù)根，求此時二次函數(shù)的解析式，即：

當c=5時，二次函數(shù)的解析式為y=x2+bx+5，由題意得x2+bx+5=1有兩個相等的實數(shù)根，則Δ=b2-16=0，解得b1= 4，b2=-4，所以二次函數(shù)的解析式為y=x2+4x+5或y=x2-4x+5.

（3）當c=b2時，寫出解析式，分三種情況進行討論即可，即：

當c=b2時，二次函數(shù)的解析式為y-x2+bx+b2，圖像開口向上，對稱軸為直線

b+3的情況下，y隨x的增大而增大，則當x=b時，y=b2+b· b+b2=3b2為最小值，則3b2=21，解得

評注：本題考查的都是二次函數(shù)的核心內容，二次函數(shù)的最值、增減性、對稱性及與一元二次方程之間的聯(lián)系.解決第（2）問時，需自覺根據(jù)已知函數(shù)值將問題轉化為一元二次方程，利用一元二次方程的根的判別式解決問題；第（3）問，需要學生自覺結合圖像，利用分類討論思想和數(shù)形結合思想直觀地研究函數(shù)的增減性，從而確定最值.如果在平時的教學中，學生沒有深刻經(jīng)歷如何利用圖像去研究二次函數(shù)的最值、增減性、對稱性等過程，那么要完成本題是有困難的.

3.以一次函數(shù)和二次函數(shù)綜合為背景

例3（2015·廣州）已知O為坐標原點，拋物線y1= ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），與y軸交于點C，且O、C兩點間的距離為3，x1x2<0，|x1|+|x2|=4，點A、C在直線y2=-3x+t上.

（1）求點C的坐標.

（2）當y1隨x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍.

（3）將拋物線y1向左平移n（n>0）個單位，記平移后y隨x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個單位，當平移后的直線與P有公共點時，求2n2-5n的最小值.

解析：（1）因為OC=3，C在y軸上，因此C（0，3）或C（0，-3）.

（2）①當C（0，3）時，代入y2=-3x+t中得到t=3，此時y2=-3x+3?A（1，0）.由x1x2<0，|x1|+|x2|=4，可得x2=-3，因此B（-3，0）.此時可得：y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，因此可得：當y1隨x的增大而增大時，x≤-1.

②當C（0，-3）時，代入y2=-3x+t中得到t=-3，此時y2=-3x-3?A（-1，0）.由x1x2<0，|x1|+|x2|=4，可得x2=3，因此B（3，0）.此時可得y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，因此可得：當y1隨x的增大而增大時，x≥1.

綜上所述，可得：當C（0，3）時，x≤-1；當C（0，-3）時，x≥1.

（3）①當C（0，3）時，y1=-（x+1）2+4，左移n（n>0）個單位后，可得y1′=-（x+1+n）2+4，此時y2′=-3x+3-n，此時要使得直線與P有公共點，則頂點（-1-n，4）在直線y2′=-3x+ 3-n上方，即滿足4≥y2′=-3（-1-n）+3-n=6+2n?n≤-1，應舍去.

②當C（0，-3）時，y1=（x-1）2-4，左移n（n>0）個單位后，可得y1′=（x-1+n）2-4，此時y2′=-3x-3-n.要使得直線與P有公共點，頂點（1-n，-4）在直線y2′=-3x-3-n下方，即-4≤y2′=-3（1-n）-3-n，解得n≥1.

綜合可得n≥1.2n2-5n=當且僅當n=

評注：本題通過以平移為載體，把函數(shù)本身內在之變化與圖形的外在之變化有機結合，在圖形與解析式的變化中尋找靜態(tài)的關系式，這是把函數(shù)圖像的幾何特征作為研究函數(shù)變化規(guī)律和對應關系的直觀工具，而非把幾何特征作為研究的核心.本題沒有配圖，你不畫圖，寸

步難行；你一畫圖，迎刃而解.利用圖形思考、探究，有利于找到適合自己的解題方式.如第（1）問，可在作圖的過程中，發(fā)現(xiàn)點C的坐標有兩種情形.第（2）問由作圖的過程，就可找到一個簡單的解題流程：定出點A、B；寫出拋物線的對稱軸；由點C的位置確定所求.第（3）問先從特殊入手，畫出n=0、1、2、3時的圖形，觀察平移后拋物線的對稱軸和平移后直線的交點的位置關系，進而得到區(qū)域P的范圍，從猜想出n的取值范圍，也可根據(jù)關鍵點的位置特征，挖掘其中的數(shù)量關系，利用方程或不等式來確定n的取值范圍.先通過研究把握圖像的變化、位置等特征，然后充分挖掘這些變化和位置中代表性特征的信息，利用這些信息直接解決問題或轉化為其他的知識解決問題.這些思想和方法，都需要在平時的學習中引導學生去自主研究，充分經(jīng)歷研究的過程才能獲得問題的解決，而非記住幾個結論就能達到目的的.

二、教學反思

1.明確函數(shù)的核心內容

《課標（2011年版）》對函數(shù)的教學要求主要體現(xiàn)聯(lián)系與變化這一本質屬性，重點體現(xiàn)函數(shù)的模型思想、變化與對應思想、函數(shù)圖像與性質研究過程的分類討論和數(shù)形結合思想.對函數(shù)圖像特征的研究，其目的在于讓學生直觀體會函數(shù)的變化與聯(lián)系，函數(shù)圖像是獲得函數(shù)變化規(guī)律和對應關系的直觀工具，而非研究的核心目標.函數(shù)內容是初中數(shù)學的核心內容，其中最重要的知識當然是函數(shù)的概念、圖像和性質，最重要的思想是模型思想、變化和對應思想.也就是說，函數(shù)內容要著重考查函數(shù)的概念和函數(shù)的圖像、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像及性質；考查學生根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型，利用圖像與性質研究運動變化過程、解決實際問題的能力；即使考查圖像，也是為了從圖像上獲得變量的變化規(guī)律和對應關系.

2.學會研究函數(shù)的基本套路

我們要通過某些函數(shù)模型的示范，逐步建立研究函數(shù)的一般范式——研究函數(shù)應研究什么、怎么研究.函數(shù)內容的基本學習套路是：函數(shù)的定義、函數(shù)圖像、函數(shù)性質、函數(shù)的應用，那么當我們學習一種特殊函數(shù)后，怎樣再來學習第二種特殊函數(shù)？聽課調研中，較多的情況是特殊函數(shù)一種一種介紹，每學一種函數(shù)都是“另起爐灶”，學生只知道各函數(shù)的解析式之間有區(qū)別，所做的題目也不一樣，根本不知道該如何學習函數(shù).如果教師在學完“一次函數(shù)”后，能夠幫助學生梳理學習路徑，這樣，當他在繼續(xù)學習新的特殊函數(shù)時，就可以運用以前學習函數(shù)的經(jīng)驗來進行學習，把學習新函數(shù)的過程變成對一類函數(shù)的研究過程，這樣就能構建邏輯連貫、前后一致的教學.

3.經(jīng)歷研究過程，提升思維能力

教育的根本目標是育人，從具體的數(shù)學學科教學的角度，作為“人的發(fā)展”，體現(xiàn)為發(fā)展人的認識能力.思維能力是能力的核心，發(fā)展學生的思維能力應當成為數(shù)學教育的出發(fā)點和落腳點.具體到初中函數(shù)的教學，有必要思考：學生經(jīng)歷函數(shù)的學習，取得哪些知識收獲，獲得怎樣的能力的發(fā)展.首先，要深化學生對函數(shù)概念的理解，更加系統(tǒng)地掌握研究函數(shù)的方法，進一步理解系統(tǒng)研究數(shù)學對象的套路；其次，要著力提高學生形式化的思維水平，特別突出從概念出發(fā)思考問題的思維方法；再次，進一步提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，例如，全面地、聯(lián)系地、辯證地看問題；最后，用函數(shù)的觀點、方法解決問題，提高數(shù)學應用能力和意識.

要實現(xiàn)上述育人的目標，必須要讓學生經(jīng)歷真正的具有思考的學習過程.比如，如何描畫一次函數(shù)圖像.許多教師只是讓學生按照列表、描點、連線的步驟畫圖，這樣只講“如何畫不講為什么這樣畫”，雖然學生也“經(jīng)歷”畫圖的過程，但這是“描摹”的過程，不是啟發(fā)思考的過程，屬于偽過程.真正過程可以如下進行：先引導學生寫出符合一次函數(shù)解析式的有序數(shù)對，學生在寫的過程中可能是隨意而無序的，然后引導學生思考取哪些值、個數(shù)多少比較合適，讓學生感受為了使得描點更加有序，建議列表、按照從小到大的順序取代表值，這樣在邊描點的過程中就邊感受這些點從小到大連線可能得到的圖形，最后通過觀察得出圖像是一條直線.但此處在學生得到圖像是直線以后，并不能止步，應該繼續(xù)追問：以符合解析式的其他有序數(shù)對為坐標的點是否都在直線上？雖然我們不要求學生推理論證，但在這樣的追問中，學生能夠感受到完備性，接著，反過來追問：直線上任意一點的坐標是否都符合解析式？讓學生感受存在性，由此得到一次函數(shù)的圖像是一條直線.

所以學生只有經(jīng)歷能自主思考的過程，才能獲得真正的能力提升，否則只是獲得結論，很難獲得思維能力的提升.

1.陳德前.重結果，輕過程，合情推理不合理［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2014（10）.

2.高振山.函數(shù)圖形搭臺，代數(shù)推理唱戲［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2014（8）.Z