江蘇省句容市第三中學

胡容鎖　　許成榮　　(郵編：212400)

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思解思源思教
——一道高考模擬試題的探究及反思

江蘇省句容市第三中學

胡容鎖許成榮(郵編：212400)

近三年江蘇高考及各地模考試題中，解析幾何部分是命題的重點題型，尤其圓錐曲線是高考的重點、難點和熱點.高三經(jīng)過一輪基礎(chǔ)復習、二輪專題復習、三輪提高復習后，學生解決解析幾何問題時仍舊頻頻遭遇瓶頸.反觀教學，就題論題的現(xiàn)象比較嚴重，從而高三復習教學的有效性大打折扣．針對此類情況筆者做了一些教學的探索，以期與同仁們探討.

1　問題呈現(xiàn)──思解

(1)若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點，求圓M的方程；

(4-5x02)k12+10x0y0k1+4-5y02=0.同理，有

(4-5x02)k22+10x0y0k2+4-5y02=0，

所以k1、k2是方程(4-5x02)k2+10x0y0k+4-5y02=0的兩根，從而

筆者任教兩個平行班級，在A班按部就班地就題講題，課堂里明顯感到曲高和寡.下課立馬有學生來問問題：“老師你是如何想到這種處理方法的，這和我們平時的定值問題思路風格也不同啊”.

針對模擬題評講到底該如何教呢？課后筆者做了反思：從學生反饋情況來看肯定沒有理解掌握，學生再次遇見相同題型仍然不會處理，不會轉(zhuǎn)化到本題的思想方法上！隨即調(diào)整B班講評策略了.目前要解決問題就是：如何讓學生破解本道題?如何揭示題目本質(zhì)屬性特征，及其內(nèi)涵和外延？

本題有兩個難點：(1)兩條直線斜率乘積的形式表達;(2)如何轉(zhuǎn)化直線與圓相切的位置關(guān)系.兩條切線的斜率乘積為定值，常規(guī)處理的思路是：用坐標參數(shù)分別表達出KOP、KOQ，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)，通過消元得到定值常數(shù).因而學生在表達上有多種形式，運算計算很復雜.

2　追根溯源──思源

學生理解上的思維節(jié)點在于不能聯(lián)想到KOP、KOQ是關(guān)于斜率方程的兩個根.這個思維環(huán)節(jié)受阻，如何破解學生思維的最近發(fā)展區(qū)，為學生搭建階梯進行難點的突破？因勢利導從本源思考、追根溯源從題根入手.

例已知點P是圓C：x2+y2=1外一點，設(shè)k1、k2分別是過點P的圓C兩條切線的斜率．若點P坐標為(2,2)，求k1·k2的值.

3k2-8k+3=0，所以k1·k2=1．

3　多方探究───思教

本節(jié)課教學本應(yīng)到此結(jié)束了，可是學生僅僅限于解出本題掌握了知識與技能，顯然是不夠的，學生未能全方位的體驗知識的形成發(fā)展.那么如何讓學生得到認知上的提升能力，還要進行知識的再創(chuàng)造？筆者對本題充分挖掘，實施多方面多角度的探究，讓知識能力提升新的高度.

3.1歸納探究

探究1已知點P是圓C：x2+y2=r2外一點，設(shè)過點P且與圓C相切的兩條切線的斜率分別是k1、k2，則k1·k2是否為定值？

3.2逆向探究

探究2已知點P是圓C：x2+y2=r2外一點，設(shè)k1、k2分別是過點P的圓C的兩條切線的斜率，若k1·k2=λ(λ≠1，0)，求點P的軌跡M的方程，并指出曲線M所在圓錐曲線的類型．

若λ∈(0,1)時，圓錐曲線M是焦點在y軸上的雙曲線；

若λ∈(-1,0)，圓錐曲線M是焦點在x軸上的橢圓；

若λ=-1時，曲線M是圓；

若λ∈(-,-1)時，圓錐曲線M是焦點在y軸上的橢圓．

3.3類比探究

圓外任一點作圓的切線，兩切線斜率之積為定值，那么橢圓外一點作橢圓的切線，是否也具有該性質(zhì)？

設(shè)點P(x0，y0)，過點P的橢圓E的切線l0的方程為y-y0=k(x-x0)，聯(lián)立

注意直線與圓相切位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成幾何關(guān)系d=r，形成關(guān)于k的方程.而直線與圓錐曲線的相切位置關(guān)系，利用代數(shù)方法判定： 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到一個一元二次方程，則△=0，化成關(guān)于k的方程.轉(zhuǎn)化組織方式不一，但都能得到關(guān)于k的方程.

若λ∈(-1,0)，圓錐曲線M是焦點在x軸上的橢圓；

若λ=-1時，曲線M是圓；

若λ∈(-,-1)時，圓錐曲線M是焦點在y軸上的橢圓．

3.4課后作業(yè)與反饋

由動點P引圓x2+y2=10的兩條切線PA、PB，直線PA、PB的斜率分別為k1、k2．

(1)若k1+k2+k1k2=-1，求動點P的軌跡；

(2)若點p在x+y=m上，且PA⊥PB，求實數(shù)m的取值范圍．

4　教學反思

(1)搭建階梯由簡入深，降低問題思考的難度.數(shù)學的理解本質(zhì)是形成正確完整合理的表征，實現(xiàn)豐富的知識關(guān)聯(lián).孤立知識不能構(gòu)建出良好的認知結(jié)構(gòu)，從而也就很難轉(zhuǎn)化成問題解決的能力.注意尋找知識間的內(nèi)在邏輯，盡量以某個典型問題為平臺，在知識之間搭建起意義關(guān)聯(lián)，促進了學生超越工具性理解，實踐性的理解，問題的立體求解不僅促進學生數(shù)學表征的優(yōu)化，而且促進了學生思維能力的整合.教師應(yīng)適度引導、合理評價、精煉總結(jié)，才能達到事半功倍之效．

(2)注重數(shù)學核心知識和思想方法.高三復習題海訓練中，如何高效的復習通過一道題通曉一類題.教師備課時，思題源、思解題，思教法，否則茫茫題海，盲目游弋何處是岸.時常抱怨某種題型上課講解過，考試檢測結(jié)果不盡如人意，究其原因是學生沒有領(lǐng)悟題目的實質(zhì)與背景設(shè)置，僅僅處于死記硬背記住本題的解法，學生沒有真正對數(shù)學的理解，因而方法、思路不能自然形成，形成不了學生的生產(chǎn)力.因此，知識不應(yīng)該成為數(shù)學課堂的最終目標，注重數(shù)學核心知識和思想方法，才有利于提升數(shù)學能力和訓練學生思維，凸顯高中數(shù)學本質(zhì)的體現(xiàn).

3.多方探究促進學生的認知力和思維力. 從歸納、類比、聯(lián)想、發(fā)散等思維方法出發(fā)，對本題進行探究可以得到一系列有價值的結(jié)論，這既是對原問題的深化與拓展，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的高效途徑．多方探究不拘泥于順向與逆向，而是從多角度靈活思考，不拘一格嘗試，堅持不懈地試驗乃至靈感閃現(xiàn)，產(chǎn)生新問題新解法．沒有多樣性豐富性的探究的教學過程，學生的創(chuàng)新能力及思維不可能培養(yǎng)起來.在教學過程中要讓學生充分探究、及時交流、主動反思、合作交流的過程中感受知識和方法，通過探究知識的發(fā)生發(fā)展過程，增強學生的認知力和思維力，這才是數(shù)學課堂教學的最終目標.

1王峰. 把握思維特征，提升復習效益[J].中學數(shù)學教學參考：上旬,2014(5)

2016-08-13)