☉江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)顧為云

抓住“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”本質(zhì)，促進(jìn)知識(shí)自然生成
——圖形的旋轉(zhuǎn)（1）教學(xué)與反思

☉江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)顧為云

近期拜讀了人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室章建躍教授刊登在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2014（4）上的一篇題目為《如何實(shí)現(xiàn)“思維的教學(xué)”——以“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例》的文章，受益匪淺.正好學(xué)校舉行的賽課比賽的自選課題中有圖形的旋轉(zhuǎn)這一課，筆者有幸選擇了這一課題，以下是該課的教學(xué)流程與教后反思，整理出來提供研討.

一、教學(xué)流程

活動(dòng)一：旋轉(zhuǎn)的概念

（1）出示一組圖片（圖1~圖3），說說分別屬于圖形的什么變換？

圖1

圖2

圖3

預(yù)設(shè)意圖：平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是三種常見的全等變換，雖然教材放在不同的章節(jié)去學(xué)習(xí)，但它們是一脈相承的，初步比較的同時(shí)也為后續(xù)的類比教學(xué)做好鋪墊.

（2）探究：

①把鐘面上的分針旋轉(zhuǎn)90°，得到的結(jié)果怎樣？

②鐘面上的分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果有多少種？

③線段AB繞點(diǎn)A和點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到的結(jié)果一樣嗎？

④給定怎樣的條件才能使旋轉(zhuǎn)后的圖形唯一確定？

預(yù)設(shè)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的概括過程，學(xué)生才有機(jī)會(huì)通過自己的觀察和思考從具體事例中抽象出概念的本質(zhì)，才能真正理解掌握概念.通過以上探究活動(dòng)讓學(xué)生體會(huì)到三要素缺少任何一個(gè)旋轉(zhuǎn)都不能唯一確定，從而理解“圖形的旋轉(zhuǎn)”概念的內(nèi)涵.

活動(dòng)二：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

（1）回顧我們之前學(xué)習(xí)的平移變換和軸對(duì)稱變換（圖4、圖5）.

圖4

圖5

預(yù)設(shè)意圖：復(fù)習(xí)圖形的平移和軸對(duì)稱的性質(zhì)，讓學(xué)生明確平移的性質(zhì)離不開平移的方向，軸對(duì)稱的性質(zhì)離不開對(duì)稱軸；另一方面，討論平移和軸對(duì)稱的性質(zhì)時(shí)首先要讓學(xué)生知道“性質(zhì)就是變化中的不變性”，然后從宏觀和微觀兩方面得出性質(zhì)，整個(gè)圖形的形狀、大小不變，所以兩個(gè)圖形全等，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的不變性.只有這樣深入地理解了性質(zhì)的本質(zhì)，學(xué)生才能很好地遷移到旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的學(xué)習(xí)中來，學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)才能水到渠成，這種遷移才是有效的，而不是形式化.

（2）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

圖6

圖7

圖8

學(xué)生在圖6中添加線段（如圖7），并通過獨(dú)立思考、小組交流發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，教師追問如何找出點(diǎn)P、Q（如圖8）

的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

預(yù)設(shè)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置沒有運(yùn)用課本上直接拋出問題的方法，性質(zhì)的得到讓學(xué)生通過自己動(dòng)手操作、發(fā)現(xiàn)，然后小組合作交流，互相糾正學(xué)習(xí)，最后老師根據(jù)學(xué)生的回答，及時(shí)設(shè)置追問，使得發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)一步完整規(guī)范，以上過程充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，只有通過自己探究發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，才能更好地理解并掌握.

活動(dòng)三：畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形

圖9

例題講解.

例題如圖9，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

讓學(xué)生自己先嘗試畫圖，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)都已經(jīng)能夠畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，教師投影學(xué)生所畫的圖形并讓學(xué)生回答畫圖的過程和依據(jù).進(jìn)一步要求學(xué)生畫出把△ADE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形.

預(yù)設(shè)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法畫圖，進(jìn)一步訓(xùn)練性質(zhì)運(yùn)用的靈活性.

活動(dòng)四：小結(jié)和作業(yè)

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

不僅總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，而且把平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)作為一個(gè)整體進(jìn)行總結(jié).

（2）作業(yè)布置：略.

附：板書設(shè)計(jì)，如圖10.

圖10

二、精彩生成

1.概念教學(xué)對(duì)話片斷

對(duì)于問題（1），教師拿出一個(gè)可以方便調(diào)整時(shí)間的時(shí)鐘讓學(xué)生演示.

生1演示：把時(shí)鐘的分針逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°.

生2：也可以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.

師：兩種旋轉(zhuǎn)的結(jié)果不同，為什么？

生：方向不同，可以順時(shí)針也可以逆時(shí)針.

對(duì)于問題（2）.

生：有很多種結(jié)果，因?yàn)闆]有具體規(guī)定轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù).

對(duì)于問題（3）.

師：時(shí)鐘的指針可以抽象的看成一條線段（拿出一根木條并在黑板上畫出一條相同長度的線段AB），找一位同學(xué)來演示一下問題（3）的旋轉(zhuǎn)過程.

生把木條放在黑板上演示.

師：有什么發(fā)現(xiàn)？

生：繞點(diǎn)A和點(diǎn)B分別旋轉(zhuǎn)木條，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果不同.

師提問問題（4）.

生：旋轉(zhuǎn)需要明確繞著哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)的方向及旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

師：繞著那個(gè)點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心.（板書旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)）

師：還請(qǐng)剛才那位同學(xué)說說看，什么叫作圖形的旋轉(zhuǎn).

生：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)，向某一方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的度數(shù)，叫作圖形的旋轉(zhuǎn).

師：非常完整.（板書課本定義：一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫作圖形的旋轉(zhuǎn)）

這里的轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度就包括著旋轉(zhuǎn)方向和度數(shù)兩方面，我們剛才這位同學(xué)比課本說得更具體.

2.性質(zhì)教學(xué)對(duì)話片斷

師：學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念后，接下來我們?cè)搶W(xué)習(xí)什么呢？

生：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

師：好的，在討論性質(zhì)之前我們先一起回顧一下平移變換和軸對(duì)稱變換的性質(zhì).說說圖形的平移具有哪些性質(zhì)？

生：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等，平行前后的兩個(gè)圖形全等.

師：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線也有可能共線，在圖7中具體表現(xiàn)為？

生：AA′=BB′=CC′，AA′∥BB′∥CC′，△ABC≌△A′B′C′.

師追問：AA′，BB′，CC′的長度表示什么？AA′，BB′，CC′為什么會(huì)平行呢？與平移的方向有關(guān)嗎？

生：AA′，BB′，CC′的長度是平移的距離，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連

線的方向就是平移的方向.

師：圖形平移的時(shí)候，圖形的位置發(fā)生了變化，哪些東西沒有變呢？

生1：圖形的形狀與大小.

生2：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的相對(duì)位置沒有變化.

生3：不管怎樣平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線始終都相等且平行（共線）.

師：同學(xué)們回答得真棒！其實(shí)我們研究一個(gè)對(duì)象的性質(zhì)就是討論其變化中的不變性.

師：軸對(duì)稱具有哪些性質(zhì)呢？

生：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分.

師：討論軸對(duì)稱離不開什么？

生：對(duì)稱軸.

師：那旋轉(zhuǎn)又有哪些性質(zhì)呢？板書中的問號(hào)處應(yīng)該填寫什么內(nèi)容呢？

生：旋轉(zhuǎn)中心.

……

三、教學(xué)反思

1.辨識(shí)學(xué)段特征，找準(zhǔn)教學(xué)用力點(diǎn)

學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了圖形的變換的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生已經(jīng)能夠結(jié)合具體實(shí)例感知身邊的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱現(xiàn)象；會(huì)在方格紙上畫出一個(gè)簡單圖形沿水平、垂直方向平移后的圖形或關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形；能在方格紙上畫出一個(gè)簡單圖形繞圖形上的某個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°或180°后的圖形；能靈活應(yīng)用平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱知識(shí)在方格紙上設(shè)計(jì)圖案，在圖案的欣賞和設(shè)計(jì)活動(dòng)中，感受圖形世界的神奇與精彩現(xiàn)象.初中階段繼續(xù)學(xué)習(xí)圖形的變換并不是小學(xué)知識(shí)的再現(xiàn)，教師要正確辨別學(xué)段特征，正確把握課堂教學(xué)的用力點(diǎn)應(yīng)用在何處，避免在學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)上花費(fèi)大量時(shí)間而偏離教學(xué)重點(diǎn).小學(xué)的學(xué)習(xí)側(cè)重于實(shí)例操作，需要展示，但不能過分停留，而且再現(xiàn)舊知也是為了引入新知的學(xué)習(xí)，初中學(xué)段“圖形的旋轉(zhuǎn)”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)是：概念和性質(zhì)—特例（性質(zhì)）—應(yīng)用（數(shù)學(xué)內(nèi)部、實(shí)際問題）.

2.重視“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)本質(zhì)

學(xué)生在七年級(jí)和八年級(jí)分別學(xué)習(xí)了圖形的平移和軸對(duì)稱變換，已經(jīng)知道初中階段研究圖形的變換需要研究哪些內(nèi)容及研究方法，教師要充分運(yùn)用好這一“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，以此為情境貫穿于教學(xué)過程中，對(duì)于重點(diǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí)和難點(diǎn)的突破有很大的幫助.回想自己以往在上這一課題時(shí)也都先讓學(xué)生復(fù)習(xí)平移和軸對(duì)稱變換的相關(guān)知識(shí)，但只是為了復(fù)習(xí)而復(fù)習(xí)，對(duì)于旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)沒有起到正面的遷移作用，仔細(xì)反思，發(fā)現(xiàn)主要有兩方面的原因，一是沒有真正理解平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)三種全等變換的內(nèi)在聯(lián)系，二是沒有創(chuàng)新地運(yùn)用課本情境導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí).本節(jié)課筆者在旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)教學(xué)環(huán)節(jié)中讓學(xué)生知道“性質(zhì)就是變化中的不變性”，在學(xué)生說出平移和軸對(duì)稱的性質(zhì)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圖形變換的性質(zhì)就是研究對(duì)應(yīng)元素的不變性，并提醒學(xué)生關(guān)注性質(zhì)與“平移方向”、“對(duì)稱軸”的關(guān)系.有了以上鋪墊學(xué)生在發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)時(shí)就水到渠成了.接下來筆者先出示圖9，學(xué)生通過抓住關(guān)鍵詞“旋轉(zhuǎn)中心”自己畫出旋轉(zhuǎn)中心和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，沒有像課本上直接給出了旋轉(zhuǎn)中心與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，學(xué)生能夠通過獨(dú)立思考和交流說出相關(guān)性質(zhì)，甚至比課本上說得更詳盡.通過以上學(xué)習(xí)過程在培養(yǎng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)和探究歸納的能力上有較大的促進(jìn)作用.課本上在提出性質(zhì)設(shè)置的情境中問題太明確，幾乎“捅破了窗戶紙”，沒有真正讓學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)，也就失去了這個(gè)內(nèi)容的思維教育價(jià)值.

3.追求前后連貫，讓知識(shí)自然生長

平移、軸對(duì)稱變換的學(xué)習(xí)成為本節(jié)課知識(shí)的生長點(diǎn)，課堂上充分發(fā)掘運(yùn)用既方便于旋轉(zhuǎn)概念性質(zhì)的學(xué)習(xí)，又能更好地幫助學(xué)生把旋轉(zhuǎn)的知識(shí)組合到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，從而使得前后知識(shí)相連貫，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu).在活動(dòng)三的練習(xí)環(huán)節(jié)中，學(xué)生完成在網(wǎng)格畫圖后進(jìn)一步拋出建立直角坐標(biāo)系寫點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，看似與本課內(nèi)容關(guān)聯(lián)不大，其實(shí)是接下來學(xué)生學(xué)習(xí)中心對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)提供的新的生長點(diǎn).

1.章建躍.如何實(shí)現(xiàn)“思維的教學(xué)”——以“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（4）.

2.鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（3）.

3.章建躍.創(chuàng)新推動(dòng)改革，全面提高教育質(zhì)量——暨“第九屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”總結(jié)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中），2016（4）.H