江蘇省蘇州市第十中學(xué)

徐　青　　(郵編：215006)

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2016年高考山東卷文科第12題的解法探究及引申

江蘇省蘇州市第十中學(xué)

徐青(郵編：215006)

每年高考結(jié)束，都會有一些不尋常的題目產(chǎn)生，因為這些題常常看似平淡，但其中卻蘊(yùn)含許多數(shù)學(xué)思想與方法，一些前因后果需要我們教者從其背后去思考、挖掘，探究出更多有價值的東西，使高考題真正發(fā)揮其應(yīng)有的功能，下面以2016年一道高考題為例說明之．

1　試題呈現(xiàn)

(2016年山東省數(shù)學(xué)高考文科試題第12題) 觀察下列等式：

……

本題考查的是歸納推理問題，規(guī)律比較明顯，題目不是太難，如果僅限于得出答案，對教師來說顯然過于膚淺.我們應(yīng)思考的是: 結(jié)論怎么證明，如果沒有結(jié)論，在沒有鋪墊的情況下怎么推出答案，有一般的解決方法嗎？還有沒有類似的等式等等，筆者經(jīng)過一番研究，得到一些結(jié)論，提供于此，供大家參考．

2　解法探究

下面先介紹一般的倍角公式：

因為(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ，對左邊用二項式定理展開，得

比較兩邊的實部及虛部，得

①

②

由②式，得

3　問題引申

(*)

于是

在方程(*)中，由韋達(dá)定理還可以得到若干等式，如：

又如令n=3，4，… ，則可得不同的特殊三角恒等式．

由此，我們得到這類三角問題的解決方法：由一般的三角倍角公式，構(gòu)造一個高次方程，然后用韋達(dá)定理得相應(yīng)等式，在此過程中注意三角恒等變形．現(xiàn)將上述探究結(jié)果歸納如下：

4　觸類旁通

再據(jù)一般的倍角公式構(gòu)造高次方程，根據(jù)韋達(dá)定理而得，自然聯(lián)想到：

由公式①，得

(**)

由韋達(dá)定理，得

同理可得

2016-07-06)