☉四川省資中縣第二中學(xué)劉之兵

搭問題支架鋪探究之路
——以改進勾股定理教學(xué)設(shè)計為例

☉四川省資中縣第二中學(xué)劉之兵

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在解讀“創(chuàng)新意識”時，指出：“學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證是創(chuàng)新的重要方法.”［1］對于勾股定理，其要求是“探索勾股定理，并能運用它解決簡單的實際問題”.因此，勾股定理的教學(xué)多用“探究式”教學(xué)，但由于勾股定理存在發(fā)現(xiàn)難、證明難的問題，常有“偽探究”之嫌.能否進一步探索，獲得更能體現(xiàn)探究特點的教學(xué)設(shè)計呢？筆者在反思的基礎(chǔ)上，以問題支架理論為指導(dǎo)，就華師版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)八年級上冊》“14.1勾股定理——1.直角三角形三邊的關(guān)系”［2］的教學(xué)作整體的改進設(shè)計，瑕疵難免，敬請批評指正.

一、勾股定理教學(xué)設(shè)計反思

目前，關(guān)于探索勾股定理的教學(xué)設(shè)計主要有兩種方式，一是按教材的呈現(xiàn)方式（各版本教材大同小異），即“網(wǎng)格圖中，以等腰直角三角形三邊為邊的正方形的面積之間的關(guān)系→在網(wǎng)格圖中，以直角三角形三邊為邊的正方形的面積之間的關(guān)系→以一般直角三角形三邊為邊的正方形的面積之間的關(guān)系→簡單運用”；二是以三角形三邊不等關(guān)系為基礎(chǔ)探索勾股定理，如文3.筆者以為，上述兩種設(shè)計存在以下不足：

1.問題提出不自然

如圖1，教材直接在網(wǎng)格中給出以等腰直角三角形三邊為邊的正方形圖，并指出其面積關(guān)系，提出“一般直角三角形中，兩直角邊的平方是否等于第三邊的平方呢？”這里盡管有“正方形瓷磚鋪成的地面”為背景，這個圖形的出現(xiàn)仍感覺比較勉強，問題的提出似乎很自然，但重要的是，之前怎樣想到去探尋Rt△ABC三邊的平方關(guān)系.也許誰也說不清勾股定理到底是怎樣被發(fā)現(xiàn)的，但能否設(shè)計有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的問題設(shè)計呢？

圖1

2.探究過程指導(dǎo)不足

文3指出：按現(xiàn)行教材呈現(xiàn)方式設(shè)計教學(xué)過程，缺少了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、形成和提出問題的過程，問題的目標(biāo)指向過于直白和單一，弱化為一種驗證過程.然后呈現(xiàn)了由學(xué)生提出問題“三角形中任意兩邊的平方和大于第三邊的平方”，通過質(zhì)疑、矯正，進而提出“有的三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，有的三角形兩邊的平方和小于第三邊的平方”的教學(xué)設(shè)計思路.但問題是同一個三角形中兩種情況都可能出現(xiàn)，由于八年級的學(xué)生分析問題的能力還不強，這時候思維目標(biāo)指向不明，會直接影響歸納、概括結(jié)論，因而達不到進一步發(fā)現(xiàn)結(jié)論的目的.那么能否設(shè)計適當(dāng)?shù)膯栴}幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論呢？

3.猜想與證明銜接不緊密

按教材的呈現(xiàn)方式設(shè)計教學(xué)，猜想表明“以直角邊為邊的兩個正方形的面積和，等于以斜邊為邊的正方形的面積”，但證明又是通過弦圖來證明的，即是直接證明a2+b2=c2，學(xué)生沒有直接看到“以直角邊為邊的兩個正方形的面積和，等于以斜邊為邊的正方形的面積”，客觀上造成了猜想體現(xiàn)的思路與證明的思路脫接，這種對猜想進行的等價變更，學(xué)生理解起來是生硬的，從而產(chǎn)生困惑、失落感.能否設(shè)計問題達到學(xué)生的心理預(yù)期，獲得滿足感，并理解不同典型證明之間的內(nèi)在聯(lián)系呢？

基于上述思考，合理整合有利于進一步改進勾股定理教學(xué)設(shè)計.

二、問題支架理論的基本認(rèn)識

問題支架就是指那些對學(xué)生解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困惑能起建構(gòu)意義和輔助作用的問題框架.它區(qū)別于普通數(shù)學(xué)問題的根本點在于是否體現(xiàn)了“橋梁性”、“紐帶性”的過渡作用，是否給予了學(xué)生跨越“已知區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”，甚至“未知區(qū)”的支持作用.

問題支架理論整合了“問題化教學(xué)理論”、“伍德

（Wood，Rruner&Ross）的學(xué)習(xí)支持理論”、“維果斯基（Vrgotsky）的‘最近發(fā)展區(qū)’理論”三者所長，大大地化解了三種理論獨自運用于實踐中出現(xiàn)的困難，其設(shè)計辦法既實用又有一定的操作性.特別是在面臨重要而又困難的數(shù)學(xué)教學(xué)問題時，進行問題支架設(shè)計有簡明扼要、直入思維主題的特點.

問題支架設(shè)計的基本步驟是：問診“已知區(qū)”與“最近發(fā)展區(qū)”間的差距→設(shè)計適度問題支架→評價修改問題支架.［4］

下面以問題支架理論為指導(dǎo)，通過設(shè)計適當(dāng)?shù)膯栴}支架解決反思中提出的問題.

三、勾股定理教學(xué)過程的改進設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1：（1）任何三角形的三邊之間都有怎樣的不等關(guān)系？若設(shè)三角形的三邊長為a、b、c，則可以寫出幾個不等式？

（2）三個不等式結(jié)構(gòu)相同，以a+b＞c為例，從字母指數(shù)的角度可以理解為a1+b1＞c1，從這個新的視角出發(fā)，你能提出新的問題嗎？

設(shè)計說明：通過讓學(xué)生回顧任意三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系創(chuàng)設(shè)問題情境，起點低，學(xué)生容易進入課堂狀態(tài).引導(dǎo)學(xué)生從“a+b＞c”的組成元素a、b、c的“指數(shù)”入手，以新的視角重新審視，提出嶄新的問題.為學(xué)生研究“三角形兩邊的平方和與第三邊的平方的關(guān)系”這一最近發(fā)展區(qū)建立了良好的支架.且沿著這一思路，學(xué)生可能還會提出an+bn與cn的比較，甚至延伸到費馬大定理問題，亦或脫離三角形，一般性的研究之間的關(guān)系等，這是學(xué)生發(fā)展的未知區(qū). 2.數(shù)學(xué)探究，驗證假設(shè)

同學(xué)們提出：三角形任何兩邊的平方和大于第三邊的平方，三角形任何兩邊的立方和大于第三邊的立方，……

問題2：我們今天研究三角形任何兩邊的平方和與第三邊的平方的大小關(guān)系.

（1）你贊成“三角形任何兩邊的平方和大于第三邊的平方”嗎？無論贊成與否，請舉出例子與同伴交流.

（2）假設(shè)三邊為a、b、c，且a≤b≤c，①a2+b2與c2；②c2+ b2與a2；③a2+c2與b2，三組式子大小關(guān)系確定的是哪些？不確定的是哪一個？由此我們研究的問題可以進一步明確為什么？你有何猜想？

設(shè)計說明：問題（1）難以做出一個明確的回答，通過“舉出例子與同伴交流”讓學(xué)生“退到具體”，使得不同層次的學(xué)生都容易做，并有話可說.體現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本理念.通過舉例作出判斷，經(jīng)歷了自我發(fā)問，自我否定、肯定的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識、合情推理能力和理性精神.但由于三角形三邊可能會出現(xiàn)“兩邊的平方和大于第三邊的平方，兩邊的平方和小于第三邊的平方，兩邊的平方和等于第三邊的平方”三種情況，造成學(xué)生歸納概括遇阻，因此有必要設(shè)計一個適當(dāng)?shù)膯栴}支架，增強思維目標(biāo)的指向性，這就是第（2）問，它使數(shù)量關(guān)系有序化，并為后面的探究奠定基礎(chǔ)，避免無序探究.

問題3：（1）剛才我們用舉例驗證的方法發(fā)現(xiàn)a2+b2與c2可能有某種關(guān)系.但三角形的形狀千奇百怪，形態(tài)各異，我們舉得完嗎？能夠選代表嗎？

（2）請同學(xué)們想一想，大家怎樣分工更有利于發(fā)現(xiàn)結(jié)論？

（3）請拿出老師課前發(fā)給大家的方格紙，畫出自己需要的格點三角形，請第一、二、三組分別畫銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，并測量、計算結(jié)果（可以運用計算器），其他組可隨意選擇，將結(jié)果填寫在下方的表格中，并寫出你的結(jié)論.

（4）讓我們來統(tǒng)計全班的結(jié)果，由此你們獲得了什么結(jié)論？你們確信它是正確的嗎？說說自己的看法.下面老師用幾何畫板軟件來幫助大家進一步檢驗剛才的結(jié)論.

設(shè)計說明：引導(dǎo)學(xué)生“退到具體”，并由學(xué)生討論如何分工合作，培養(yǎng)學(xué)生的公共精神和合作意識.設(shè)計表格的目的是為了給學(xué)生搭建發(fā)展統(tǒng)計意識、分類意識、合情推理意識的有效支架.由于學(xué)生在測量中難免會產(chǎn)生誤差，從而導(dǎo)致直角三角形兩直角邊的平方和不等于斜邊的平方，要引導(dǎo)學(xué)生分析原因，通過合情推理提出猜想，并通過幾何畫板軟件驗證，使學(xué)生認(rèn)為猜想是可信的.

3.數(shù)學(xué)證明，感悟歷史

問題4：（1）我們現(xiàn)在有理由確信剛才得到的三個結(jié)論是正確的.但是無論驗證多少次都不能說明所有情況是正確的，所以必須通過證明，猜想才會變成真理.下面我們來證明“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”（其余兩個結(jié)論也都是正確的，以后我們會學(xué)到它們）.我們學(xué)過的幾何量有線段的長、角的大小、周長、面積等，哪個量與平方有關(guān)呢？由此你想到了什么圖形，它可能幫助我們找到證明思路嗎？

（2）如圖2，a、b、c分別是△ABC的三邊，且∠C=90°.這樣，證明a2+b2=c2就是證明S正方形P+S正方形Q=S正方形R.

驗證：假設(shè)a=3，b=4，S正方形P=_____，S正方形Q=_______，S正方形R=______.

可見，S正方形P+S正方形Q_____S正方形R.

方法小結(jié)：①你是怎樣計算正方形R的面積的？

②你割或補的三角形與△ABC有何關(guān)系？

設(shè)計說明：由特征式a2、b2、c2聯(lián)想正方形面積，使所作輔助正方形P、Q、R順理成章，并很好地為學(xué)生示范了如何由“數(shù)”到“形”實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換.但由于勾股定理的證明對于學(xué)生來說是困難的，因此必須尋求一個合理的支架，使得學(xué)生能做，但又不失一般性.再次“退到具體”，將a、b、c具體化，但蘊含實質(zhì)（面積割補），這就形成了一個良好的方法支架.問題“你割或補的三角形與△ABC有何關(guān)系？”為下一步一般化做出證明作好準(zhǔn)備.

圖2

圖3

證明：如圖3，去掉圖2中網(wǎng)格，BC的長就是a，AC的長就是b，AB的長仍為c，憑直覺，你覺得剛才的方法還適用嗎？下面我們采用割的辦法來研究，請在正方形R中畫出來，然后跟同伴交流你的做法.

S正方形P=_____，S正方形Q=_____，S正方形R=c2=_____.可見，S正方形P+S正方形Q_____S正方形R.

歸結(jié)為Rt△ABC的邊就有：BC2+AC2=AB2

這就是著名的勾股定理，你能用自己的話敘述一下嗎？

設(shè)計說明：去掉網(wǎng)格，數(shù)據(jù)一般化，就是讓學(xué)生對前面的特例進行推廣，體會方法的不變性，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力.但畢竟這個證明是比較困難的，因此設(shè)計了填空式的問題支架.有了特例計算的經(jīng)歷，使學(xué)生在流暢、自然的思維中完成推廣，滿足了學(xué)生的求知欲，并產(chǎn)生心靈上的震撼.

問題5：（1）在西方這個定理叫畢達哥拉斯定理.事實上，我國的數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》（約成書于公元前1世紀(jì)）里，商高與周公關(guān)于“勾三股四弦五”的對話，表明我國已發(fā)現(xiàn)了勾股定理，可惜并未給出嚴(yán)格的邏輯證明，直至三國時期趙爽給出“弦圖”，采用拼圖的方法才給出了證明.2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會（ICM—2002）的會標(biāo)正是弦圖，標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)的成就.這段關(guān)于勾股定理的歷史，對你有何啟發(fā)？

圖4

（2）如圖4就是著名的趙爽弦圖，顯然它正是我們剛才的證明中割正方形R的結(jié)果.實質(zhì)上是將a2+b2=c2變形為a2+b2-2ab+2ab=c2，即然后向以c為邊長的大正方形內(nèi)，拼出4個直角邊為a、b的直角三角形，中間形成一個邊長為a-b的小正方形，利用面積法中“割”的方法證明.類比此法，你能向以c為邊長的大正方形外，拼出4個直角邊為a、b的直角三角形，進一步利用“補”的方法證明嗎？這個問題留給大家課后完成.

設(shè)計說明：回顧勾股定理的歷史，從中外對勾股定理命名的不同進行愛國主義教育，進一步了解數(shù)學(xué)抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c.在理性分析趙爽弦圖證明勾股定理的基礎(chǔ)上，再設(shè)問題支架“類比此法，你還能構(gòu)造出新的圖形給出證明嗎？”引導(dǎo)學(xué)生類比、賦予數(shù)式幾何意義，創(chuàng)造新的證法.

4.運用知識，加深理解

問題6：在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC.

提問：（1）能運用什么知識將已知和要求的AC聯(lián)系起來？運用什么方法可求AB？

變式練習(xí)教材111頁練習(xí)題

提問：（2）通過例題學(xué)習(xí)和變式練習(xí)，運用勾股定理可以解決什么樣的問題？你認(rèn)為運用勾股定理要注意什么？

設(shè)計說明：通過設(shè)計兩個策略型問題支架引導(dǎo)學(xué)生進行簡單的數(shù)學(xué)建模，在變式練習(xí)中讓學(xué)生自己總結(jié)：運用勾股定理求邊長，可以列式（知二求一），也可以列方程求解，但要注意哪條邊是斜邊.

5.及時小結(jié)，布置作業(yè)（略）

四、教后反思

教學(xué)實踐表明，設(shè)計適當(dāng)?shù)膯栴}支架確實能減緩教學(xué)坡度，突破教學(xué)難點，取得良好的教學(xué)效果.下面是兩點反思.

1.豐富對問題支架的認(rèn)識，更好地發(fā)揮問題支架的作用

營造良好的課堂氛圍，把握好給出問題支架的時機.學(xué)生的學(xué)習(xí)必須“在狀態(tài)、在思維”才是有效的，思維的活動水平又與課堂氛圍有密切的關(guān)系.因此，必須營造寬松自在的課堂氛圍，創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)性的問題情境，促成學(xué)生形成憤悱狀態(tài)，形成“攀越”的態(tài)勢，此時給出問題支架，學(xué)生就會沿著支架自覺攀登.

根據(jù)問題難度和學(xué)生認(rèn)知能力，合理選擇問題支架.按照問題支架性質(zhì)，可分為策略性問題支架、方法型

問題支架、知識型問題支架.如果問題很難，學(xué)生從“已知區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”的距離則很長.此時，需要綜合設(shè)計多種問題支架，以便幫助學(xué)生順利達到“最近發(fā)展區(qū)”.如果問題的難度一般，則設(shè)計適當(dāng)?shù)姆椒ㄐ蛦栴}支架或知識型問題支架即可.

根據(jù)教學(xué)需要和客觀條件，靈活選擇問題支架的呈現(xiàn)形式.問題支架的呈現(xiàn)形式有：整體提問式、填空式、表格式、動態(tài)式（動畫演示，教具演示，或?qū)W具操作）等.當(dāng)然，有時需要多種形式相互配合才能更好地發(fā)揮問題支架的作用.

2.要培養(yǎng)學(xué)生自己尋求解決問題的支架

問題支架對于學(xué)生而言起到了突破難點，明確思維方向，找到解決問題的辦法的作用.但從培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力的角度看，如果總是教師給出問題支架，這將不利于學(xué)生學(xué)習(xí).因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)思考問題的角度、方法，自己提出指向解決問題的問題支架.有時復(fù)雜問題需要多個問題支架，問題支架之間可能是遞進關(guān)系，也可能是并列關(guān)系，或兼而有之，要引導(dǎo)學(xué)生自己由此及彼去建立聯(lián)系，探尋問題支架之間的關(guān)系，搭建解決問題的跳板.即做到對學(xué)生既“牽手”，又“放手”，既教“知識”又教“學(xué)習(xí)”.

如何引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)思考問題的角度、方法呢？美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞給了我們很好的建議：如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題.你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？……讓學(xué)生在這樣的主動思考過程中積累探索問題的經(jīng)驗，體會問題變更前后的關(guān)系，總結(jié)尋求解決問題的支架的方法，形成大膽思考，勇于創(chuàng)新的良好品質(zhì).

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.王建磐.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（八年級上冊）［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.

3.沈仁廣.論中學(xué)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的價值取向：以勾股定理教學(xué)設(shè)計的改進為例［J］.數(shù)學(xué)通報（京），2012（9）.

4.商慶平.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題支架設(shè)計研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（5）.

5.齊黎明，劉蕓.“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2011（4）.

6.方均斌，薛智慧.例說數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的四個話題——兼談數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的觀念問題［J］.數(shù)學(xué)通報（京），2012（7）.H