北京市豐臺(tái)二中

甘志國　　(郵編：100071)

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對(duì)2016年高考四川卷第15題的研究

北京市豐臺(tái)二中

甘志國(郵編：100071)

①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；

②單位圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”仍在單位圓上；

③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則它們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱；

④若三點(diǎn)在同一條直線上，則它們的“伴隨點(diǎn)”一定共線.

其中的真命題是______(寫出所有真命題的序號(hào)).

①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；

②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；

③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對(duì)稱；

④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.

其中的真命題是______(寫出所有真命題的序號(hào)).

這兩道高考題是一對(duì)姊妹題，下面只對(duì)后者做詳細(xì)解答和研究.

所以點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是(-x，-y)，得①錯(cuò)誤．

下面再對(duì)高考題2作研究.

設(shè)點(diǎn)P(x，y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u，v).

當(dāng)x2+y2=0即x=y=0時(shí)，得P′(0,0).

下面只證?：若x2+y2=0，得x=y=0，再得u=v=0,u2+v2=0，與題設(shè)u2+v2≠0矛盾！所以x2+y2≠0.

由此可證得下面的結(jié)論.

證明設(shè)直線ax+by+c=0上的點(diǎn)P(x，y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u，v).

當(dāng)x2+y2=0時(shí)，得P′(0,0).

此時(shí)，由點(diǎn)P(x，y)在直線ax+by+c=0上，可得

c(u2+v2)+bu-av=0(u2+v2≠0).

進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

證明設(shè)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)P(x，y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u，v).

當(dāng)x2+y2=0時(shí)，得P′(0,0).

此時(shí)，由點(diǎn)P(x，y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上，可得

(u2+v2)[(a2+b2-r2)(u2+v2)-2bu+2av+1]=0(u2+v2≠0),

(a2+b2-r2)(u2+v2)-2bu+2av+1=0(u2+v2≠0).

當(dāng)圓(x-a)2+(y-b)2=r2過坐標(biāo)原點(diǎn)即a2+b2-r2=0時(shí)，可得欲證結(jié)論成立；當(dāng)圓(x-a)2+(y-b)2=r2不過坐標(biāo)原點(diǎn)即a2+b2-r2≠0時(shí)，可得欲證結(jié)論也成立.

所以欲證結(jié)論成立.

推論(1)單位圓的“伴隨曲線”是自身；

(3)圓(x-a)2+(y-b)2=a2+b2的“伴隨曲線”是直線2bx-2ay-1=0及坐標(biāo)原點(diǎn)組成的圖形.

2016-07-23)