☉江蘇省如皋市九華初級中學(xué)謝小兵

一題一課：從教材“探究問題”出發(fā)
——以“拋物線型拱橋問題”習(xí)題課為例

☉江蘇省如皋市九華初級中學(xué)謝小兵

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版），不少同行圍繞最近中考試題的解析與反思開展了很有意義的“一題一課”的構(gòu)建，這些“一題一課”課例十分接地氣，筆者基本可以直接拿到課堂上去使用，減少了不少備課的工作量.受到啟發(fā)，筆者針對九年級教材上的探究問題（拋物線型拱橋問題），也開發(fā)了一節(jié)“一題一課”，取得較好的教學(xué)效果.本文整理該課的教學(xué)設(shè)計與課件PPT截圖，供分享與研討.

一、教學(xué)環(huán)節(jié)

（一）復(fù)習(xí)引入，熱身練習(xí)

以兩個頂點在原點的拋物線為問題背景，引入新課.

熱身問題：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2與直線y=2交于A、B兩點，當AB=2時，求a的值.

預(yù)設(shè)追問：將該拋物線沿x軸翻折，你能直接看出這個拋物線的解析式嗎？若該拋物線與直線y=-3交于C、D兩點，求CD的長.

預(yù)設(shè)課件，動畫功能漸次呈現(xiàn)，截圖如下（如圖1）：

圖1

（二）拱橋問題，建模求解

例1有一座拋物線形拱橋（如圖2），正常水位時橋下水面寬度為20m，拱頂距水面4m.

問題1：在正常水位的基礎(chǔ)上，當水位上升1m時，橋下水面的寬度減少多少？

預(yù)設(shè)互動：引導(dǎo)學(xué)生先獨立分析問題后，小組交流，大組展示分享他們求解的思路，特別是學(xué)生想到構(gòu)建平面直角坐標系的方法之后，就是生活問題的有效建模，構(gòu)建坐標系的技巧也需要深入追問.讓學(xué)生在追問后展示自己的思維.追問過程中注意引導(dǎo)不同學(xué)生參與問題的理解，使他們加深對問題的理解.教師在點評時注意對從生活問題向數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化過程作出評析，并在此基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)建模的方法揭示出來，以進一步排除干擾，凸顯問題的本質(zhì).這里也把漸次呈現(xiàn)的PPT截圖兩屏，供分享（如圖3和圖4）.

圖2

圖3

圖4

問題2：為了保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18m，水面在正常水位基礎(chǔ)上上漲多少米時，就會影響過往船只航行？

預(yù)設(shè)互動：首先要求學(xué)生獨立思考，圈點關(guān)鍵詞句，對應(yīng)到構(gòu)建好的直角坐標系上的圖像，思考問題的目標或求解方向，然后小組交流，最后大組展示，安排相關(guān)學(xué)生到講臺上講解思路，并接觸教師的答辯與追問，引導(dǎo)其他學(xué)生參與解答.這一環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)下面的PPT，截圖如下（如圖5）.

圖5

同類練習(xí)：圖6是拋物線型拱橋，當水面在n時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m，水面寬度增加多少？

設(shè)計意圖：該題只是簡單變換了數(shù)據(jù)，要求學(xué)生自主構(gòu)建坐標系，對應(yīng)上面例1的“問題2”的求解思路.在該題練習(xí)之后適當小結(jié)這類生活問題的求解流程：理解題意→選擇模型→簡化求解→回到情境.

（三）拓展挑戰(zhàn)，建模應(yīng)用

例2如圖7，有一條雙向公路隧道，其橫斷面由拋物線和矩形ABCD的三邊DA、AB、BC圍成，隧道最大高度為4.9米，AB=10米，BC=2.4米，若有一輛高為4米、寬為2米的集裝箱的汽車要通過隧道，為了使箱頂不碰到隧道頂部，又不違反交通規(guī)則（汽車應(yīng)靠道路右側(cè)行駛，不能超過道路中線），汽車的右側(cè)必須離開隧道右壁幾米？

預(yù)設(shè)互動：這里在括號內(nèi)的要求需要向?qū)W生解釋，防止有些學(xué)生不熟悉相關(guān)行駛規(guī)則.同時還要向?qū)W生解釋作為一道數(shù)學(xué)試題，強調(diào)該集裝箱的特殊要求也是為了訓(xùn)練二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，不必嚴格對應(yīng)生活常識.在學(xué)生思考之后，安排學(xué)生講解他們的思考，并漸次呈現(xiàn)PPT（如圖8），思路貫通之后提出有沒有其他的思考方式，即不同的建系方式（比如以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線所在直線為y軸）.

圖7

例3如圖9，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了個簡易秋千，拴繩子的地方離地面都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的

那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子最低點距離地面的距離為多少米？

預(yù)設(shè)互動：這是一道很多教輔資料上盛行的習(xí)題，題中明確指出了所謂繩子下垂呈拋物線形，故可以選用拋物線模型，近似求解.我們教學(xué)預(yù)設(shè)了三種不同的建系方式，截圖如下（如圖10），安排學(xué)生選擇其中一種建“系”方式解答問題.

圖8

圖9

圖10

（四）文化“鏈”接

由該題的繩子形狀想到數(shù)學(xué)史上的懸鏈線問題.鏈接到達·芬奇對于懸鏈線的思考，并鏈接到兩位伯努利對該問題的思考與成就（預(yù)設(shè)PPT截圖，如圖11）.

圖11

預(yù)設(shè)解說：達芬奇去世170年之后，久負盛名的（瑞士）雅各布·伯努利工作“一年之久”試圖確定懸鏈線性質(zhì)（即拋物線方程），然而卻被他弟弟約翰·伯努利，率先解出這道難題，而且僅僅犧牲了“整整一晚”的休息時間，而雅各布卻已經(jīng)與這道題持續(xù)搏斗了整整一年，這實在是一種“奇恥大辱”.

二、教學(xué)立意的進一步解讀

1.重視教材“探究問題”的課例研發(fā)

同行們應(yīng)該知道，本文課例中所關(guān)注的拋物線型拱橋問題在不同版本的教材上都能找到原型.如果僅僅將其當成一道例題講評一下，最多15分鐘就能完成，但是對這類問題的結(jié)構(gòu)、解法，特別是解題背后體現(xiàn)出的建模思想、建“系”技巧都沒有達到深刻理解的教學(xué)高度.這也是我們重視教材“探究問題”課例研發(fā)的教學(xué)追求.

2.通過系列變式，促進學(xué)生做一題、會一類、通一片

在本節(jié)課中的例題探究環(huán)節(jié)，不僅直接出示問題，重要的是通過系列變式，使得問題的鋪墊功能得到充分發(fā)揮.比如教學(xué)環(huán)節(jié)（一），熱身練習(xí)中所訓(xùn)練的解讀拋物線解析式和相關(guān)線段長的問題，都對應(yīng)著后續(xù)例題中的求解本質(zhì).例題中的不同設(shè)問，也體現(xiàn)著“正、反”設(shè)問的命題策略.最后的拓展探索題，需要靈活建“系”，“近似”求解，關(guān)于“近似”求解，在最后的“鏈”接文化環(huán)節(jié)，作了進一步說明，使得高層次學(xué)生辨明數(shù)學(xué)中的精確性與“近似值”之間的關(guān)系.

1.周紅娟.開放與放開：概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

2.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

3.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

5.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.Z