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        把握高中數(shù)學“函數(shù)的零點”教學的研究

        2016-11-16 03:50:28王方平
        新課程(下) 2016年9期
        關(guān)鍵詞:交點零點圖象

        王方平

        (江蘇省揚州市樹人學校高中部)

        把握高中數(shù)學“函數(shù)的零點”教學的研究

        王方平

        (江蘇省揚州市樹人學校高中部)

        在必修1中“函數(shù)的零點”是新增內(nèi)容,它連接著函數(shù)、方程和圖象,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關(guān)系,包含了數(shù)形結(jié)合思想。例如,方程根個數(shù)、范圍的問題,零點存在問題等都可以轉(zhuǎn)化為零點問題討論,在高考試卷中經(jīng)??吹胶瘮?shù)的零點問題,學生容易在此處失分。就函數(shù)的零點常見題型及解法作分析,以希望在教學中更好地把握函數(shù)的零點教學。

        函數(shù)的零點;題型;解法;教學方式

        一、高考數(shù)學中函數(shù)的零點問題的地位

        現(xiàn)在的高考很注重對學生綜合素質(zhì)的考查,而函數(shù)的零點問題就是考查學生綜合素質(zhì)的較好題型,因為函數(shù)的零點涉及到初等函數(shù)的圖象與性質(zhì),蘊含著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要的思想方法,對思維靈活性、創(chuàng)造性有較高的要求。在這幾年各省市的高考數(shù)學中頻頻出現(xiàn)零點問題,而且其形式多樣化。

        二、近幾年來函數(shù)的零點高考題型

        從近幾年各省市高考試卷分析來看,函數(shù)的零點問題大致有以下幾種題型。

        題型1.函數(shù)零點的個數(shù)

        例題:(2009山東)若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍________,________。

        解析:方程f(x)=0的實數(shù)根等價于函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標,等價于函數(shù)y=f(x)的零點。則上述函數(shù)的零點轉(zhuǎn)換成兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題。由圖象可分為:當0<a<1時,當a>1時,因為函數(shù)y=ax(a>1)的圖象過點(0,1),而直線y=x+ a所過的點(0,a)一定在點(0,1)的上方,所以一定有兩個交點。所以,實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}。

        方法如下:1.構(gòu)造函數(shù)(構(gòu)造的函數(shù)能準確地做出它的圖象)設函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)和函數(shù)y=x+a,則函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個零點,也就是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=x+a有兩個交點。

        2.通過圖象描繪題意

        3.依圖得條件——將形轉(zhuǎn)化成數(shù)

        當0<a<1時,兩函數(shù)只有一個交點,不符合;當a>1時,因為函數(shù)y=ax(a>1)的圖象過點(0,1),而直線y=x+a所過的點(0,a)一定在點(0,1)的上方,所以一定有兩個交點。所以,實數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}。

        A.0B.1C.2D.3

        方法歸納:該題型的解法通常有兩種,一是直接求出函數(shù)的零點,二是通過函數(shù)的圖形觀察得到,觀察兩個函數(shù)的交點個數(shù),也可以考慮函數(shù)的單調(diào)性來分析函數(shù)與x軸的交點,從而得到函數(shù)的零點個數(shù)。

        題型2.函數(shù)的零點的范圍

        變式:(2011天津)函數(shù)f(x)=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間是().

        A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

        解析:由f(x)=2x+3x=0可化為2x=-3x,畫出函數(shù)y=2x和y= -3x的圖象,可知選項C,D不正確,且f(0)=20+0>0,由此可排除A,故選B。

        方法歸納:這種題型的解法通常有兩種,一是利用函數(shù)的零點存在性定理求解,通過所給的區(qū)間端點進行檢驗;二是通過函數(shù)的圖形(即數(shù)形結(jié)合)觀察得到,既把函數(shù)分成兩個簡單且容易作圖的函數(shù),觀察兩個函數(shù)交點的大致區(qū)間進行求解判斷。

        題型3.從函數(shù)的零點求參數(shù)值或者范圍

        例:(2011山東)已知函數(shù)f(x)=logax+x-b((a>0且a≠1)當2<a<3<b<4時,函數(shù)f(x)的零點x0∈(n,n+1),n∈N*,則n=_______。_______。

        解析:由于2<a<3<b<4,故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而loga2<1,2-b∈(-2,-1),故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此,函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點,故n=2

        變式:(2011遼寧)已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點,則a的取值范圍是___________。

        【解析】由于f′(x)=(ex-2x+a)′=ex-2,故函數(shù)在(-∞,ln2)上遞減,在區(qū)間(ln2,+∞)上遞增,且f(x)極小值=f(ln2)=2-2ln2+a,結(jié)合函數(shù)的圖象知若使得函數(shù)f(x)=ex-2x+a的圖象與x軸有交點,只需f(x)極小值=2-2ln2+a≤0,解得a≤-2+2ln2,故a的取值范圍是(-∞,-2+2ln2]

        方法歸納:這種題型的解法通常是通過運用函數(shù)與方程的思想進行等價轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象進行分析,結(jié)合交點的情況確定參數(shù)范圍。

        三、如何把握函數(shù)的零點教學

        1.從近幾年各省市高考函數(shù)的零點的題目分析,再結(jié)合函數(shù)的零點知識的特點,在教學中對待函數(shù)的零點問題時,教師應該在函數(shù)的零點的概念、定理及解題思路上下功夫,在關(guān)鍵問題上講深講透,使學生靈活應用知識。對函數(shù)的零點應當讓學生清楚掌握兩個方面:一是理解函數(shù)的零點的概念及定理,二是掌握函數(shù)的零點題型的解題思路及常見方法。零點存在性定理是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的充分不必要條件,它的逆命題不成立,這個可以舉一些簡單實例讓學生加深對零點存在性定理的理解。

        2.掌握函數(shù)的零點題型的解題思路及常見方法。弄懂了函數(shù)的零點的概念及定理,理解了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的聯(lián)系,在教學過程中可以把以上幾種題型展現(xiàn)給學生,讓學生總結(jié)各種題型的解題思路及方法。只有這樣,才能讓學生真正弄懂知識的來龍去脈,掌握函數(shù)的零點題型的解題思路及常見方法,提高教學的效率。

        [1]錢文斌.函數(shù)的零點在高考中的應用[J].科技視界,2014(16).

        [2]黃育梅.基于高考函數(shù)零點問題的教學方法[J].南方論刊,2011(S1).

        ·編輯楊國蓉

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