●孫小龍

(如皋市第一中學 江蘇如皋 226500)

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學生課堂追問引發(fā)的思考

●孫小龍

(如皋市第一中學 江蘇如皋 226500)

筆者在講解一道直線與圓位置關(guān)系試題時，有學生質(zhì)疑解題過程中的設(shè)法，筆者隨即與學生進行了交流，隨著學生的逐步追問，師生對疑慮進行了深入地探究.

題目 求經(jīng)過直線2x-y+3=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點，且面積最小的圓的方程.

解 設(shè)圓的方程為

x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)，即

x2+y2+(2+2λ)x-(4+λ)y+1+3λ=0.

該解法設(shè)法巧妙，圓隨著λ的變化而運動，利用函數(shù)思想快速求出了面積最小的圓的方程.

一位喜好鉆研的學生問：為什么這樣設(shè)？為什么這樣設(shè)的曲線一定表示經(jīng)過直線和已知圓交點的圓呢？

(對于學生提出的這個問題，筆者胸有成竹.)

師：對于方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)，方程組

的解一定滿足曲線方程，即經(jīng)過已知直線與圓的交點.

學生追問：為什么這樣設(shè)的曲線方程一定表示圓呢？

師：因為這是一個二元二次方程，而且滿足圓的一般方程的特點，所以表示圓.

學生又追問：圓的一般方程表示圓除了形式上的特點，還有一個重要的條件是：

D2+E2-4F>0，

你沒有驗證怎能直接說該曲線表示的是圓呢？

學生的提問有理有據(jù)，沒有任何破綻，筆者感到很欣慰，表揚學生很細心，有質(zhì)疑精神.

師：方程整理可得

x2+y2+(2+2λ)x-(4+λ)y+1+3λ=0，

D2+E2-4F= (2+2λ)2+(4+λ)2-4(1+3λ)=

5λ2+4λ+16,

由5>0，Δ<0,可得5λ2+4λ+16>0恒成立，方程表示的曲線一定表示圓.

師：當D2+E2-4F≤0時，方程表示一個點或者不表示任何曲線，而直線2x-y+3=0與圓x2+y2-2x-4y+1=0相交，有2個不同的交點，方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)一定經(jīng)過2個不同的點，于是D2+E2-4F>0成立，曲線方程一定表示圓.

學生再次追問：方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)表示經(jīng)過直線2x-y+3=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點的圓，能表示經(jīng)過交點的所有圓嗎？

此時筆者一愣，這個問題確實沒有考慮到，而且應(yīng)該思考.前面設(shè)直線方程時，要求學生分斜率存在與不存在這2種情況考慮，其實就是希望學生不要漏了斜率不存在的直線，造成失解.學生的追問不也是要說明這個問題嗎？在贊賞學生思維縝密的同時，如何解決這個問題？師生展開了進一步地探討，徹底解決了這個問題.

設(shè)直線2x-y+3=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)經(jīng)過點A,B的圓的方程為

x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),

則

2個式子相減可得

(D-2)x1+(E+4)y1+F-1=0,

同理可得 (D-2)x2+(E+4)y2+F-1=0，

可得點A(x1,y1),B(x2,y2)在直線

(D-2)x+(E+4)y+F-1=0

上.因為經(jīng)過點A,B的直線只有1條，所以方程(D-2)x+(E+4)y+F-1=0和2x-y+3=0表示同一條直線，對應(yīng)的系數(shù)應(yīng)成比例，不妨設(shè)

(D-2)x+(E+4)y+F-1=λ(2x-y+3)，

可得Dx+Ey+F=λ(2x-y+3)+2x-4y+1，

此時方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可化為

x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R).

仔細分析上述探究，發(fā)現(xiàn)可利用2個圓的相交弦方程進行推導：由圓x2+y2+2x-4y+1=0及經(jīng)過點A,B的圓的方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),

相減可得直線AB的方程為

(D-2)x+(E+4)y+F-1=0，

其余同上.

經(jīng)上述論證，經(jīng)過點A,B的圓與方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0(其中λ∈R)表示的圓是等價的.

教學反思 1)培養(yǎng)學生的質(zhì)疑精神.現(xiàn)代教育體制下，大部分學生沒有質(zhì)疑精神，很少質(zhì)疑教師傳授的知識.少部分學生在質(zhì)疑時，對教師的解答有時似懂非懂，卻不敢追問，仍然稀里糊涂.為了培養(yǎng)學生的質(zhì)疑精神，教師要營造有利于學生主動質(zhì)疑的良好氛圍，鼓勵學生大膽質(zhì)疑;歡迎他們與自己爭論，對學生的質(zhì)疑給予充分肯定，特別是對平時課堂上敢于發(fā)表反駁意見的學生，更要予以表揚;即使他們的觀點是錯誤的，也要在肯定學生勇于質(zhì)疑的前提下，與學生一起討論來加以引導，并糾正學生的錯誤觀點，從而保護學生質(zhì)疑的熱情，樹立學生質(zhì)疑的信心.教師還要鼓勵學生敢于質(zhì)疑教師、質(zhì)疑課本、質(zhì)疑權(quán)威，“金無足赤，人無完人”,教師不是圣人，在課堂上，教師也會出現(xiàn)問題，鼓勵學生大膽質(zhì)疑，善于思考，點燃學生自主學習的激情.

2)教學相長.教學是教與學的交往互動，師生雙方相互交流、相互溝通、相互啟發(fā)、相互補充，在這個過程中教師與學生進行情感交流，從而達到共識、共享、共進，實現(xiàn)教學相長與共同發(fā)展.教和學互相影響和促進，共同得到提高.通過學生的追問弄清了經(jīng)過點A,B的圓與方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)(其中λ∈R)表示的圓是等價的.在解除學生顧慮的同時，教師也實現(xiàn)了自我的提高與認識的升華.就這一點來說，教師也應(yīng)該培養(yǎng)學生的質(zhì)疑精神.

3)積極反思，完善自我.教師的教學容易受到既有經(jīng)驗的影響，循規(guī)蹈矩，對一些公認、權(quán)威處于默認、服從的狀態(tài).而對于學生而言，這些是全新的，學生會在學習中理解，在理解中質(zhì)疑，在鼓勵學生質(zhì)疑的同時，教師更應(yīng)該在教學中積極反思，面對權(quán)威，要敢于質(zhì)疑，不應(yīng)一味順從.上述學生的追問理由充分，但課后筆者向同組教師了解時，大多數(shù)教師卻表示未能思考到.教師在講解時，多次強調(diào)化簡、設(shè)直線等要注意等價性，而自己在面對時卻口是心非，怎能讓學生信服呢？筆者用質(zhì)疑的眼光梳理了一下，發(fā)現(xiàn)在教材、典型試題中也存在類似的問題，有待更正與商榷.

(a2-cx)2=a2[(x-c)2+y2],

即

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

令a2-c2=b2(其中b>0)，可得橢圓標準方程為

(a2-cx)2=a2[(x-c)2+y2]，

等價嗎？從式子的化簡角度看是不等價的.教材對此未作說明，也未在橢圓幾何性質(zhì)一節(jié)中補充說明，這容易對學生產(chǎn)生誤導.筆者認為教學時應(yīng)該彌補.具體如下：

即

即

亦即

例1 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，滿足下列條件：

①對任意n∈N*，an≠0,

1)求數(shù)列{an}的通項an及前n項和Sn；

2)求證：0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|<1.

1)解 由題意可得

當n≥2時,

整理可得 (an+an-1)(an-an-1-1)=0.

又因為對任意n∈N*，an≠0，所以

an+an-1=0或an-an-1-1=0.

當an+an-1=0時，

得

當an-an-1-1=0時，

a1=1，an-an-1=1，

得

2)證明 當an+an-1=0時，

從而

|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=0.

于是 |Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=

綜上可得0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|<1.

此題在綜合試卷中出現(xiàn)頻率較高，上述為各綜合試卷和百度搜索中提供的參考答案，看上去思路清晰，邏輯性強，是大家公認的標準答案.

第1)小題中的2種結(jié)果在證明第2)小題時恰到好處地與結(jié)論進行了銜接，似乎沒有任何問題.但筆者經(jīng)過研究之后發(fā)現(xiàn)此題和參考答案均存在問題，不妨從數(shù)列{an}的前3項說起：

解得

a2=-1或a2=2.

解得

a3=1.

解得

a3=3或a3=-2.

綜上所述：a1,a2,a3共有3種可能，分別為1,-1,1；1,2,3；1,2,-2.

而從上述參考答案得到的a1,a2,a3卻只有2種可能，分別為1,-1,1；1,2,3.出現(xiàn)矛盾，究竟誰是誰非？

同理再算一算a4.當a3=1時,a4=-1或a4=2；當a3=-2時,a4=-1或a4=2；當a3=3時,a4=4或a4=-3.a4有6種可能，從而a1,a2,a3,a4共有6種可能，而從上述參考答案得到的a1,a2,a3,a4同樣只有2種可能.顯而易見，上述參考答案是錯誤的.

此題中突出的是正項數(shù)列，本題中則為任意n∈N*，an≠0，難道正是因為這個條件的變化導致了本題的錯誤嗎？運用這個條件的是等式

(an+an-1)(an-an-1-1)=0.

若{an}為正項數(shù)列,則an+an-1>0,即an-an-1=1，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可得an=n.

若對任意n∈N*，an≠0，則

an+an-1=0或an-an-1-1=0，

參考答案由此得到了數(shù)列{an}為等比數(shù)列或等差數(shù)列，實質(zhì)理解為an+an-1=0對n≥2恒成立或an-an-1-1=0對n≥2恒成立，但是由an+an-1=0或an-an-1-1=0只能說明對于一個確定的n(其中n≥2)必有一個成立，但不一定是其中的一個恒成立，可以是對一部分n(其中n≥2),an+an-1=0成立，而對另一部分n(其中n≥2),an-an-1-1=0成立，顯然參考答案的理解是其中一種非常特殊的情況，有失偏頗.

從上面的分析可知本題的第1)小題情況非常多，無從回答，第2)小題更無從談起.一道出現(xiàn)頻率較高的試題竟然是一道錯題，著實讓人驚訝！

在平時的教學過程中教師應(yīng)做好學生的表率，不迷信經(jīng)典，不迷信權(quán)威，不全盤吸收，勇于質(zhì)疑，勇于挑戰(zhàn)，大膽糾錯，在不斷的質(zhì)疑中提高自身的數(shù)學素養(yǎng).