安徽省合肥市海頓學(xué)校

劉昌福　　(郵編：230051)

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教學(xué)參考

數(shù)學(xué)課的美：層層遞進(jìn)

安徽省合肥市海頓學(xué)校

劉昌福(郵編：230051)

說到美，大家會認(rèn)為跟數(shù)學(xué)課挨不上邊，其實(shí)這是一個誤區(qū)，數(shù)學(xué)課有她獨(dú)特之美，如嚴(yán)謹(jǐn)之美，對稱之美，對應(yīng)之美，等等.筆者在這里只說一種數(shù)學(xué)課之美——層層遞進(jìn)，且以一次青年教師課堂教學(xué)評比為例展開，這次評比的課題是：滬科版教材八年級上冊第13章《三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明》第2節(jié)《命題與證明》中的一節(jié)課《三角形內(nèi)角和定理及其推論》.

1　動手操作獲取解題思路，實(shí)現(xiàn)從小學(xué)到初中的遞進(jìn)(第一次遞進(jìn))

眾所周知，孩子們在小學(xué)階段已學(xué)過三角形內(nèi)角和等于180°，他們當(dāng)時探究的方法是通過動手操作去剪拼或折疊而得.我們知道在數(shù)學(xué)學(xué)科里，動手操作也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要方法，這是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法很好的補(bǔ)充.對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解是：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是計(jì)算、證明，傳統(tǒng)的教學(xué)也是“交通警察各管一段”，根本不考慮什么銜接問題.新課改以來，明確提出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅有傳統(tǒng)的計(jì)算、證明，還有歸納、猜想、動手操作等方法.同時也明確指出，教學(xué)是為了培養(yǎng)孩子們終身學(xué)習(xí)的能力.先將初小銜接放在一邊，只說這節(jié)課涉及的動手操作問題.動手操作，很多老師都做了，但很多老師在課堂上會忽略非常重要的一點(diǎn)，動手操作除了是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要方法，還可以通過動手操作獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，有了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，可以幫助我們找到解決問題的思路.這正是新課標(biāo)中將“雙基”(基礎(chǔ)知識、基本技能)修訂為“四基”( 基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)和基本的數(shù)學(xué)思想方法)的原因.就本節(jié)課而言，回顧小學(xué)通過折疊、剪拼等操作方法探究三角形內(nèi)角和等于180°，可以積累出“在一個頂點(diǎn)處拼接出一個平角”這個數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，從而找到證明三角形內(nèi)角和等于180°的方法.這就是教材為什么一開始安排添加輔助線是“延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C以CD為一邊作∠DCE=∠B”，而不是以前的“延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE∥AB”(如圖(1))的原因， 其實(shí)這就是從小學(xué)到初中的遞進(jìn).

圖1

具體為：如圖1，延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C以CD為一邊作∠DCE=∠B， 可得CE∥AB，從而完成將∠A、∠B、∠C成功地移至以C為頂點(diǎn)的平角∠BCD，命題得證.

遺憾的是很多老師的課堂沒有意識到這種操作和添輔助線之間的聯(lián)系，將二者完全割裂，純粹為了解題而解題，舍棄了通過動手操作積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，從而獲取解題思路這個好過程，沒有實(shí)現(xiàn)從小學(xué)到初中的遞進(jìn)，實(shí)在可惜！因此，我得再補(bǔ)充一句：《課程標(biāo)準(zhǔn)》應(yīng)作為我們老師的床頭工具書，遇到某個教學(xué)問題時應(yīng)隨時翻看查閱，做到教學(xué)實(shí)踐與《課程標(biāo)準(zhǔn)》緊密聯(lián)系，而不只是形式主義的組織集體學(xué)習(xí).

2　由平行線產(chǎn)生聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)第二次遞進(jìn)

接著剛才的課，教師繼續(xù)引導(dǎo)：通過“延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C以CD為一邊作∠DCE=∠B， 可得CE∥AB”的啟發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)：作平行線可以完成角的移動，可以將△ABC的三個內(nèi)角移至過同一個點(diǎn)的平角.受此啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究證明三角形內(nèi)角和定理的其它方法.學(xué)生自然可以探究出過某一點(diǎn)作一邊的平行線，從而得到證明三角形內(nèi)角和等于180°的很多方法，如圖2、圖3所示等(詳解略).實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的第二次遞進(jìn).

圖2

圖3

3　由180°產(chǎn)生聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)第三次遞進(jìn)

這節(jié)課繼續(xù)進(jìn)行.教師再引導(dǎo)：對于命題中的180°，除了平角可以得到，還學(xué)過哪些知識可以得到180°呢？啟發(fā)學(xué)生通過“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”及兩直角之和等于180°，再探究出新的證明方法.很多同學(xué)能探究出可以通過“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”得到180°，或兩個直角之和等于180°，于是有了4、圖5等解法(詳解略)，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課第三次遞進(jìn)上升.

圖4

圖5

4　及時總結(jié)歸納，實(shí)現(xiàn)第四次遞進(jìn)

有了剛才的探究過程，教師啟發(fā)學(xué)生思考并總結(jié)歸納：這些方法的本質(zhì)就是為了實(shí)現(xiàn)兩個方面：(1)如何在圖形中巧妙實(shí)現(xiàn)“∠A+∠B+∠C”，即將∠A、∠B、∠C移至某一共同頂點(diǎn)處；(2)如何在圖形中得到180°.兩個方面都實(shí)現(xiàn)了，解題就成了很自然的事.因此證明方法還有很多，同學(xué)們課后可以繼續(xù)探究.其實(shí)這就是實(shí)現(xiàn)了第四次遞進(jìn).可惜的是我們很多年輕的同行們，只是為了實(shí)現(xiàn)證明方法多樣化，其實(shí)真是舍本求末了.這里我還要囑咐一句：數(shù)學(xué)課及時總結(jié)歸納，可以完成已學(xué)知識與“上位知識”和“下位知識”的聯(lián)系(上位知識”和“下位知識”詳見章建躍《促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的教學(xué)策略》或筆者的論文《數(shù)學(xué)理解系統(tǒng)化策略教學(xué)的實(shí)踐與思考》)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化.

5　善于捕捉數(shù)學(xué)本質(zhì)問題，實(shí)現(xiàn)第五次遞進(jìn)

抓住圖4證法中的本質(zhì)東西，可以實(shí)現(xiàn)第五次遞進(jìn).我們先來分析圖4證法中的本質(zhì)東西在哪里？如圖4，過點(diǎn)A作AD∥BC，可得∠BAD+∠B=180°，本質(zhì)東西就在等式“∠BAD+∠B=180°”與結(jié)論中的等式“∠A+∠B+∠C=180°”的比較，引導(dǎo)學(xué)生注意在等式變形中要保留等式“∠BAD+∠B=180°”中的∠B和180°，因?yàn)檫@是結(jié)論“∠A+∠B+∠C=180°”已經(jīng)含有的項(xiàng)，而要替換的是“∠BAD”(因?yàn)榻Y(jié)論中沒有∠BAD這一項(xiàng))，引導(dǎo)學(xué)生這樣思考問題才是將來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為本質(zhì)的東西，應(yīng)早點(diǎn)滲透.其實(shí)就實(shí)現(xiàn)第五次遞進(jìn).可惜的是我們的老師更多的只是輕描淡寫地給出證明過程，沒有足夠的讓學(xué)生體會和感悟其中的數(shù)學(xué)變換的本質(zhì)方法.

6　課堂兼顧應(yīng)試，實(shí)現(xiàn)第六次遞進(jìn)

大家都說：“沒有分?jǐn)?shù)就沒有今天，光有分?jǐn)?shù)沒有明天”.對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)，在提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的同時，還應(yīng)決勝中考，這一點(diǎn)不容回避.也就是說如果平時教學(xué)扎實(shí)，取得中考高分其實(shí)是很自然的事.比如以上所說，如果平時教學(xué)善于捕捉數(shù)學(xué)本質(zhì)問題，三年的數(shù)學(xué)課堂一直堅(jiān)持這樣的教學(xué)，取得高分一定不是問題.當(dāng)然我們在備課中一定還要考慮學(xué)生將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最需要什么，除了像剛才那樣不斷滲透本質(zhì)的方法以外，還應(yīng)該直接安排重要的數(shù)學(xué)知識進(jìn)課堂.如這節(jié)課中其中一位老師安排了這樣一個練習(xí)，筆者就比較欣賞.

圖6

如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求證：∠ACD=∠B.

學(xué)生完成后，再追問，圖中還有其它相等的角嗎(直角除外)？

我為什么欣賞此題？教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的老師一定知道，對于這個圖形的研究在初中階段尤為重要，如在相似形一節(jié)中，我們會經(jīng)常和圖6打交道，此時滲透，就像棋局高手隨手丟下一顆“閑子”，最后在絞殺決勝中起到奇兵的作用.高明的棋手是這樣，高水平的教學(xué)也是這樣.

其實(shí)，我們課堂上安排例題或?qū)W生練習(xí)，本身也應(yīng)該遵循層層遞進(jìn)、螺旋上升這個原則.可總結(jié)如下：直接運(yùn)用知識，模仿似的例題是最低層次的要求；能和已學(xué)知識聯(lián)系，新知聯(lián)系舊知，是較高層次的要求；如果還能靈活運(yùn)用所學(xué)新知，解決實(shí)際問題，那就是更高層次的要求了.

堅(jiān)持這樣教學(xué)，中考考出好成績真的就成為我們教學(xué)的副產(chǎn)品，也不需要再刻意去通過加重學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)去實(shí)現(xiàn).這不僅是本節(jié)課的第六次遞進(jìn)，更是實(shí)現(xiàn)“輕負(fù)高效”的好方法.

層層遞進(jìn)，只是數(shù)學(xué)美之一，因?yàn)檫@節(jié)課的這個美點(diǎn)非常明顯，所以認(rèn)真分析了這個方面，其實(shí)數(shù)學(xué)課的美還有很多.總之，我們真的要認(rèn)真琢磨每一節(jié)課，讓每一節(jié)課都體現(xiàn)出更多的數(shù)學(xué)之美來.用數(shù)學(xué)之美去吸引孩子們的眼球，而不是硬性要求.

2016-07-12)