●何洪標(biāo) 藍(lán)云波 黃偉寬

(興寧市第一中學(xué) 廣東興寧 514500)

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一道高考模擬題的教學(xué)實(shí)錄及反思*

●何洪標(biāo) 藍(lán)云波 黃偉寬

(興寧市第一中學(xué) 廣東興寧 514500)

習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種常見(jiàn)課型，特別是高三的課堂教學(xué)，習(xí)題教學(xué)幾乎貫穿整個(gè)高三復(fù)習(xí)的始終.我們經(jīng)常會(huì)看見(jiàn)這樣一種情景：一大群莘莘學(xué)子忙忙碌碌，整日游弋在題海中，做的題集鋪天蓋地，但效果卻并不見(jiàn)佳.究其原因，他們只是在模仿、記憶做題，并不會(huì)思考和分析問(wèn)題，對(duì)一些重要的知識(shí)點(diǎn)和解題思想缺少經(jīng)歷和內(nèi)化的過(guò)程；對(duì)他們而言，解題僅僅是簡(jiǎn)單的操作層面的機(jī)械模仿.因此，習(xí)題教學(xué)的高效性顯得尤其重要.筆者結(jié)合高三復(fù)習(xí)課“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)，談?wù)劻?xí)題教學(xué)的有效性并提供一些方法，供同行參考.

1 教學(xué)實(shí)錄

1)求a的值；

2)若對(duì)任意x∈[1,+∞)，f(x)≤m(x-1)恒成立，求m的取值范圍；

(2013年山東省濟(jì)南市二模理科數(shù)學(xué)試題)

上課之前，筆者把該題作為作業(yè)布置給學(xué)生，讓學(xué)生認(rèn)真探究、分析及解答，并要求及時(shí)上交.通過(guò)批改作業(yè)，筆者獲悉了學(xué)生答題的詳實(shí)情況，并掌握了大量的教學(xué)素材,為課題教學(xué)的順利進(jìn)行奠定了基礎(chǔ).

1.1 關(guān)愛(ài)差生，共同參與

師：同學(xué)們，這是之前布置的一道習(xí)題(多媒體投影出該題).從批改情況來(lái)看：絕大部分同學(xué)都能做對(duì)第1)小題，不少同學(xué)能做對(duì)第2)小題，只有少數(shù)同學(xué)能完成第3)小題.下面讓我們一起進(jìn)入此題的探索之旅.先請(qǐng)生1說(shuō)說(shuō)，你對(duì)此題的第1)小題是怎么思考的？

(由于第1)小題較為簡(jiǎn)單，筆者提問(wèn)了一位基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生.)

生1(并不自信，回答起來(lái)有點(diǎn)慌張)：先求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合切線與直線2x+y+1=0垂直，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解(說(shuō)完有點(diǎn)不好意思).

教師及時(shí)投影出生1的解答過(guò)程：因?yàn)?/p>

所以

f′(1)=1+a,

師：生1的思路清晰，其他同學(xué)都認(rèn)同上述解法嗎？

(此時(shí)，筆者觀察到好幾個(gè)學(xué)生躍躍欲試，但筆者提問(wèn)了其中一位同樣基礎(chǔ)不是很好但做對(duì)了此題的生2.)

師：生2的解答非常漂亮！生1的思路是正確的，同樣值得肯定！可惜生1求導(dǎo)法則用錯(cuò)了，細(xì)節(jié)沒(méi)有處理好，這是我們需要警惕的.一旦前面出錯(cuò)了，后面洋洋灑灑的解答也就變得毫無(wú)意義了.

1.2 發(fā)散思維，共同探究

美國(guó)著名的心理學(xué)家吉爾福認(rèn)為:創(chuàng)新性思維具有流暢性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性的特點(diǎn).而發(fā)散思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要手段.在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度出發(fā)，得出不同的解法.

師：請(qǐng)生3說(shuō)說(shuō)你對(duì)第2)小題的看法.

師：生3遇到的解題瓶頸也是不少同學(xué)的共同問(wèn)題，不過(guò)思路是自然的，能不能改進(jìn)呢？或者有無(wú)其他的思路呢？

師：做不下去的原因是什么呢？

學(xué)生(齊聲)：導(dǎo)函數(shù)越求越復(fù)雜.

師：大家都發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，這是我們利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題中常遇到的一個(gè)比較棘手的問(wèn)題.既然如此，能不能通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，讓導(dǎo)函數(shù)越求越簡(jiǎn)單呢？

生5：可以把lnx分離出來(lái)，再構(gòu)造函數(shù).

教師投影出生5的解答過(guò)程：由第1)小題知

對(duì)任意x∈(1,+∞)，要使f(x)≤m(x-1)成立，即

①若m≤0，g′(x)>0,g(x)≥g(1)=0,這與題設(shè)g(x)≤0矛盾.

師：太漂亮了！生5的解答有效地解決了導(dǎo)函數(shù)越求越復(fù)雜的問(wèn)題.導(dǎo)函數(shù)原先之所以越求越復(fù)雜，是因?yàn)閘nx與其他式子結(jié)合在一起，而生5把lnx分離出來(lái)之后再構(gòu)造函數(shù)，達(dá)到了我們所希望的效果.太棒了！為了區(qū)別于分離參數(shù)法，我們能不能給這種技巧一個(gè)適合的名字呢？

學(xué)生(幾乎是齊聲)：分離函數(shù).

師：太貼切了，我們有分離參數(shù)的技巧，現(xiàn)在又有一種分離函數(shù)的技巧了，太棒了！以后我們?cè)诮獯鸷衛(wèi)nx或ex的函數(shù)問(wèn)題，遇到導(dǎo)函數(shù)越求越復(fù)雜時(shí)，不妨考慮使用這種技巧.還有其他不同的見(jiàn)解嗎？

生6：受此啟發(fā)，我發(fā)現(xiàn)生3的思路可以繼續(xù)做下去.

師：請(qǐng)繼續(xù)分析……

此言一出，眾生立即興奮起來(lái)，奮筆疾書(shū).筆者發(fā)現(xiàn)生7的解答不錯(cuò)，距離答案僅一步之遙，這正是筆者所希望看到的.教師投影出生7的解答過(guò)程：

設(shè)h(x)=-x2lnx-lnx+x2-1，則

師：現(xiàn)在請(qǐng)生7分析一下你的解題思路.

生7：求出g′(x)之后，我發(fā)現(xiàn)整個(gè)式子比較復(fù)雜，聯(lián)想到剛才老師所說(shuō)的“局部求導(dǎo)”，故我想到只需確定分子的符號(hào)即可，于是進(jìn)行“局部求導(dǎo)”，但“局部求導(dǎo)”之后，還是比較復(fù)雜，但與原來(lái)的式子相比較簡(jiǎn)單了一些，于是進(jìn)行了多次求導(dǎo).我發(fā)現(xiàn)整個(gè)推理過(guò)程無(wú)誤，但不知為何做不出答案，因?yàn)間(1)無(wú)意義.還請(qǐng)老師明示.

師：非常有想象力，太棒了！你的思路沒(méi)問(wèn)題，很多高考題都是多次求導(dǎo)解答的，只不過(guò)適合此解法的高考題中，端點(diǎn)值是有意義且能求得出的，而這道題中的g(1)是無(wú)意義的，因?yàn)榉帜笧?.但它的極限值卻是存在的，解答這個(gè)問(wèn)題，需要用到高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則.我們了解下即可，有興趣的同學(xué)課后可與老師交流.

師：這樣，我們通過(guò)第2)小題的分析和探究，得到了解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題的重要思想與技巧：分離參數(shù)、分離函數(shù)、局部求導(dǎo)、多次求導(dǎo).希望同學(xué)們用心體會(huì)，并吃透其中的思想方法.正所謂：題不在多，經(jīng)典則靈！

此時(shí)，筆者往講臺(tái)下一望，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們歡呼雀躍，仿佛發(fā)現(xiàn)了新大陸，大有進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)的欲望.于是筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第3)小題的解答.

1.3 提升理解，類比推廣

師：現(xiàn)在請(qǐng)生8說(shuō)說(shuō)你的解題思路.

累加可得

即

師：非常好！你是如何想到的呢？

師：如果沒(méi)有前面第2)小題的提示，直接做第3)小題，該怎么辦呢？

筆者剛拋出這一問(wèn)題，課堂上的學(xué)生頓時(shí)樂(lè)開(kāi)了花，不少學(xué)生異口同聲驚呼：原來(lái)不用第2)小題也能做出此問(wèn)題！

師：其他同學(xué)有好的解決方案嗎？

師：很好！通過(guò)大家的分析和探究，原來(lái)壓軸題是這樣命制得來(lái)的，只不過(guò)在此基礎(chǔ)上再加入了參數(shù).這樣，我們通過(guò)第3)小題的分析和探究，得到了和型數(shù)列不等式證明的一種通法，即轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項(xiàng)大小的比較，希望同學(xué)們好好理解.

師：現(xiàn)在提出另外一個(gè)問(wèn)題——數(shù)列積型不等式.偉大的科學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)：我珍視類比勝過(guò)一切，他是我最信賴的主人，他了解自然的所有秘密.下一節(jié)課我們將研究這一類型的解法，同學(xué)們課后嘗試解答下列這道試題：

此時(shí)下課鈴聲響了起來(lái)，看著學(xué)生們繼續(xù)探究的熱情，筆者深感欣慰.第2天，生7興奮地展示了他的解答：

顯然當(dāng)n=1時(shí)也成立.因此，原題即證

只需證

即證

亦即證

顯然上式成立，從而

2 教學(xué)反思

1)教師在課堂教學(xué)時(shí)，要注重教學(xué)的有效性，注重典型例題的選取，要在充分了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上開(kāi)展課堂教學(xué).避免在教學(xué)過(guò)程中，理想與現(xiàn)實(shí)之間的矛盾，做到心中有數(shù)、因材施教.這就要求教師在教學(xué)之前做大量的工作，如了解學(xué)生的基礎(chǔ)、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解的難點(diǎn)、預(yù)設(shè)各種教學(xué)場(chǎng)景等等.

2)在科學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，要注重學(xué)生的參與，讓各類學(xué)生都參與到課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)當(dāng)中去.如本文所講評(píng)的這道試題，雖然是一道壓軸難題，但第1)小題入手容易.教師應(yīng)多注重學(xué)困生信心的提升，多鼓勵(lì)他們參與到課堂教學(xué)中去，使得學(xué)生們能感受到教師的關(guān)心，并能成長(zhǎng)起來(lái).同時(shí)應(yīng)多與中等生互動(dòng)，因?yàn)樗麄兊南敕ù砹舜蠖鄶?shù)人的想法，能暴露問(wèn)題癥結(jié)的所在；他們的問(wèn)題是課堂教學(xué)中最需迫切解決的問(wèn)題.通過(guò)暴露癥結(jié)，并通過(guò)教師的合理引導(dǎo)，激發(fā)優(yōu)秀生大膽猜測(cè)、質(zhì)疑、探究，并通過(guò)努力使問(wèn)題得到解決.這就要改變教師“一手包辦、填鴨式”的教學(xué)方法，教師應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出富有引導(dǎo)性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題讓學(xué)生思考、討論和探究，應(yīng)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的生成、發(fā)展、內(nèi)化和升華過(guò)程，使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，了解問(wèn)題解決的來(lái)龍去脈，并達(dá)到“舉一反三，觸類旁通”的教學(xué)效果.

3)教師要通過(guò)典型的案例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，特別是數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧方面的總結(jié).在課堂教學(xué)實(shí)踐中，要有“授人以魚(yú)，不如授人以漁”的理念.如筆者通過(guò)第2)小題的講解，點(diǎn)撥學(xué)生總結(jié)了導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的慣用處理手法，如：分離參數(shù)、分離函數(shù)、局部求導(dǎo)、多次求導(dǎo).再如通過(guò)第3)小題的講解，總結(jié)出解答一類數(shù)列和型不等式的通法，即轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項(xiàng)大小的比較，然后再通過(guò)類比，引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)列積型不等式問(wèn)題的解決.教師要意識(shí)到學(xué)生數(shù)學(xué)思想的發(fā)生、生成、內(nèi)化和升華過(guò)程的重要性，不可一手包辦，要讓學(xué)生在共同探究中解決問(wèn)題.教師要意識(shí)到學(xué)生數(shù)學(xué)思想的提升是細(xì)水長(zhǎng)流的過(guò)程，不能急功近利，要使學(xué)生的能力在長(zhǎng)期地接觸與體會(huì)中得到升華.這就要求教師要有較強(qiáng)的業(yè)務(wù)能力，不斷地進(jìn)行學(xué)習(xí)與交流，才能在教學(xué)中做到游刃有余.