☉安徽省臨泉第二中學(xué)　肖玲　李曉東

例談數(shù)學(xué)教學(xué)中要挖掘什么

☉安徽省臨泉第二中學(xué)肖玲李曉東

“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”必須“從一些具體的事例、熟悉的知識(shí)中探究概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，將共同的本質(zhì)屬性歸納、概括出來(lái)，形成相應(yīng)的概念.［1］”譬如三角函數(shù)的概念，就是通過(guò)初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的概念，以及學(xué)生熟悉的角的概念的推廣，將兩者中的共同的本質(zhì)屬性揭示出來(lái)，即銳角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊即直角三角形中銳角的鄰邊與x軸的正半軸重合，相應(yīng)的直角三角形的鄰邊、對(duì)邊便對(duì)應(yīng)角的終邊上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這樣對(duì)于銳角三角函數(shù)的概念就自然地通過(guò)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)這一共同的本質(zhì)屬性表示，角的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)邊、鄰邊這些量已經(jīng)無(wú)法體現(xiàn)，但是角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)始終存在，為下一步的三角函數(shù)概念的推廣奠定基礎(chǔ).再如復(fù)數(shù)的引入，就是通過(guò)學(xué)生熟知的自然數(shù)集到整數(shù)集、整數(shù)集到有理數(shù)集、有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集的演變，讓學(xué)生明晰在每一次演變過(guò)程中，由于在原數(shù)集中無(wú)法得到解決的問(wèn)題，需要引進(jìn)新的數(shù)，在引進(jìn)新數(shù)時(shí)必須添加新的符號(hào)，而且還要保持原有的運(yùn)算法則不變這些基本原則，于是學(xué)生自然而然地會(huì)想到，在解決方程x2=-1時(shí)，必須引進(jìn)新的符號(hào)，而且復(fù)數(shù)單位i可以和實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，這樣使復(fù)數(shù)的引入水到渠成，也為復(fù)數(shù)的運(yùn)算奠定基礎(chǔ).通過(guò)“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”不但讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，而且對(duì)知識(shí)的共同的本質(zhì)屬性也有更加清楚的認(rèn)識(shí).

在“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”中，通過(guò)對(duì)概念的正、反例證，讓學(xué)生明確概念的內(nèi)涵與外延，達(dá)到對(duì)概念的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和掌握，如函數(shù)增減性的概念，就是要通過(guò)正、反例證，讓學(xué)生清楚單調(diào)性是相對(duì)于區(qū)間而言，并且是區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)x1、x2，當(dāng)自變量增大時(shí)引起函數(shù)值的增大（或減?。┑冗@些關(guān)鍵性因素.

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，只有設(shè)計(jì)符合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情境，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去思考、去探索、去交流，學(xué)生才能在不知不覺(jué)中認(rèn)識(shí)概念，掌握概念的核心與本質(zhì)，也才能最大限度地發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并使數(shù)學(xué)思想方法在潛移默化中得到領(lǐng)會(huì)和掌握.

1.王桂芹.高中概念課中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的案例研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（7）.

2.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2006.

3.王克亮.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的實(shí)踐［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（3）.Y

眾所周知，高三復(fù)習(xí)教學(xué)中需要一定的試題量訓(xùn)練，特別是復(fù)習(xí)教學(xué)中大量的試題訓(xùn)練給學(xué)生帶來(lái)的知識(shí)混沌，這種情形在一線教學(xué)中常常遇到.在國(guó)內(nèi)教育論壇中，常?？吹綄W(xué)生這樣的評(píng)述：上課聽(tīng)懂了老師講的問(wèn)題解法，但是為什么這么做？如何想到的？根本不明白.筆者認(rèn)為，這應(yīng)該屬于教師對(duì)于試題講評(píng)的不透徹引起的，這種不透徹往往只是將答案進(jìn)行了傳遞，而沒(méi)有對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理或系統(tǒng)的整合，教師對(duì)這種試題講得再多也無(wú)法提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，頂多是培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)于一些基本問(wèn)題的熟練程度，筆者發(fā)現(xiàn)這樣的教學(xué)在當(dāng)下高三復(fù)習(xí)教學(xué)中卻不是少數(shù)，情形令人堪憂.

講題如何講？講哪些題？羅增儒教授早在解題學(xué)引論中說(shuō)：“水平最低的教師是逐題講評(píng)，好一點(diǎn)的教師是一題多解式評(píng)，水平最高的教師是以點(diǎn)及面的評(píng).”筆者認(rèn)為，要想提高復(fù)習(xí)教學(xué)的效率、提高解題教學(xué)的效率，教師還是需要學(xué)習(xí)試題講評(píng)的方式方法，要從關(guān)注學(xué)生學(xué)情的角度出發(fā)，積累、創(chuàng)新講題的方式與方法.下面筆者結(jié)合案例來(lái)談一談復(fù)習(xí)教學(xué)中如何講題.

一、挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

近年來(lái)，對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查愈來(lái)愈多地呈現(xiàn)在數(shù)學(xué)試題中，比如，對(duì)圓錐曲線概念的理解、向量數(shù)量積更深層次的理解、數(shù)列中函數(shù)本質(zhì)的思考等，這些問(wèn)題往往讓?xiě)?yīng)試訓(xùn)練、題海戰(zhàn)術(shù)失效，讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)理解的深刻性躍然紙上，讓學(xué)生層次的區(qū)分度也顯得明朗化.

例1在Rt△ABC中，斜邊為AB，BC=2，正三角形BCD滿足AB⊥BD，點(diǎn)P在等邊△BCD內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，記E為AB的中點(diǎn)，若λ，μ∈R），則λ+μ的取值范圍是_________.

分析：本題是一次高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，筆者聆聽(tīng)一位教師在平面向量基本定理復(fù)習(xí)課中使用的例題.從本題的題意來(lái)看，向量知識(shí)借助了三角形為載體進(jìn)行了設(shè)計(jì)，是平面向量基本定理的使用體現(xiàn)，這一點(diǎn)一般師生都能發(fā)現(xiàn)，要解決λ+μ的取值范圍，則主要是研究點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)區(qū)域即可.讓我們來(lái)看看該老師課堂教學(xué)中的解決方法.

解法1：如圖1，以B為原點(diǎn)，以AB、BD所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

圖1　

思考：考慮到本題圖形適合建立坐標(biāo)系，因此教師用建系坐標(biāo)化的方法將其分解、演算、學(xué)生操作，通過(guò)簡(jiǎn)化將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題解決.最后教師詢問(wèn)學(xué)生是否找到了問(wèn)題的本質(zhì)？學(xué)生回答：是線性規(guī)劃問(wèn)題，利用坐標(biāo)將其關(guān)系理清，并合理地運(yùn)算即可.筆者認(rèn)為：這位教師對(duì)于本題的理解還不足，其根本沒(méi)有認(rèn)識(shí)到本題的本質(zhì)和核心，即平面向量基本定理的使用.若按照該教師的坐標(biāo)數(shù)量化的解法，學(xué)生在考場(chǎng)中的時(shí)間使用必定是不夠的，而且也違背了高考選拔學(xué)生一貫的原則：注重思維、注重思考比運(yùn)算更為重要.由于問(wèn)題的本質(zhì)為平面向量基本定理，那么如何理清這一思維呢？筆者

令以為，可以用圖2和圖3來(lái)深刻地理解平面向量基本定理，若要想更進(jìn)一步地掌握和深思可以參見(jiàn)文1.

圖2　

圖3　

學(xué)生所學(xué)習(xí)的直角坐標(biāo)系可以看成是兩個(gè)相互垂直的單位向量作為基底的一種分解，那么我們可以類(lèi)比正交分解到斜交分解，類(lèi)比直角坐標(biāo)系到斜角坐標(biāo)系，利用向量中三點(diǎn)共線的性質(zhì)（O，A，B是不共線三點(diǎn)，對(duì)平面上任一點(diǎn)Q，有—?jiǎng)t點(diǎn)Q在直線AB上的充要條件是x+y=1），我們清晰地認(rèn)知了這種表示關(guān)系，為了表述簡(jiǎn)單，我們將上述的直線稱之為基線，其他直線間的距離均相等.這樣我們就找到了這些問(wèn)題的共性，即研究斜角坐標(biāo)系中分解的單位向量的長(zhǎng)度（可以將非單位長(zhǎng)度向量看成一個(gè)整體）.我們可以這樣向?qū)W生講題，進(jìn)而滲透數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).

圖4　

解法2：同學(xué)們可以類(lèi)比上述兩幅圖，如圖4，用斜角坐標(biāo)系，以E為原點(diǎn)，EB為λ軸，EC為μ軸建系.μ），當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，易知P，B，C共線，所以λ+μ=1.

思考：這樣的反映平面向量基本定理的問(wèn)題還有許多，它靈活地將平面向量基本定理活用到了斜角坐標(biāo)系中，不再拘泥于坐標(biāo)系非得正交的拘束，說(shuō)明對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)已經(jīng)看透了，這樣的思維替代了計(jì)算，這種挖掘是有助于學(xué)生思維的培養(yǎng)，這也符合了新課改后高考中問(wèn)題的應(yīng)試方向.有興趣的讀者可以繼續(xù)研究這樣的類(lèi)似問(wèn)題：

（1）已知點(diǎn)A（1，-1），B（4，0），C（2，2），點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P（x，y）組成的平面區(qū)域的面積為_(kāi)________.（答案：8）

二、挖掘數(shù)學(xué)算理

有了本質(zhì)的挖掘，學(xué)生自然學(xué)會(huì)了思考.學(xué)會(huì)思考才是數(shù)學(xué)教學(xué)需要做出的正確方向.迎著本質(zhì)，學(xué)生還需要在解題學(xué)習(xí)中學(xué)好什么呢？自然是算理.何為算理？算理指的是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的運(yùn)算原理.通俗地說(shuō)，就是為什么要這么做？為什么要如此想、如此算？我們常常聽(tīng)到學(xué)生說(shuō)：老師，你的方法是好，可是我想不到！筆者想問(wèn)：想不到的理由是什么？為什么學(xué)生想不到好的方法？為什么學(xué)生錯(cuò)了，以后還會(huì)錯(cuò)？其實(shí)歸根到底是不明白算理.舉一個(gè)“等差數(shù)列求和”新課教學(xué)案例.

例2等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m≠n），求前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

分析：這是教材課后的一個(gè)習(xí)題.筆者將其拿來(lái)作為一次測(cè)試中的第一道解答題，目的是想看看學(xué)生是否明白教材中本題的算理.從學(xué)生反映的情況來(lái)看，真正理解合理的算法、算理的學(xué)生少之又少，絕大部分學(xué)生都是用公式求解首項(xiàng)和公差，直到陷入煩瑣計(jì)算之中，能真正得到最終答案的學(xué)生不到三分之一.筆者請(qǐng)學(xué)生描述學(xué)生的典型思維.

解：設(shè)｛an｝的公差為d，則由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

在運(yùn)算過(guò)程中，能解決問(wèn)題的學(xué)生都使用了整體代入降低了運(yùn)算量，一味求解首項(xiàng)和公差的學(xué)生能最終得到答案的少之又少.學(xué)生課后反問(wèn)：為什么我這么做解不出來(lái)？究其原因，恰是因?yàn)閷W(xué)生不明白問(wèn)題運(yùn)算的合理算理和算法，這種合理算法背后卻是與數(shù)列本質(zhì)有著密切的聯(lián)系.

眾所周知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于自變量n的一次函數(shù)，其求和公式從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，即Sn= An2+Bn（必過(guò)原點(diǎn)的函數(shù)），因此教師將下列解決方法傳授給學(xué)生，讓學(xué)生明白這一問(wèn)題的合理算理.

優(yōu)解：設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則我們可以將其整理為Sn= -④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m.

因?yàn)閙≠n，所以A（m+n）+B=-1，所以A（m+n）2+B（m+ n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

思考：算理就是一種合適的運(yùn)算原理.上述問(wèn)題學(xué)生第一次遇到，自然利用首項(xiàng)和公差等基本量去思考，也是一種自然的條件反射，但是稍作運(yùn)算就發(fā)現(xiàn)這種思維簡(jiǎn)單、運(yùn)算量大的方式并不適合本題，進(jìn)而反思等差數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)是什么？從函數(shù)本質(zhì)下手，輕而易舉地發(fā)現(xiàn)了合適的算理，這種算理也就不是“天馬行空”的，而是具備合理的依據(jù)產(chǎn)生的.這樣的算理不僅簡(jiǎn)化了運(yùn)算，更從思維上幫助學(xué)生提高其數(shù)學(xué)解題需要挖掘的元素.有興趣的讀者可以研究下列類(lèi)似的問(wèn)題：

（2）已知，注意條件|c-b|=2|c-a|反映的是阿波羅尼斯圓）

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)教什么？一味地教雙基和熟練化程度運(yùn)算，已經(jīng)不適合當(dāng)下新課程改革的要求了.從新課程對(duì)學(xué)生愈來(lái)愈高的數(shù)學(xué)能力立意、思維的考查來(lái)看，教師教學(xué)更要注重對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題背后的挖掘，這種挖掘有數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)算理、思想方法等，筆者以自身教學(xué)的一點(diǎn)心得做出了一些不夠完善的思考，懇請(qǐng)讀者批評(píng)斧正.

1.沈恒.陳舊的問(wèn)題改進(jìn)的認(rèn)識(shí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2011（11）.

2.鮑梅.有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009（7）.

3.劉長(zhǎng)春.在函數(shù)教學(xué)中實(shí)施變式教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（12）.F