胡靜

[摘 要] 整體法是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在高中教學(xué)階段的應(yīng)用及其廣泛，是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)題的不二法寶.為了提高高中生整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，教師要學(xué)會(huì)在平常教學(xué)中向?qū)W生灌輸整體法的使用思路，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供便利.

[關(guān)鍵詞] 整體思想；高中數(shù)學(xué)；簡(jiǎn)單教學(xué)

在當(dāng)今環(huán)境下，課程改革活動(dòng)正在如火如荼地進(jìn)行，新型的課堂教學(xué)模式正在席卷高中數(shù)學(xué)課堂. 作為數(shù)學(xué)教師也要適應(yīng)時(shí)代的步伐，爭(zhēng)做改革的領(lǐng)跑者，摒棄以往腐舊的教學(xué)模式，開創(chuàng)對(duì)學(xué)生有益的教學(xué)方式，全面提升學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng). 整體法作為一種便捷的解題工具，是教師實(shí)現(xiàn)輕松教學(xué)、簡(jiǎn)單教學(xué)的秘密武器，只要教師能夠應(yīng)用得當(dāng)，數(shù)學(xué)課堂一定會(huì)精彩紛呈. 筆者本人具有多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)如何在課堂教學(xué)中以及習(xí)題訓(xùn)練中滲透整體法的使用具有一定的研究與探索，下面簡(jiǎn)要介紹幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，不足之處，敬請(qǐng)斧正.

整體代入，絕處逢生

整體代入是整體法最直接、最明顯的表現(xiàn)方式，就是將若干個(gè)式子組合在一起看作一個(gè)整體，通過(guò)直接或者間接的方法代入另一個(gè)式子當(dāng)中，使解題過(guò)程變得簡(jiǎn)單，避免煩瑣的計(jì)算過(guò)程，于絕處逢生，給學(xué)生的解題帶來(lái)希望.

整體代入在高中的各個(gè)階段都會(huì)應(yīng)用，就連最簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方體教學(xué)中也會(huì)出現(xiàn)這種方法的使用. 教師在平時(shí)授課中，為了讓學(xué)生更快、更好地吸收知識(shí)、理解知識(shí)，一定要將教學(xué)內(nèi)容變得簡(jiǎn)單，利用整體法就是不錯(cuò)的選擇. 例如，當(dāng)我們學(xué)完長(zhǎng)方體的相關(guān)知識(shí)后，筆者都會(huì)向?qū)W生布置這樣的習(xí)題：已知長(zhǎng)方體的全面積是11，十二條棱長(zhǎng)總和為24，那么請(qǐng)分析這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為多少. 面對(duì)這道題，一般的解題思路是先假設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，根據(jù)已知條件分別求出a，b，c的值，然后再依據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)的公式即d=進(jìn)行計(jì)算. 但是我們明顯會(huì)發(fā)現(xiàn)根據(jù)已知條件無(wú)法求出a，b，c的值，因此我們就需要考慮其他的方法. 我們可以先將對(duì)角線長(zhǎng)的公式進(jìn)行變形，然后再考慮接下來(lái)怎樣計(jì)算，d==，根據(jù)這個(gè)式子，我們可以發(fā)現(xiàn)只需要求出a+b+c和ab+bc+ca即可. 再根據(jù)已知條件列出下列式子：2（ab+bc+ca）=11，4（a+b+c）=24，這樣我們就可以分別求出兩個(gè)需要的式子的值，代入表達(dá)式中可以得出d=5. 在這道題的解決過(guò)程中，我們就采用了整體代入的思想，因而才使得題目得以解決. 如果僅僅采用正常的思路進(jìn)行求解，這道題目也是無(wú)法計(jì)算的，由此可見(jiàn)整體代入的重要性.

整體代入在很多數(shù)學(xué)知識(shí)中都可以應(yīng)用，都能夠起到簡(jiǎn)化題目的作用. 教師要在平常教學(xué)中不斷地去探索、發(fā)現(xiàn)更多的整體代入例題，并及時(shí)地與學(xué)生進(jìn)行分享，用以擴(kuò)寬學(xué)生的視野，增加學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn).

整體換元，柳暗花明

整體法是高中的重點(diǎn)知識(shí)，有很多問(wèn)題只能夠通過(guò)整體法才能夠解決，因此教師要提示學(xué)生提高警惕，將整體法的各種應(yīng)用都熟記于心，這樣在應(yīng)用時(shí)才能夠信手拈來(lái)，避免出現(xiàn)卡在讀題階段不知如何下手的尷尬局面.

整體換元屬于研究新元性質(zhì)方面的知識(shí)，在多項(xiàng)式部分應(yīng)用較多，它能夠?qū)㈩}目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變得簡(jiǎn)單易解.當(dāng)教師在教學(xué)多項(xiàng)式方面知識(shí)時(shí)，一定要確保學(xué)生能夠獨(dú)立應(yīng)用整體換元的思想解決實(shí)際問(wèn)題，因?yàn)樵诟呖贾羞@個(gè)考點(diǎn)也會(huì)頻繁出現(xiàn). 下面以一道簡(jiǎn)單的例題為例，介紹整體換元使用的妙處. 請(qǐng)計(jì)算（a1+a2+…+an-1）（a2+a3+…+an-1+an）-（a2+a3+…+an-1）（a1+a2+…an）的值. 面對(duì)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘積的題目，一般的思路是將括號(hào)打開，逐一進(jìn)行計(jì)算，但是本題給出的并不是具體數(shù)字，而且數(shù)字較多，這種方法根本不適合用來(lái)解這道題. 這時(shí)我們就需要向整體換元法求助，將題目轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的形式，能夠一眼看出解題思路即可. 整體法重要的思想就是要求大同存小異，進(jìn)行整體變換，題目就會(huì)變得簡(jiǎn)單. 設(shè)a2+a3+…+an-1=x，則原式=（a1+x）（x+an）-x（a1+x+an），注意將式子打開并進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，就會(huì)得出原式=a1an，由此就可以得出正確答案.根據(jù)解題過(guò)程可知，雖然我們假設(shè)a2+a3+…+an-1=x，但是在后面的計(jì)算中可以直接將x消去，并不影響整道題目的解題程序. 在此也能夠看出整體換元的妙處，將復(fù)雜的式子變得簡(jiǎn)單，使式子變換到學(xué)生可以接受的程度，之后再進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算就會(huì)顯得異常簡(jiǎn)單了.

多項(xiàng)式的計(jì)算是高中的重點(diǎn)知識(shí)，教師一定要想方設(shè)法幫助學(xué)生突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，將整體換元法把握透徹，讓學(xué)生有信心去面對(duì)復(fù)雜的高考，在考試中平穩(wěn)地拿下高分.

整體變形，水到渠成

整體變形既是整體法的一種應(yīng)用實(shí)例，又是思維轉(zhuǎn)換的具體表現(xiàn)，需要學(xué)生擁有獨(dú)特的眼光，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)所在.只有抓住問(wèn)題的主要矛盾，才能夠想到合適的變形方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容，加快解題速度.

在使用整體變形這種解題方法時(shí)，學(xué)生首先要對(duì)題目有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，找到問(wèn)題的關(guān)鍵才能夠水到渠成地解決問(wèn)題. 當(dāng)我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)時(shí)，教師都會(huì)向?qū)W生講授整體變形的應(yīng)用實(shí)例，提高學(xué)生對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí). 其實(shí)，只有在講解數(shù)列知識(shí)時(shí)才是傳授整體法的最佳時(shí)機(jī)，整體法是解決數(shù)列問(wèn)題的法寶.數(shù)列知識(shí)較強(qiáng)的學(xué)生，整體法的應(yīng)用都會(huì)十分熟練. 例如，學(xué)生在習(xí)題訓(xùn)練中，都會(huì)遇到這樣的題目：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（2n-1）xn（x≠1），求出此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. 解決此題時(shí)，一般思路是先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，之后再?zèng)Q定采用何種方式解題. 利用通項(xiàng)公式可以求出a1=x，a2=3x2，a3=5x3……觀察這前幾項(xiàng)可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，這時(shí)在進(jìn)行前n項(xiàng)和求解時(shí)，我們不可以根據(jù)數(shù)列的相關(guān)公式直接求出. 所以我們要采用其他的方法，先寫出前n項(xiàng)和Sn的公式：Sn=x+3x2+5x3+…+（2n-1）xn，觀察式子，我們可以將式子兩邊同時(shí)乘x，將式子進(jìn)行整體變形，得到xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n-1）xn+1，然后再將上面兩個(gè)式子相減，就可以求出Sn. 具體計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)單，在此不再贅述. 這種解題方式，就是在原有的式子的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)新的與題目相關(guān)的式子，二者進(jìn)行恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，就可以得出Sn的值.

整體變形法開拓了一種新的解題思路，增加了學(xué)生解題的砝碼，使學(xué)生能夠輕松地解決數(shù)列的相關(guān)知識(shí).

整體補(bǔ)形，迎刃而解

立體幾何是學(xué)生進(jìn)入高中以來(lái)所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)中最需要想象力的知識(shí)模塊，因此也是很多想象力匱乏的學(xué)生的學(xué)習(xí)軟肋，他們無(wú)法找出圖形中需要的線段或者圖形，也就不能得到合適的解題方法. 整體補(bǔ)形能夠幫助學(xué)生在立體幾何的學(xué)習(xí)中搭建全新的視角，有利于學(xué)生抓住問(wèn)題的重點(diǎn)，找到最佳解題途徑.

利用整體補(bǔ)形法解決立體幾何相關(guān)問(wèn)題是一個(gè)專題，教師在進(jìn)行總復(fù)習(xí)時(shí)，可以抽出一定的時(shí)間進(jìn)行專門的知識(shí)總結(jié)以及擴(kuò)展，讓學(xué)生對(duì)整體補(bǔ)形有一個(gè)全面的把握，增多學(xué)生的解題技巧. 在專題訓(xùn)練中，教師要盡可能多地選擇具有代表性的題目，讓學(xué)生每做一道題目都會(huì)有獨(dú)特的收獲，能夠?qū)W(xué)生的思維模式起到促進(jìn)的作用. 例如，當(dāng)筆者在組織學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，都會(huì)留下這樣的題目：如圖1所示，在三棱錐P-ABC中，三組對(duì)棱相等，并且PA=13，PB=14，PC=15，求出這個(gè)三棱錐的體積.

按照常規(guī)的解題思路，求解三棱錐的體積要先求出其底面積，然后再求出其高，之后再利用所學(xué)公式進(jìn)行求解. 但是在這道題目中，底面積容易求出，高卻不好求，因此我們就需要考慮其他方法. 在根據(jù)已知條件三組對(duì)棱相等，可以聯(lián)想到長(zhǎng)方體對(duì)面不平行的對(duì)角線也具有此性質(zhì)，從而我們可以將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖2所示，從而能夠快速地解決問(wèn)題. 整體的解題思路就是三棱錐P-ABC的體積等于長(zhǎng)方體的體積減去4個(gè)三棱錐A-BCD的體積，代入相關(guān)的數(shù)據(jù)就可以輕松地求出答案.

這道題目就將三棱錐與長(zhǎng)方體巧妙地聯(lián)系到了一起，是一道不錯(cuò)的綜合性題目，教師要為學(xué)生多多準(zhǔn)備類似的題目進(jìn)行訓(xùn)練.

總之，當(dāng)我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果能夠仔細(xì)觀察問(wèn)題，找出題目的主要矛盾，在大處著眼把握全局，合理巧妙地利用整體法進(jìn)行解題，都會(huì)起到事半功倍的效果，整體提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).