于倩倩

（福州市第十八中學(xué)，福建福州350000）

充分挖掘高效利用
——高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課例題講解技巧分析

于倩倩

（福州市第十八中學(xué)，福建福州350000）

結(jié)合在高考復(fù)習(xí)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)案例，圍繞如何充分挖掘?qū)W生潛力、高效利用例題價值展開思考。教學(xué)實踐表明，教師可以通過合理的整合、編排、應(yīng)用，將例題蘊含的思想方法，包含的計算技巧，強化的理論概念充分利用挖掘，鼓勵學(xué)生進行大膽思考推理，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。

復(fù)習(xí)課；例題；改編；高考

數(shù)學(xué)是一門抽象科學(xué)，單純的理論過于生澀難懂，例題的講演，成了數(shù)學(xué)課的重頭戲。尤其是高考復(fù)習(xí)課的例題，能夠幫助同學(xué)回顧基礎(chǔ)知識，梳理分析思路，總結(jié)方式方法。本文結(jié)合筆者在高考復(fù)習(xí)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)案例，闡述了四種不同的例題設(shè)置方法，圍繞如何充分挖掘?qū)W生潛力，高效利用例題價值展開思考與探索。

一、把握節(jié)奏，讓例題成為“配角”

例題的講解常用于幫助學(xué)生學(xué)習(xí)方式方法、拓展思路提升思維、鞏固和強化概念性質(zhì)。在《二項式定理》的高考復(fù)習(xí)課上，筆者采用了2015年新課標(biāo)I卷的一道選擇題作為課前熱身題：

例1.（x2+x+y）3的展開式中，x5y2的系數(shù)為（）。

A．10B．20C．30D．60

作為引入，旨在通過與高考相關(guān)的問題引起學(xué)生對于本節(jié)知識的重視，并引發(fā)學(xué)生的思考，喚起學(xué)生對于二項式定理的基本知識及使用方法的回憶。故開始教師并不急于讓學(xué)生立即解答，而是通過提問，讓學(xué)生回憶二項式定理的基本概念與推導(dǎo)過程。在給予學(xué)生充分的思考和整理時間后，教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)，將相關(guān)知識進行了梳理、歸納和板書，為本節(jié)復(fù)習(xí)課夯實原理基礎(chǔ)。而后，教師再帶領(lǐng)學(xué)生回歸本例，解決問題，而例題這位“配角”的價值也得到了豐富和升華。

通過思考與解決例題的過程，回顧相關(guān)的性質(zhì)定理，掌握解題的思路與技巧，從而達到復(fù)習(xí)的目的。這樣的設(shè)置，讓學(xué)生主動去探索而不是被動接受，比起教師一開始就灌輸基本性質(zhì)定理更加有效。

二、高效課堂，例題選擇很重要

無論是書本還是講義，例題總是層出不窮，變化多端，如果每一題都精講精練，不僅顯得沒有層次與重點，也會給師生帶來極大的負擔(dān)和壓力，故教師在選擇例題時，應(yīng)精挑細選，尤其是學(xué)生進入高考復(fù)習(xí)階段，時間緊迫，而且學(xué)生知識的儲備已日漸豐滿，一題多解、綜合性強的題型是高效復(fù)習(xí)的好選擇。

相信許多教師在講評例題或者批改作業(yè)的時候，都會遇到以下類似的情形：

下例是一道湖南省高考模擬題：

例2.四邊形ABCD中，AB=7，AC=6，cos∠BAC= 11/14，CD=6sin∠DAC，則BD的最大值為。

在前一晚的作業(yè)中，教師布置了該題，可做出來的學(xué)生寥寥無幾，第二天課堂上，教師邀請了一位得到了正確解答的同學(xué)來闡述他的解題思路。他的解答是這樣的：

大膽假設(shè)、熟練轉(zhuǎn)化。該生精彩講演之后，另一名同學(xué)舉手，提出了更簡捷的思路：利用了數(shù)形結(jié)合的思想，∵∠ADC=90°，不妨作△ADC的外接圓，AC為直徑，AC中點為圓心，不難算出cos∠ABC>0，所以∠ABC是銳角，故B點在外接圓外部?！摺鰽BC可以確定唯一，所以點B是圓外一定點，那么問題就可以看成是圓外一定點B與圓上一動點D之間的距離問題，那么BDmax=d+r=8。

思維火花的碰撞，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到了更多課本給不了的知識，教師演示、強調(diào)多次的數(shù)形結(jié)合思想，不如這兩位學(xué)生的靈活運用給其他同學(xué)帶來的直觀感受強烈。

即使在同一課堂下，各人的吸收與反饋不盡相同，對于知識點的理解和應(yīng)用熟練程度也有所不同。一道題出現(xiàn)，每個人都會選擇自己熟悉的、簡便的方法去完成。教師應(yīng)充分利用這一特點，將能進行一題多解的例題搬上講臺，讓學(xué)生在課堂討論、碰撞，發(fā)揮所長。這樣不僅能讓學(xué)生彼此補充、相互學(xué)習(xí)、拓展眼界，還能提高學(xué)生的自信，激發(fā)他們從更多角度去思考和發(fā)現(xiàn)問題，從而達到高效課堂的目的。

三、恰當(dāng)改編，一題多變感悟深

有些題目雖然結(jié)構(gòu)形態(tài)相似，解決的思維方式卻不盡相同。課堂的時間有限，考察的內(nèi)容卻是多樣的，教師應(yīng)當(dāng)注重對教材或者其他材料的“二次開發(fā)”，可以通過適當(dāng)?shù)母木?，讓一道題呈現(xiàn)不同的考點，讓學(xué)生集中解決一類多樣的問題，能夠更好地幫助他們強化審題和辨析能力［1］。

在微積分定理的復(fù)習(xí)課上，教師選用了一道書本改編題：例3：求x=y2與y=x-2所圍成的曲邊梯形面積。根據(jù)①作圖②找點③寫積分式④計算的基本步驟，學(xué)生根據(jù)以往知識可以較容易的得到的積分式，并根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式進行計算。

在大部分學(xué)生完成之后，教師提出是否有其它方式解決該題，讓學(xué)生思考幾分鐘后，引導(dǎo)學(xué)生用y型積分式表示該曲邊梯形面積：，該方法顯然比x型更加簡便、易計算。為加深學(xué)生對積分的理解，教師提出了兩道變式：

變式1：求y=x-2與y=-1與y=2與y軸圍成的圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓臺體積。

從積分的定義入手，教師指導(dǎo)學(xué)生梳理積分相關(guān)知識并得出結(jié)論。

變式2：求y=x-2與x=y2圍成的曲邊梯形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積。

本題是變式1的深化，可以讓學(xué)生在充分掌握變式1后進行獨立思考與演練，再由教師指導(dǎo)作答：

若課堂時間不允許，教師亦可將其作為課堂的“留白”，讓學(xué)生在課下就此類問題進行歸納、回味和升華。

一道例題，兩道變式，由淺入深、層層遞進，將微積分知識進行了較全面的涵蓋與深化。例題是幫助學(xué)生累積經(jīng)驗的一種重要手段，相關(guān)題組的講解和訓(xùn)練，能夠幫助學(xué)生提高轉(zhuǎn)化和化歸的能力，激發(fā)學(xué)生的認知興趣和解題能力。教師不應(yīng)只局限于書本或者練習(xí)給的例題，生搬硬套［3］。挖掘和整合，適當(dāng)?shù)木幣?，能夠升華一道題的品質(zhì)和功能。

四、巧設(shè)練習(xí)，“例”從生來

例題從何而來？書本？講義？還是網(wǎng)絡(luò)？

在與學(xué)生討論直線與圓相切的位置關(guān)系時，教師先是在課堂上給學(xué)生出了這樣一道練習(xí)，邀請了一位平時成績中上的同學(xué)上臺板演：

例4.圓的方程為x2+y2-2x-2y+1=0，過點P（2，4）作圓的切線，求切線方程。

這個同學(xué)經(jīng)過一番思考后在黑板上寫下了如下過程：

設(shè)直線方程為y-4=k（x-2），

這位學(xué)生下臺后，教師首先肯定學(xué)生的板書與思路，利用直線與圓相切時圓心到直線距離等于半徑這一性質(zhì)解決問題。但教師馬上又提出疑問：P點與圓的位置關(guān)系是怎樣的？

生：P點在圓外。

師：過圓外一點可以作幾條圓的切線呢？

生：兩條。

師：那么另外一條去哪了？我們漏了什么情況？

學(xué)生馬上反應(yīng)過來，原來是把直線斜率不存在的情況漏了。

于是教師再次邀請了剛才的同學(xué)上來補充，他的補充如下：

若直線斜率不存在，則直線方程為x=2，圓心（1，1）到直線的距離為2-1=r

∴x=2與圓相切，

∴切線方程為x=2或3y-4x-4=0.

至此這道題才算完整解決。

教師馬上總結(jié)：過圓上一點有且僅有一條直線與圓相切，過圓外一點做圓切線有兩條，大家在做題時應(yīng)牢記這個性質(zhì)，充分考慮直線斜率的存在性討論。課堂的主角是學(xué)生，教師需要有熟練的基本功和豐富的經(jīng)驗才能把控課堂，引導(dǎo)學(xué)生［3］。這樣的教學(xué)片斷其實并非偶然，而是教師根據(jù)平時積累的教學(xué)經(jīng)驗，預(yù)設(shè)到學(xué)生的認知漏洞，而特別設(shè)計的，旨在讓學(xué)生自己犯錯，自己糾正，以錯為鑒，真正理解和掌握該方面的知識。

例題不一定要生硬地寫在教材或者講義上，它可以生動地出現(xiàn)在課堂的每一個環(huán)節(jié)，學(xué)生的習(xí)作，生活的常識都可以作為數(shù)學(xué)課上值得思考和學(xué)習(xí)的例題，這樣靈活的教學(xué)，能很好幫助學(xué)生加深印象，理解知識，掌握方法。

充分的例題講解是學(xué)生高效學(xué)習(xí)的前提，無論是課本還是講義的例題，教師都應(yīng)認真對待，探析所要考察的目標(biāo)和所想展示的思維過程。通過合理的整合、編排、應(yīng)用，將例題蘊含的思想方法，包含的計算技巧，強化的理論概念都完整的挖掘與利用，鼓勵學(xué)生進行大膽的思考和推理，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［1］梁棟，朱鴻玲.數(shù)學(xué)概念二次教學(xué)的實踐與思考——以一道例題的教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015（2）.

［2］蔣昊.少做“偵察兵”多做“參謀長”——課堂教學(xué)“留白”策略的思考及實踐［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（10）.

［3］洪瑋.課標(biāo)課程背景下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的思考［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（10）.

G632.4

A

1673-9884（2016）09-0120-03

2016-05-30

于倩倩（1987-），女，福建福州人，福州市第十八中學(xué)二級教師。