單鵬

（江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）

注重一題多解，提高學(xué)生的解題能力

單鵬

（江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）

函數(shù)最值問(wèn)題的求解，思維性較強(qiáng)，具有很好的導(dǎo)向與引領(lǐng)作用，讓學(xué)生之間相互討論、交流各自的做法，然后每個(gè)小組派代表發(fā)言，總結(jié)各自的做法。學(xué)生間交流活躍，各種方法層出不窮，小結(jié)學(xué)生中比較成功的四種解法。

一題多解；教學(xué)方法；提高能力

一、問(wèn)題的提出

近幾年高考數(shù)學(xué)試題一直堅(jiān)持“新題不難，難題不怪”的命題方向，即使是那些所謂的最難的題目，運(yùn)用的還是最基本的方法，只不過(guò)完成這些題目需要對(duì)這些基本的思想、方法有深刻的理解。這就要求學(xué)生在復(fù)習(xí)中，一定要注意知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，理清高中數(shù)學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，關(guān)注通性通法，對(duì)一些經(jīng)常考到的常規(guī)方法要加強(qiáng)訓(xùn)練，熟練掌握，比如筆者在講期末復(fù)習(xí)講義時(shí)，遇到了這樣的題目：

已知正實(shí)數(shù)a，c滿足a2+c2-ac=3，則2a+c的最大值為.

這是一個(gè)雙元最值問(wèn)題，此題的目的是讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決函數(shù)的最值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題，思維性較強(qiáng)。筆者讓學(xué)生相互討論，交流各人的做法，然后請(qǐng)各個(gè)小組的代表出來(lái)發(fā)言，總結(jié)各自的做法，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生交流活躍，各種方法層出不窮，教師要注重學(xué)生解題方法發(fā)展過(guò)程的體驗(yàn)，讓學(xué)生親身感悟探究的方法與思路，培養(yǎng)學(xué)生的解題興趣，搭建展示思維的平臺(tái)，讓所有學(xué)生在體驗(yàn)、感悟中獲得多種解題的思想方法，從而提高學(xué)生的解題能力。

二、切入口的探索

筆者首先提出這樣一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)題目你能想出幾種解決方案，先讓學(xué)生去討論小結(jié)，然后請(qǐng)四組代表進(jìn)行小結(jié)性發(fā)言，學(xué)生經(jīng)過(guò)熱烈地討論，大體小結(jié)了這樣四種方法：

1.以方程思想為切入口，整體代換

方法一：令2a+c=u，則c=u-2a，代入原式a2+c2-ac=3.

整理得7a2-5ua+u2-3=0，由題設(shè)知此方程一定有實(shí)數(shù)解，由Δ≥0得：u≤2所以2a+c的最大值為2.當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)取得最值.

點(diǎn)評(píng)：該法充分運(yùn)用了構(gòu)造方程的思想，把要求的式子當(dāng)成一個(gè)整體來(lái)考慮，代入已知等式實(shí)現(xiàn)了消元，把所得式子看成是關(guān)于a的一個(gè)方程，然后轉(zhuǎn)化成方程有解問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以解決，事實(shí)上這種轉(zhuǎn)化，不是等價(jià)的，因?yàn)檫@里的兩個(gè)變?cè)獮檎龑?shí)數(shù)，所以接下來(lái)的結(jié)論，還要進(jìn)一步檢驗(yàn)。也就是最大值能否在兩個(gè)變?cè)际钦龜?shù)的情況下取得。

2.以式子特征為切入口，巧用三角代換

點(diǎn)評(píng)：該方法是從同角三角函數(shù)關(guān)系式入手，由平方和等于一個(gè)常數(shù)想到了三角代換，然后利用輔助角公式與三角函數(shù)的有界性，從而得出結(jié)論。思路合理，想法大膽，值得贊賞。但是這種解法也有值得商討的地方，如何體現(xiàn)兩個(gè)變數(shù)是正數(shù)，立即就有學(xué)生想到確定角的范圍，雖然最值求出來(lái)了，但求相應(yīng)的兩個(gè)變?cè)€是需要加一點(diǎn)三角運(yùn)算的。

3.以已知等式的幾何意義為切入口，構(gòu)造三角形用正余弦定理解題則a=2sin A，c=2sin C，2a+c=4sin A+2sin C=4sin A+2sin（-A）= 5sin A+cos A=2sin（A+θ），所以2a+c的最大值為2.

點(diǎn)評(píng)：該方法從已知式的結(jié)構(gòu)看出了式子的幾何意義，從而想到了構(gòu)造三角形，巧用正余弦定理來(lái)解題，思路獨(dú)特，觀察仔細(xì)，不失為一種較好的解題思路。這一思路的不足，同解法二一樣，不好求相應(yīng)的兩個(gè)變?cè)闹怠?/p>

4.以消元思想為切入口，把分子分母變成二次齊次式，用換元消元方法解題

點(diǎn)評(píng)：此方法構(gòu)造函數(shù)法，把要求解的式子平方，與已知式子相比，從而構(gòu)造了一個(gè)分式函數(shù)，而且分子分母都是二次元分式，分子分母同除以a2，再把看成變?cè)猼，從而得到一個(gè)函數(shù)，通過(guò)部分分式，將其化簡(jiǎn)，然后利用求導(dǎo)數(shù)法求出該函數(shù)的最值。此法的妙處在于把要求解的算式平方后與已知式子相比從而出現(xiàn)了一個(gè)新的函數(shù)，是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)。

三、教學(xué)的實(shí)施

教師提出問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生討論發(fā)言，最后教師小結(jié)，學(xué)生板書(shū)，通過(guò)這樣一個(gè)流程，完成了該節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。教學(xué)目標(biāo)明確，學(xué)生思維活躍，所有學(xué)生都得到了參與，解題思路也得到了拓寬，效果較好。

四、教學(xué)反思、啟示

處理雙元最值問(wèn)題，要有方程思想，減元的方法，以及整體的意識(shí)，要多觀察給出式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及條件與所求解問(wèn)題的聯(lián)系，要帶著方向與目標(biāo)解題，并能熟練掌握與應(yīng)用我們所學(xué)的基本知識(shí)，比如正余弦定理，三角函數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，不等式鏈等等。

學(xué)生的智慧是無(wú)窮的，集體的力量是強(qiáng)大的，通過(guò)一題多解，可以拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)化了理解性學(xué)習(xí)與探究性學(xué)習(xí)的過(guò)程。在問(wèn)題解決的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生從何處思考，如何思考，在解題過(guò)程中得到什么啟發(fā)，想到了什么，感悟到什么，能否在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，提出自己的新的觀點(diǎn)，新的思路，從而培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，探究意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，只有讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，總結(jié)方法，注意積累，掌握思考的招式，才能讓學(xué)生從題海中跳出來(lái)，真正發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，從而提高所有學(xué)生的解題能力。

［1］黃智華.設(shè)置延伸拓展問(wèn)題的幾種過(guò)程［J］.數(shù)學(xué)通訊，2009（8）.

［2］徐小葒.注重一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維［J］.課程教育研究，2015（28）：153.

·編輯張慧