江蘇省建湖縣城南實(shí)中教育集團(tuán)近湖校區(qū)

呂愛生　　(郵編：224700)

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歐拉不等式又兩則簡證

江蘇省建湖縣城南實(shí)中教育集團(tuán)近湖校區(qū)

呂愛生(郵編：224700)

不等式“R≥2r”,也即“三角形的外接圓半徑不小于其內(nèi)切圓直徑”,這就是著名的歐拉(Euler)不等式.

文[1]、[2]給出的歐拉不等式“證法不容易”,文[3]、[4]給出了“更簡捷證法”,受其啟發(fā),本文將再給出兩則新簡證.

本文中,設(shè)△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C，△ABC的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R、r.

證法1在△ABC中,根據(jù)基本不等式和正弦函數(shù)的凸凹性質(zhì),可得:

所以進(jìn)一步可得:

即得R≥2r，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)成立.

注釋證法一也用三角證法,但篇幅極短且淺顯易懂,避免了文[1]妙證的繁瑣.

下面仍采用邊變換和均值不等式,通過比值估計(jì)法來獲得比文[3]更為簡捷的證法.

故R≥2r，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z，即a=b=c時(shí)成立.

1丁遵標(biāo).用三角妙證歐拉不等式[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2000(6)

2孟祥禮.歐拉不等式的一種簡捷證法[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2003(4)

3季新明.R≥2r的更簡捷證法[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2007,8

4呂愛生. 能揭示歐拉不等式本質(zhì)的簡證[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2009(4)

2016-07-22)