(西寧市第二中學(xué) 青海西寧 810012)

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數(shù)學(xué)變換在解題中的應(yīng)用與啟示

● 趙小衛(wèi)

(西寧市第二中學(xué) 青海西寧 810012)

在數(shù)學(xué)里，變換是一個基本概念.例如，平面幾何里常見的合同變換、相似變換還有等積變換，在解析幾何里常用到的坐標(biāo)變換，線性代數(shù)當(dāng)中的線性變換,仿射幾何里的仿射變換等等.所有這些變換,說到底就是一種映射，其中用變換群來研究對應(yīng)幾何學(xué)的觀點(diǎn)，最早是由德國數(shù)學(xué)家克萊因提出來的，其意義在于把當(dāng)時已有的幾何統(tǒng)一在變換群的觀點(diǎn)之下，繼而突出了變換群在幾何中的地位.按照這一背景，在實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，通過數(shù)學(xué)變換的應(yīng)用與研究有助于我們厘清各種數(shù)學(xué)對象或者2個數(shù)學(xué)集合間的內(nèi)在關(guān)系，這樣在認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)同時也有利于獲得一些重要的數(shù)學(xué)思想方法.雖然數(shù)學(xué)變換早已在初中、高中階段得到了廣泛的應(yīng)用，但對數(shù)學(xué)變換本身的地位、作用以及不同變換的關(guān)系說明得不夠明確，更缺乏系統(tǒng)性，因此適度加強(qiáng)數(shù)學(xué)變換的教育意識有助于我們了解更多有關(guān)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.下面筆者借《數(shù)學(xué)通報》2013年第8期中的2 137號征解題作為線索談一談數(shù)學(xué)變換的思想作用，請大家予以賜教.

問題 在△ABC中，分別過點(diǎn)A,B作它的外接圓的切線相交于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)PC交圓于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，求證:

代數(shù)不過是書寫的幾何，而幾何不過是圖形的代數(shù)——索菲婭·格梅茵.由此出發(fā)可以先作圖與式的變換：

圖1

證法1 如圖1，分別以直線PO,AB為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)P(a，0)，直線PC的傾角為α，則直線PC的參數(shù)方程為：

另設(shè)圓心為O′(k，0)，⊙O′的半徑為r,則⊙O′的方程為

(x-k)2+y2=r2.

將直線PC的參數(shù)方程代入圓方程得

(a+tcosα)2-2k(a+tcosα)+k2+t2sin2α=r2,

化簡得

t2+2(a-k)tcosα+(k-a)2-r2=0,

于是

t1+t2=-2(a-k)cosα,

t1t2=(k-a)2-r2,

又在Rt△PAO′中，根據(jù)勾股定理得

PA2=O′P2-O′A2=(k-a)2-r2,

按照射影定理可得

PA2=PO·PO′=|a|(k-a),

故

從而

即

得

亦即

PD·EC=DE·PC，

故

因此

圖2

證法2 以點(diǎn)P為極點(diǎn)、射線PO為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)O′(m,0)，⊙O′的半徑為r，射線PC的方程為θ=φ，∠PO′A=β,則AB的方程為

ρcosθ=m-r·cosβ,

于是

故

又⊙O′的方程為

ρ2-2ρm·cosθ+m2-r2=0,

因此

即

從而

亦即

PD·EC=DE·PC,

故

因此

評注 證法2實(shí)際上是依據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的對應(yīng)關(guān)系，把證法1中直角坐標(biāo)形式下的坐標(biāo)和方程分別轉(zhuǎn)變成了極坐標(biāo)形式下的坐標(biāo)和方程，并通過這一形式上的變換得到了用極坐標(biāo)同樣可解的方法.它體現(xiàn)的是一種以對應(yīng)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)變換關(guān)系——坐標(biāo)變換.這里2個坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系為：x=a+ρ·cosθ,y=ρ·sinθ,k=m+a.

圖3

證法3 如圖3，作PC關(guān)于PO′的對稱圖形PC′,交⊙O′于點(diǎn)D′,C′,交AB于點(diǎn)E′,聯(lián)結(jié)D′E,EC′,DE′,DC′，則

PC·PE+PD·PE=

PE·PC′+PD·PE′,

PC·PD=PD·PC′,

故

因此

即

亦即

PD·EC=DE·PC,

故

因此

評注 證法3是把在同一直線上的4條線段PD,PC,EC和DE利用平面幾何中的軸對稱變換分散到2條直線上，然后再利用面積法對問題給予證明的方法.這里所采用的軸對稱變換實(shí)際上是合同變換中的一種，所謂合同變換亦稱全等變換或正交變換，其形狀和大小完全相同的圖形就叫合同形，合同變換主要含平移變換、旋轉(zhuǎn)變換以及軸對稱變換.

凡此種種，引發(fā)我們的思考：究竟什么才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)？數(shù)學(xué)解題除了邏輯以外的部分又是什么？所有的這些問題或許只有透過各種不同的數(shù)學(xué)變換才能讓人們找到數(shù)學(xué)的神韻和真諦.實(shí)際教學(xué)中又該怎樣通過數(shù)學(xué)變換把各部分內(nèi)容有機(jī)地整合在一起，還需要進(jìn)一步實(shí)踐和探索.